एक आयताकार पट्टी के मरोड़ के साथ झुकें। गोल सलाखों के मरोड़ के साथ झुकें। प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

झुकना एक प्रकार का भार है जिसमें बीम के क्रॉस-सेक्शन में झुकने वाले क्षण उत्पन्न होते हैं। यदि खंड में झुकने का क्षण एकमात्र बल कारक है, तो झुकने को शुद्ध कहा जाता है। यदि, झुकने वाले क्षण के साथ, बीम के क्रॉस-सेक्शन में अनुप्रस्थ बल भी उत्पन्न होते हैं, तो झुकने को अनुप्रस्थ कहा जाता है।

यह माना जाता है कि झुकने का क्षण और कतरनी बल बीम के मुख्य विमानों में से एक में होता है (हम मानते हैं कि यह विमान ZOY है)। इस मोड़ को फ्लैट कहा जाता है।

नीचे दिए गए सभी मामलों में, बीम का एक सपाट अनुप्रस्थ मोड़ है।

एक बीम की ताकत या कठोरता की गणना करने के लिए, इसके वर्गों में उत्पन्न होने वाले आंतरिक बल कारकों को जानना आवश्यक है। इस प्रयोजन के लिए, अपरूपण बलों के आरेख (आरेख Q) और झुकने वाले क्षण (M) प्लॉट किए जाते हैं।

झुकते समय, बार की सीधी धुरी मुड़ी हुई होती है, तटस्थ अक्ष खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। निश्चितता के लिए, झुकने वाले क्षणों के अनुप्रस्थ बलों के आरेखों का निर्माण करते समय, हम उनके लिए संकेतों के नियम स्थापित करेंगे। आइए मान लें कि झुकने का क्षण सकारात्मक माना जाएगा यदि बीम तत्व नीचे की ओर उत्तलता के साथ मुड़ा हुआ है, अर्थात। इस तरह से कि उसके संपीडित रेशे सबसे ऊपर हों।

यदि क्षण बीम को उभार के साथ ऊपर की ओर झुकाता है, तो यह क्षण ऋणात्मक माना जाएगा।

प्लॉटिंग के दौरान झुकने वाले क्षणों के सकारात्मक मूल्यों को हमेशा की तरह वाई-अक्ष की दिशा में प्लॉट किया जाता है, जो एक संपीड़ित फाइबर पर प्लॉटिंग से मेल खाती है।

इसलिए, झुकने वाले क्षणों के आरेख के लिए साइन नियम निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: बीम परतों के किनारे पर क्षणों के निर्देशांक रखे जाते हैं।

एक खंड में झुकने का क्षण खंड के एक तरफ (या तो) पर स्थित सभी बलों के इस खंड के सापेक्ष क्षणों के योग के बराबर होता है।

अनुप्रस्थ बलों (क्यू) को निर्धारित करने के लिए, हम साइन नियम स्थापित करते हैं: अनुप्रस्थ बल को सकारात्मक माना जाता है यदि बाहरी बल बीम के कटे हुए हिस्से को एक घंटे तक घुमाता है। अक्ष बिंदु के सापेक्ष तीर जो खींचे गए अनुभाग से मेल खाता है।

बार के एक मनमाना क्रॉस-सेक्शन में अनुप्रस्थ बल (क्यू) संख्यात्मक रूप से इसके बेमेल भाग पर लागू बाहरी बलों के ओए अक्ष पर अनुमानों के योग के बराबर है।

आइए झुकने वाले क्षणों के अनुप्रस्थ बलों के आरेखों के निर्माण के कई उदाहरणों पर विचार करें। सभी बल पुंजों की धुरी के लंबवत होते हैं, इसलिए प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक शून्य होता है। बीम और बलों की विकृत धुरी मुख्य विमान ZOY में स्थित है।

लंबाई के एक बीम को बाएं सिरे से जकड़ा जाता है और एक केंद्रित बल F और एक क्षण m = 2F से लोड किया जाता है।

आइए हम अपरूपण बलों Q और झुकने वाले क्षणों M से आरेखों का निर्माण करें।

हमारे मामले में, दाहिनी ओर बीम पर कोई संबंध नहीं लगाया जाता है। इसलिए, समर्थन प्रतिक्रियाओं को निर्धारित नहीं करने के लिए, बीम के दाहिने कट-ऑफ हिस्से के संतुलन पर विचार करना उचित है। किसी दिए गए बीम में दो लोडिंग सेक्शन होते हैं। उन वर्गों-अनुभागों की सीमाएँ जिनमें बाह्य बल लागू होते हैं। 1 खंड - एनई, 2 - वीए।

हम खंड 1 में एक मनमाना खंड बनाते हैं और लंबाई Z 1 के दाहिने कट-ऑफ भाग के संतुलन पर विचार करते हैं।

यह संतुलन की स्थिति से निम्नानुसार है:

क्यू = एफ; एम का = -एफजेड 1 ()

पार्श्व बल धनात्मक होता है क्योंकि बाहरी बल F कटे हुए भाग को दक्षिणावर्त घुमाता है। झुकने का क्षण नकारात्मक माना जाता है, क्योंकि यह बीम के माने हुए भाग को ऊपर की ओर उभार के साथ मोड़ता है।

संतुलन के समीकरण बनाते समय, हम मानसिक रूप से खंड के स्थान को ठीक करते हैं; समीकरणों () से यह इस प्रकार है कि I खंड में अनुप्रस्थ बल Z 1 पर निर्भर नहीं है और एक स्थिर मान है। हम सकारात्मक बल Q = F को बीम की केंद्र रेखा से ऊपर की ओर एक पैमाने पर लंबवत रखते हैं।

झुकने का क्षण Z 1 पर निर्भर करता है।

जब Z 1 = O M से = O जब Z 1 = M से =

हम परिणामी मूल्य () को स्थगित कर देते हैं, अर्थात। प्लॉट एम फ्रॉम कंप्रेस्ड फाइबर पर बनाया गया है।

दूसरे खंड पर आगे बढ़ना

हम खंड II को बीम के मुक्त दाहिने छोर से मनमानी दूरी Z 2 पर काटते हैं और लंबाई Z 2 के कट-ऑफ भाग के संतुलन पर विचार करते हैं। संतुलन की स्थिति के आधार पर कतरनी बल और झुकने के क्षण में परिवर्तन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

क्यू = एफएम आउट = - एफजेड 2 + 2 एफ

पार्श्व बल का परिमाण और चिन्ह नहीं बदला।

झुकने वाले क्षण का परिमाण Z 2 पर निर्भर करता है।

जब Z 2 = M से =, जब Z 2 =

झुकने का क्षण सकारात्मक निकला, दोनों खंड II की शुरुआत में और इसके अंत में। खंड II में, बीम एक उभार के साथ नीचे की ओर झुकता है।

हम बीम की अक्षीय रेखा के साथ पैमाने तक के क्षणों के परिमाण को प्लॉट करते हैं (यानी, आरेख एक संपीड़ित फाइबर पर बनाया गया है)। सबसे बड़ा झुकने वाला क्षण उस खंड में होता है जहां बाहरी क्षण m लागू होता है और निरपेक्ष मान के बराबर होता है

ध्यान दें कि बीम की लंबाई पर, जहां क्यू स्थिर रहता है, झुकने का क्षण एम रैखिक रूप से बदलता है और आरेख पर तिरछी सीधी रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है। आरेख Q और M से यह देखा गया है कि जिस खंड में एक बाहरी अनुप्रस्थ बल लगाया जाता है, आरेख Q में इस बल के परिमाण से एक छलांग होती है, और आरेख M से एक किंक होता है। उस खंड में जहां बाहरी झुकने का क्षण लागू होता है, मिज़ आरेख में इस क्षण के मूल्य से एक छलांग होती है। यह क्यू प्लॉट में परिलक्षित नहीं होता है। आरेख M से हम देखते हैं कि

मैक्सएम का =

इसलिए, खतरनाक खंड बाईं ओर m के जितना संभव हो उतना करीब है।

चित्र 13 में दिखाए गए बीम के लिए, कतरनी बलों और झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाएं। लंबाई के साथ, बीम को समान रूप से वितरित भार के साथ तीव्रता q (KN / cm) के साथ लोड किया जाता है।

समर्थन ए (काज तय हो गया है) पर, एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया आर एक घटित होगी (क्षैतिज प्रतिक्रिया शून्य है), और समर्थन बी (चल टिका) पर, एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया आर सी उत्पन्न होती है।

आइए हम समर्थनों की ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करते हैं, जो समर्थन ए और बी के सापेक्ष क्षणों के समीकरण बनाते हैं।

आइए प्रतिक्रिया की परिभाषा की शुद्धता की जाँच करें:

वे। समर्थन प्रतिक्रियाओं को सही ढंग से परिभाषित किया गया है।

दिए गए बीम में दो लोडिंग सेक्शन हैं: सेक्शन I - AC।

खंड II - एनई।

पहले खंड a में, वर्तमान खंड Z 1 में, कट-ऑफ भाग की संतुलन स्थिति से, हमारे पास है

बीम के 1 खंड पर झुकने वाले क्षणों का समीकरण:

प्रतिक्रिया से क्षण आर एक खंड 1 में बीम को मोड़ता है, उत्तल नीचे की ओर, इसलिए प्रतिक्रिया रा से झुकने का क्षण एक प्लस चिह्न के साथ समीकरण में पेश किया जाता है। लोड qZ 1 बीम को ऊपर की ओर झुकाता है, इसलिए इससे आने वाला क्षण माइनस साइन के साथ समीकरण में दर्ज किया जाता है। झुकने का क्षण एक वर्ग परवलय के नियम के अनुसार बदलता है।

इसलिए, यह पता लगाना आवश्यक है कि चरम होता है या नहीं। अनुप्रस्थ बल Q और झुकने के क्षण के बीच, एक अंतर निर्भरता है जिसके विश्लेषण पर हम नीचे रहेंगे

जैसा कि आप जानते हैं, फ़ंक्शन में एक चरम सीमा होती है जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। इसलिए, यह निर्धारित करने के लिए कि Z 1 के किस मूल्य पर, झुकने का क्षण चरम होगा, कतरनी बल समीकरण को शून्य के बराबर करना आवश्यक है।

चूंकि अनुप्रस्थ बल इस खंड में संकेत को प्लस से माइनस में बदलता है, इसलिए इस खंड में झुकने का क्षण अधिकतम होगा। यदि क्यू साइन को माइनस से प्लस में बदलता है, तो इस सेक्शन में बेंडिंग मोमेंट न्यूनतम होगा।

तो, झुकने का क्षण

अधिकतम है।

इसलिए, हम तीन बिंदुओं के साथ एक परवलय बनाते हैं

जब Z 1 = 0 M से = 0

हम दूसरे खंड को समर्थन बी से Z 2 की दूरी पर काटते हैं। बीम के दाहिने कटे हुए हिस्से की संतुलन स्थिति से, हमारे पास है:

मान Q = स्थिरांक के लिए,

झुकने का क्षण होगा:

पर, पर, अर्थात्। मैं वहां से हूँ

रैखिक रूप से बदलता है।

दो समर्थनों पर एक बीम, 2 की अवधि और लंबाई के साथ एक बाएं कैंटिलीवर को चित्र 14, ए में दिखाया गया है, जहां q (Kn / cm) रैखिक भार है। समर्थन ए टिका हुआ है, समर्थन बी एक चल रोलर है। से प्लॉट Q और M बनाइए।

समस्या का समाधान समर्थनों की प्रतिक्रियाओं को निर्धारित करने के साथ शुरू होना चाहिए। इस शर्त से कि Z अक्ष पर सभी बलों के अनुमानों का योग शून्य है, यह इस प्रकार है कि समर्थन A पर प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक 0 के बराबर है।

जाँच करने के लिए, हम समीकरण का उपयोग करते हैं

संतुलन समीकरण संतुष्ट है, इसलिए प्रतिक्रियाओं की गणना सही ढंग से की जाती है। आइए आंतरिक बल कारकों की परिभाषा पर चलते हैं। किसी दिए गए बीम में तीन लोडिंग सेक्शन होते हैं:

• 1 खंड - सीए,
• दूसरा खंड - एडी,
• धारा 3 - सुदूर पूर्व।

हमने बीम के बाएं छोर से Z 1 की दूरी पर 1 खंड काट दिया।

Z पर 1 = 0 Q = 0 IZ = 0

Z पर 1 = Q = -q IZ =

इस प्रकार, कतरनी बलों के आरेख पर, एक तिरछी सीधी रेखा प्राप्त होती है, और झुकने वाले क्षणों के आरेख पर, एक परवलय, जिसका शीर्ष बीम के बाएं छोर पर होता है।

खंड II (ए जेड 2 2ए) में, आंतरिक बल कारकों को निर्धारित करने के लिए, लंबाई जेड 2 के बीम के बाएं कट-ऑफ हिस्से के संतुलन पर विचार करें। संतुलन की स्थिति से हमारे पास है:

इस क्षेत्र में पार्श्व बल स्थिर है।

खंड III () में

आरेख से हम देखते हैं कि बल F के तहत खंड में सबसे बड़ा झुकने वाला क्षण होता है और इसके बराबर होता है। यह खंड सबसे खतरनाक होगा।

आरेख एम पर दिए गए खंड में लागू बाहरी क्षण के बराबर समर्थन बी पर एक छलांग है।

ऊपर निर्मित आरेखों को ध्यान में रखते हुए, झुकने वाले क्षणों के आरेखों और कतरनी बलों के आरेखों के बीच एक निश्चित नियमित संबंध को नोटिस करना आसान है। आइए इसे साबित करें।

बार की लंबाई के साथ पार्श्व बल का व्युत्पन्न मापांक में भार की तीव्रता के बराबर होता है।

लघुता के उच्चतम क्रम के मान को छोड़कर, हम प्राप्त करते हैं:

वे। पार्श्व बल बार की लंबाई के साथ झुकने वाले क्षण का व्युत्पन्न है।

प्राप्त अंतर निर्भरता को ध्यान में रखते हुए, सामान्य निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। यदि बार को तीव्रता q = const के समान रूप से वितरित भार के साथ लोड किया जाता है, तो स्पष्ट रूप से, फ़ंक्शन Q रैखिक होगा, और M से - द्विघात।

यदि बीम केंद्रित बलों या क्षणों से भरा हुआ है, तो उनके आवेदन के बिंदुओं के बीच के अंतराल में तीव्रता q = 0 है। नतीजतन, क्यू = कॉन्स्ट, और एम से जेड का एक रैखिक कार्य है। केंद्रित बलों के आवेदन के बिंदुओं पर, आरेख क्यू बाहरी बल के परिमाण से कूदता है, और आरेख एम में एक समान ब्रेक होता है (व्युत्पन्न में असंततता)।

जिस स्थान पर बाहरी झुकने का क्षण लगाया जाता है, उस स्थान पर क्षण आरेख में एक असंततता देखी जाती है, जो लागू क्षण के परिमाण के बराबर होती है।

यदि Q> 0, तो M से बढ़ता है, और यदि Q<0, то М из убывает.

डिफरेंशियल डिपेंडेंसीज का उपयोग आरेख Q और M के निर्माण के लिए संकलित समीकरणों की जांच करने के साथ-साथ इन आरेखों के प्रकार को स्पष्ट करने के लिए किया जाता है।

झुकने का क्षण एक परवलय के नियम के अनुसार बदलता है, जिसकी उत्तलता हमेशा बाहरी भार की ओर निर्देशित होती है।

वृत्ताकार क्रॉस-सेक्शन के साथ बीम के झुकने और मरोड़ के संयोजन को अक्सर शाफ्ट के डिजाइन में माना जाता है। गैर-गोलाकार बीम के मरोड़ के साथ झुकने के मामले बहुत कम आम हैं।

1.9 में यह स्थापित किया गया है कि उस स्थिति में जब मुख्य अक्षों के संबंध में खंड की जड़ता के क्षण एक दूसरे के बराबर होते हैं, बार का तिरछा झुकना असंभव है। इस संबंध में, एक गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के बीम का तिरछा झुकना असंभव है। इसलिए, बाहरी बलों की कार्रवाई के सामान्य मामले में, एक गोलाकार खंड बीम निम्नलिखित प्रकार के विरूपण के संयोजन का अनुभव करता है: प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने, मरोड़ और केंद्रीय तनाव (या संपीड़न)।

आइए हम एक गोल बार की गणना के ऐसे विशेष मामले पर विचार करें, जब इसके क्रॉस सेक्शन में अनुदैर्ध्य बल शून्य हो। इस मामले में, बीम झुकने और मरोड़ की संयुक्त क्रिया के लिए काम करता है। बार के खतरनाक बिंदु को खोजने के लिए, यह स्थापित करना आवश्यक है कि बार की लंबाई के साथ झुकने और टोक़ के क्षणों के मूल्य कैसे बदलते हैं, अर्थात कुल झुकने वाले क्षणों एम और टॉर्क के आरेखों का निर्माण करने के लिए। २२.९, ए. शाफ्ट बियरिंग्स ए और बी द्वारा समर्थित है और मोटर सी द्वारा संचालित है।

पुली ई और एफ शाफ्ट पर लगे होते हैं, जिसके माध्यम से टेंशनिंग ड्राइव बेल्ट फेंके जाते हैं। मान लीजिए कि शाफ्ट बिना घर्षण के बीयरिंग में घूमता है; हम शाफ्ट और फुफ्फुस के अपने वजन की उपेक्षा करते हैं (यदि उनका अपना वजन महत्वपूर्ण है, तो इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए)। आइए हम शाफ्ट क्रॉस-सेक्शन के y-अक्ष को लंबवत रूप से निर्देशित करें, और अक्ष - क्षैतिज रूप से।

बलों के परिमाण को सूत्रों (1.6) और (2.6) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रत्येक चरखी द्वारा प्रेषित शक्ति, शाफ्ट के कोणीय वेग और अनुपात ज्ञात हैं। बलों के परिमाण को निर्धारित करने के बाद, इन बलों को शाफ्ट के अनुदैर्ध्य अक्ष के समानांतर स्थानांतरित किया जाता है। इस मामले में, मरोड़ के क्षण और बराबर, क्रमशः शाफ्ट पर उन वर्गों में लागू होते हैं जिनमें पुली ई और एफ स्थित हैं। इन क्षणों को इंजन से प्रेषित टोक़ द्वारा संतुलित किया जाता है (चित्र। 22.9, बी)। फिर बलों को लंबवत और क्षैतिज घटकों में विघटित कर दिया जाता है। ऊर्ध्वाधर बल बीयरिंगों में ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाएं पैदा करेंगे, और क्षैतिज बल - क्षैतिज प्रतिक्रियाएं। इन प्रतिक्रियाओं के परिमाण को दो समर्थनों पर पड़ी बीम के रूप में निर्धारित किया जाता है।

एक ऊर्ध्वाधर विमान में अभिनय करने वाले झुकने वाले क्षणों का आरेख ऊर्ध्वाधर बलों (चित्र 22.9, सी) से बनाया गया है। इसे चित्र में दिखाया गया है। 22.9, डी. इसी तरह, क्षैतिज बलों (चित्र 22.9, ई) से, क्षैतिज तल में अभिनय करने वाले झुकने वाले क्षणों का एक आरेख बनाया गया है (चित्र 22.9, एफ)।

आरेखों से, आप (किसी भी क्रॉस सेक्शन में) कुल झुकने का क्षण M सूत्र द्वारा निर्धारित कर सकते हैं

इस सूत्र का उपयोग करके प्राप्त एम के मूल्यों के आधार पर, कुल झुकने वाले क्षणों का एक आरेख तैयार किया जाता है (चित्र 22.9, जी)। शाफ्ट के उन हिस्सों पर, जिनमें सीधी रेखाएं, बाउंडिंग आरेख आरेख के अक्षों को एक ही ऊर्ध्वाधर पर स्थित बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, आरेख M सीधी रेखाओं द्वारा सीमित होता है, और अन्य भागों में यह वक्रों द्वारा सीमित होता है।

(स्कैन देखें)

उदाहरण के लिए, माना शाफ्ट के खंड में, आरेख M की लंबाई एक सीधी रेखा (चित्र 22.9, g) द्वारा सीमित है, क्योंकि इस खंड में आरेख सीधी रेखाओं द्वारा सीमित हैं और आरेखों की कुल्हाड़ियों को प्रतिच्छेद करते हैं। एक ही ऊर्ध्वाधर पर स्थित बिंदु।

आरेख के अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु O भी उसी ऊर्ध्वाधर पर स्थित है। लंबाई के साथ शाफ्ट अनुभाग के लिए एक समान स्थिति विशिष्ट है

कुल (कुल) झुकने वाले क्षणों का आरेख M शाफ्ट के प्रत्येक खंड में इन क्षणों के परिमाण को दर्शाता है। शाफ्ट के विभिन्न वर्गों में इन क्षणों की कार्रवाई के विमान अलग-अलग होते हैं, लेकिन आरेख के निर्देशांक सभी वर्गों के लिए ड्राइंग के विमान के साथ सशर्त रूप से संरेखित होते हैं।

टोक़ आरेख उसी तरह से बनाया गया है जैसे शुद्ध टोरसन के लिए (देखें 1.6)। माना शाफ्ट के लिए, यह अंजीर में दिखाया गया है। २२.९, एच.

शाफ्ट के खतरनाक खंड को कुल झुकने वाले क्षणों M और टॉर्क के आरेखों का उपयोग करके स्थापित किया जाता है यदि सबसे बड़े झुकने वाले क्षण M के साथ निरंतर व्यास के बीम के खंड में और सबसे बड़ा टोक़ कार्य करता है, तो यह खंड खतरनाक है। विशेष रूप से, विचाराधीन शाफ्ट के लिए, यह पुली एफ के दाईं ओर स्थित खंड है जो इससे असीम रूप से छोटी दूरी पर है।

यदि सबसे बड़ा झुकने वाला क्षण M और सबसे बड़ा टॉर्क अलग-अलग क्रॉस-सेक्शन में कार्य करता है, तो वह खंड जिसमें न तो मान और न ही सबसे बड़ा खतरनाक हो सकता है। चर व्यास की सलाखों के साथ, सबसे खतरनाक खंड हो सकता है जिसमें अन्य वर्गों की तुलना में काफी कम झुकने और घुमा क्षण कार्य करते हैं।

ऐसे मामलों में जहां खतरनाक खंड सीधे एम आरेखों से स्थापित नहीं किया जा सकता है और इसके कई खंडों में बार की ताकत की जांच करना आवश्यक है और इस तरह खतरनाक वोल्टेज स्थापित करना आवश्यक है।

बार का एक खतरनाक खंड स्थापित होने के बाद (या कई खंडों को रेखांकित किया गया है, जिनमें से एक खतरनाक हो सकता है), इसमें खतरनाक बिंदुओं को खोजना आवश्यक है। इसके लिए, हम बार के क्रॉस-सेक्शन में उत्पन्न होने वाले तनावों पर विचार करेंगे, जब झुकने का क्षण M और टोक़ क्षण एक साथ कार्य करते हैं।

एक गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के बीम में, जिसकी लंबाई व्यास से कई गुना अधिक होती है, कतरनी बल से सबसे बड़े कतरनी तनाव के मान छोटे होते हैं और बीम की ताकत की गणना करते समय इसे ध्यान में नहीं रखा जाता है। झुकने और मरोड़ की संयुक्त क्रिया के लिए।

अंजीर में। 23.9 एक गोल बार का क्रॉस-सेक्शन दिखाता है। इस खंड में एक झुकने वाला क्षण M और एक टोक़ कार्य करता है। y-अक्ष को झुकने वाले क्षण की क्रिया के तल के लंबवत अक्ष के रूप में लिया जाता है, y- अक्ष इस प्रकार खंड का तटस्थ अक्ष है।

बीम के क्रॉस-सेक्शन में, झुकने से सामान्य तनाव और मरोड़ से कतरनी तनाव उत्पन्न होता है।

सामान्य प्रतिबल a सूत्र द्वारा निर्धारित होते हैं इन प्रतिबलों का आरेख चित्र में दिखाया गया है। २३.९. निरपेक्ष मान में उच्चतम सामान्य प्रतिबल बिंदु A और B पर उत्पन्न होते हैं। ये प्रतिबल बराबर होते हैं

छड़ के अनुप्रस्थ काट के प्रतिरोध का अक्षीय आघूर्ण कहाँ है।

अपरूपण प्रतिबल सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इन प्रतिबलों का आरेख अंजीर में दिखाया गया है। २३.९.

खंड के प्रत्येक बिंदु पर, उन्हें इस बिंदु को खंड के केंद्र से जोड़ने वाली त्रिज्या के लिए सामान्य के साथ निर्देशित किया जाता है। खंड की परिधि के साथ स्थित बिंदुओं पर सबसे बड़ा कतरनी तनाव उत्पन्न होता है; वे समान हैं

छड़ के अनुप्रस्थ काट के प्रतिरोध का ध्रुवीय आघूर्ण कहाँ है।

एक प्लास्टिक सामग्री के साथ, क्रॉस-सेक्शन के बिंदु ए और बी, जिसमें सामान्य और स्पर्शरेखा दोनों तनाव उच्चतम मूल्य तक पहुंचते हैं, खतरनाक होते हैं। भंगुर सामग्री के मामले में, खतरनाक बिंदु इन बिंदुओं में से है जिस पर झुकने वाले क्षण एम से तन्यता तनाव उत्पन्न होता है।

बिंदु A के आसपास के क्षेत्र में चयनित एक प्राथमिक समानांतर चतुर्भुज की तनाव स्थिति को अंजीर में दिखाया गया है। २४.९, ए. समानांतर चतुर्भुज के चेहरों के साथ, जो बार के क्रॉस-सेक्शन के साथ मेल खाते हैं, सामान्य तनाव और स्पर्शरेखा कार्य करते हैं। अपरूपण प्रतिबलों के युग्मन के नियम के आधार पर समांतर चतुर्भुज के ऊपरी और निचले फलकों पर भी प्रतिबल उत्पन्न होता है। अन्य दो चेहरे तनावमुक्त हैं। इस प्रकार, इस मामले में, समतल तनाव अवस्था का एक विशेष रूप है, जिसे Ch में विस्तार से माना जाता है। 3. मुख्य तनाव गतिभंग और सूत्रों (12.3) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

उनमें मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

वोल्टेज के अलग-अलग संकेत होते हैं और इसलिए,

एक प्राथमिक समानांतर चतुर्भुज, मुख्य क्षेत्रों द्वारा बिंदु ए के आसपास के क्षेत्र में हाइलाइट किया गया, अंजीर में दिखाया गया है। २४.९, बी.

मरोड़ के साथ बीम की झुकने की ताकत की गणना, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है (§ 1.9 की शुरुआत देखें), शक्ति सिद्धांतों का उपयोग करके किया जाता है। इस मामले में, प्लास्टिक सामग्री से बने सलाखों की गणना आमतौर पर ताकत के तीसरे या चौथे सिद्धांत के आधार पर की जाती है, और भंगुर लोगों के लिए - मोहर के सिद्धांत के अनुसार।

शक्ति के तीसरे सिद्धांत के अनुसार [देखें। सूत्र (6.8)], इस असमानता में भावों को प्रतिस्थापित करते हुए [देखें। सूत्र (23.9)], हम प्राप्त करते हैं

परिचय।

झुकना एक प्रकार की विकृति है जो बाहरी बलों या तापमान की कार्रवाई के तहत एक विकृत वस्तु (लकड़ी, बीम, प्लेट, खोल, आदि) की धुरी या मध्य सतह की वक्रता (वक्रता में परिवर्तन) की विशेषता है। झुकना बार के क्रॉस-सेक्शन में झुकने वाले क्षणों की उपस्थिति के साथ जुड़ा हुआ है। यदि बार के क्रॉस-सेक्शन में छह आंतरिक बल कारकों में से केवल एक झुकने वाला क्षण शून्य से भिन्न होता है, तो झुकने को शुद्ध कहा जाता है:

यदि बीम के क्रॉस-सेक्शन में, झुकने वाले क्षण के अलावा, एक अनुप्रस्थ बल भी कार्य करता है, तो झुकने को अनुप्रस्थ कहा जाता है:

इंजीनियरिंग अभ्यास में, झुकने का एक विशेष मामला भी माना जाता है - अनुदैर्ध्य I. ( चावल। 1, सी), अनुदैर्ध्य संपीड़न बलों की कार्रवाई के तहत रॉड के बकलिंग की विशेषता है। छड़ की धुरी के साथ निर्देशित और उसके लंबवत बलों की एक साथ कार्रवाई, अनुदैर्ध्य-अनुप्रस्थ झुकने का कारण बनती है ( चावल। 1, जी)।

चावल। 1. बार का मोड़: ए - साफ: बी - अनुप्रस्थ; • - अनुदैर्ध्य; डी - अनुदैर्ध्य-अनुप्रस्थ।

एक बीम जो झुकने में काम करती है उसे बीम कहा जाता है। एक मोड़ को फ्लैट कहा जाता है यदि बीम अक्ष विरूपण के बाद एक सपाट रेखा बनी रहती है। बीम के घुमावदार अक्ष के स्थान के तल को झुकने वाला विमान कहा जाता है। भार बलों की क्रिया के तल को बल तल कहा जाता है। यदि बल तल अनुप्रस्थ काट के जड़त्व के प्रमुख तलों में से एक के साथ मेल खाता है, तो मोड़ को सीधा कहा जाता है। (अन्यथा, तिरछा झुकना होता है)। क्रॉस-सेक्शन की जड़ता का मुख्य विमान बार के अनुदैर्ध्य अक्ष के साथ क्रॉस-सेक्शन के मुख्य अक्षों में से एक द्वारा गठित विमान है। एक समतल सीधे मोड़ में, झुकने वाला तल और बल तल संपाती होता है।

एक बार (सेंट-वेनेंट समस्या) के मरोड़ और झुकने की समस्या बहुत व्यावहारिक रुचि की है। नेवियर द्वारा स्थापित झुकने के सिद्धांत का अनुप्रयोग संरचनात्मक यांत्रिकी का एक व्यापक विभाग बनाता है और इसका व्यावहारिक महत्व है, क्योंकि यह आयामों की गणना और संरचनाओं के विभिन्न भागों की ताकत की जांच के आधार के रूप में कार्य करता है: बीम, पुल, मशीन तत्व , आदि।

मूल समीकरण और लोच सिद्धांत की समस्याएं

§ 1.मूल समीकरण

सबसे पहले, हम एक लोचदार शरीर के संतुलन की समस्याओं के लिए बुनियादी समीकरणों का एक सामान्य सारांश देते हैं, जो लोच के सिद्धांत के एक खंड की सामग्री बनाते हैं, जिसे आमतौर पर एक लोचदार शरीर के स्थैतिक कहा जाता है।

शरीर की विकृत स्थिति पूरी तरह से विरूपण क्षेत्र या विस्थापन क्षेत्र के टेंसर द्वारा निर्धारित की जाती है विरूपण टेंसर के घटक अंतर कॉची निर्भरता द्वारा विस्थापन से संबंधित:

(1)

तनाव टेंसर घटकों को सेंट-वेनेंट अंतर संबंधों को पूरा करना चाहिए:

जो समीकरणों की अभिन्नता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं (1)।

शरीर की तनाव स्थिति तनाव क्षेत्र टेंसर द्वारा निर्धारित की जाती है एक सममित टेंसर के छह स्वतंत्र घटक () तीन अंतर संतुलन समीकरणों को पूरा करना चाहिए:

तनाव टेंसर घटक तथाविस्थापन हुक के नियम के छह समीकरणों से संबंधित हैं:

कुछ मामलों में, हुक के नियम के समीकरणों को सूत्र के रूप में उपयोग करना पड़ता है

, (5)

समीकरण (1) - (5) लोच के सिद्धांत की स्थैतिक समस्याओं के मूल समीकरण हैं। कभी-कभी समीकरण (1) और (2) को ज्यामितीय समीकरण, समीकरण कहा जाता है ( 3) - स्थिर समीकरण, और समीकरण (4) या (5) - भौतिक समीकरण। इसकी सतह पर स्थितियों को बुनियादी समीकरणों में जोड़ना आवश्यक है जो एक रैखिक लोचदार शरीर की स्थिति को उसके आंतरिक बिंदुओं पर निर्धारित करते हैं। इन स्थितियों को सीमा की स्थिति कहा जाता है। वे या तो निर्दिष्ट बाहरी सतह बलों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं या दिया गया विस्थापन शरीर की सतह के बिंदु। पहले मामले में, सीमा की स्थिति समानता द्वारा व्यक्त की जाती है:

वेक्टर के घटक कहां हैं टी सतह की ताकत, - यूनिट वेक्टर के घटक एन एस, सतह के लिए बाहरी सामान्य के साथ निर्देशित अपने विचार बिंदु पर।

दूसरे मामले में, सीमा की स्थिति समानता द्वारा व्यक्त की जाती है

कहां - सतह पर निर्दिष्ट कार्य।

सीमा की स्थितियों में एक मिश्रित चरित्र भी हो सकता है, जब एक तरफ शरीर की सतहों को बाहरी सतह बल दिया जाता है और दूसरी तरफ शरीर की सतह के विस्थापन निर्दिष्ट हैं:

अन्य प्रकार की सीमा स्थितियां भी संभव हैं। उदाहरण के लिए, शरीर की सतह के किसी हिस्से पर, विस्थापन वेक्टर के केवल कुछ घटक दिए गए हैं और इसके अलावा, सतह बल वेक्टर के सभी घटक भी नहीं दिए गए हैं।

§ 2. एक लोचदार शरीर के स्थैतिक की मुख्य समस्याएं

सीमा स्थितियों के प्रकार के आधार पर, लोच के सिद्धांत में तीन प्रकार की बुनियादी स्थैतिक समस्याएं होती हैं।

पहले प्रकार का मुख्य कार्य तनाव क्षेत्र टेंसर के घटकों को निर्धारित करना है क्षेत्र के भीतर , शरीर द्वारा कब्जा कर लिया, और क्षेत्र के अंदर बिंदुओं के विस्थापन के वेक्टर के घटक और सतह बिंदु दिए गए जन बलों के लिए निकाय और सतह बल

आवश्यक नौ कार्यों को बुनियादी समीकरणों (3) और (4), साथ ही सीमा शर्तों (6) को पूरा करना चाहिए।

दूसरे प्रकार का मुख्य कार्य विस्थापन का निर्धारण करना है क्षेत्र के अंदर बिंदु और तनाव क्षेत्र टेंसर घटक दी गई सामूहिक ताकतों के लिए और शरीर की सतह पर दिए गए विस्थापन के लिए।

मांगे गए कार्य तथा बुनियादी समीकरणों (3) और (4) और सीमा शर्तों (7) को पूरा करना चाहिए।

ध्यान दें कि सीमा की स्थिति (7) परिभाषित कार्यों की निरंतरता की आवश्यकता को दर्शाती है सीमा पर शरीर, यानी जब आंतरिक बिंदु सतह पर किसी बिंदु पर जाता है, फ़ंक्शन सतह पर दिए गए बिंदु पर दिए गए मान की ओर रुझान होना चाहिए।

तीसरे प्रकार या मिश्रित समस्या की मुख्य समस्या यह है कि, शरीर की सतह के एक हिस्से पर सतही बलों को देखते हुए और शरीर की सतह के दूसरे भाग पर दिए गए विस्थापन के अनुसार और सामान्यतया, दिए गए द्रव्यमान बलों के अनुसार तनाव और विस्थापन टेंसर के घटकों को निर्धारित करना आवश्यक है , मिश्रित सीमा स्थितियों (8) के तहत बुनियादी समीकरणों (3) और (4) को संतुष्ट करना।

इस समस्या का समाधान प्राप्त करने के बाद, विशेष रूप से, कनेक्शन के प्रयासों को निर्धारित करना संभव है , जिसे इस सतह पर दिए गए विस्थापनों को महसूस करने के लिए सतह के बिंदुओं पर लागू किया जाना चाहिए, और सतह के बिंदुओं के विस्थापन की गणना करना भी संभव है . कोर्सवर्क >> उद्योग, निर्माण

लंबाई के अनुसार लकड़ी, फिर छड़विकृत। विकृति लकड़ीएक ही समय के साथ ... लकड़ी, बहुलक, आदि। जब झुकना लकड़ीदो समर्थनों पर लेटे हुए, ... झुकनाएक विक्षेपण तीर द्वारा विशेषता होगी। इस मामले में, अवतल भाग में संपीड़ित तनाव लकड़ी ...

चिपके के लाभ लकड़ीकम वृद्धि वाले निर्माण में

सार >> निर्माण

चिपके हुए प्रोफाइल का उपयोग करते समय हल किया गया लकड़ी... लोड-बेयरिंग में चिपकी हुई लकड़ी ..., कर्ल नहीं करती है या झुकता... यह ईंधन के ... परिवहन की कमी के कारण है। 5. सतह से चिपके लकड़ी, सभी तकनीकी के अनुपालन में प्रदर्शन किया ...

शाफ्ट की गणना करते समय आंतरिक बल कारकों का यह संयोजन विशिष्ट है। समस्या सपाट है, क्योंकि परिपत्र क्रॉस-सेक्शन की एक पट्टी के लिए "तिरछा मोड़" की अवधारणा, जिसमें कोई केंद्रीय अक्ष मुख्य है, लागू नहीं है। सामान्य स्थिति में, बाहरी बलों की कार्रवाई, इस तरह की एक पट्टी निम्नलिखित प्रकार के विरूपण के संयोजन का अनुभव करती है: प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने, मरोड़ और केंद्रीय तनाव (संपीड़न)। अंजीर में। ११.५ बाहरी ताकतों से भरी हुई एक किरण को दर्शाता है जो सभी चार प्रकार के विरूपण का कारण बनती है।

आंतरिक बल आरेख आपको खतरनाक वर्गों की पहचान करने की अनुमति देते हैं, और तनाव आरेख - इन वर्गों में खतरनाक बिंदु। अपरूपण बलों से अपरूपण तनाव बीम अक्ष पर अपने अधिकतम तक पहुंचते हैं और एक ठोस बार के लिए महत्वहीन होते हैं और मरोड़ से कतरनी तनाव की तुलना में उपेक्षित किया जा सकता है, जो परिधीय बिंदुओं (बिंदु बी) पर अपने अधिकतम तक पहुंचते हैं।

एम्बेड में अनुभाग खतरनाक है, जहां अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ बल, झुकने और टोक़ एक ही समय में बहुत महत्व रखते हैं।

इस खंड में खतरनाक बिंदु वह बिंदु होगा जहां x और xy एक महत्वपूर्ण मान (बिंदु B) तक पहुंचते हैं। इस बिंदु पर, मरोड़ अधिनियम से सबसे बड़ा सामान्य झुकने वाला तनाव और कतरनी तनाव, साथ ही सामान्य तन्यता तनाव

सूत्र द्वारा मुख्य तनावों को निर्धारित करने के बाद:

हम पाते हैं लाल =

(उच्चतम कतरनी तनाव की कसौटी का उपयोग करते समय एम = 4, आकार परिवर्तन की विशिष्ट ऊर्जा के लिए मानदंड का उपयोग करते समय एम = 3)।

व्यंजकों α और xy को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या यह ध्यान में रखते हुए कि डब्ल्यू पी = 2 डब्ल्यू जेड, ए = (10.4 देखें),

यदि शाफ्ट दो परस्पर लंबवत विमानों में मुड़ा हुआ है, तो M z के बजाय M tot = . को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है

कम तनाव लाल अनुमेय तनाव एडम से अधिक नहीं होना चाहिए, सुरक्षा कारक को ध्यान में रखते हुए एक रैखिक तनाव राज्य में परीक्षणों के दौरान निर्धारित किया जाता है। दिए गए आयामों और अनुमेय तनावों पर, एक सत्यापन गणना की जाती है, स्थिति से सुरक्षित ताकत सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक आयाम पाए जाते हैं

११.५. क्रांति के क्षणभंगुर गोले की गणना

इंजीनियरिंग में, संरचनात्मक तत्वों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जो ताकत और कठोरता की गणना के दृष्टिकोण से, पतले गोले के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। शेल को पतला मानने की प्रथा है यदि इसकी मोटाई का समग्र आकार से अनुपात 1/20 से कम है। पतले गोले के लिए, सीधे मानदंडों की परिकल्पना लागू होती है: सामान्य से औसत दर्जे की सतह के खंड विरूपण के बाद सीधे और अविभाज्य रहते हैं। इस मामले में, विकृतियों का एक रैखिक वितरण होता है और इसके परिणामस्वरूप, खोल मोटाई पर सामान्य तनाव (छोटे लोचदार विकृतियों पर) होता है।

खोल की सतह वक्र के तल में स्थित अक्ष के परितः समतल वक्र को घुमाकर प्राप्त की जाती है। यदि वक्र को एक सीधी रेखा से बदल दिया जाता है, तो जब यह अक्ष के समानांतर घूमता है, तो एक गोलाकार बेलनाकार खोल प्राप्त होता है, और जब यह अक्ष के कोण पर घूमता है - एक शंक्वाकार।

डिजाइन योजनाओं में, खोल को इसकी औसत सतह (सामने वाले से समान दूरी) द्वारा दर्शाया जाता है। औसत सतह आमतौर पर एक वक्रीय ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली और से जुड़ी होती है। कोण θ () रोटेशन की धुरी के लिए सामान्य रूप से गुजरने वाले विमान के साथ मध्य-सतह के चौराहे की रेखा के समानांतर की स्थिति निर्धारित करता है।

अंजीर। 11.6 अंजीर। 11.7

सतह के मध्य के साथ सामान्य के माध्यम से विमानों का एक सेट खींचा जा सकता है, जो इसके लिए सामान्य होगा और इसके साथ वर्गों में वक्रता के विभिन्न त्रिज्या के साथ रेखाएं बनती हैं। इनमें से दो त्रिज्याएँ चरम हैं। वे रेखाएँ जिनसे वे मेल खाती हैं, प्रमुख वक्रता रेखाएँ कहलाती हैं। रेखाओं में से एक मेरिडियन है, इसकी वक्रता त्रिज्या निरूपित की जाती है आर 1... दूसरे वक्र की वक्रता त्रिज्या है आर 2(वक्रता का केंद्र रोटेशन की धुरी पर स्थित है)। त्रिज्या केंद्र आर 1तथा आर 2संयोग (गोलाकार खोल) हो सकता है, मध्य सतह के एक या विपरीत किनारों पर झूठ बोल सकता है, केंद्रों में से एक अनंत (बेलनाकार और शंक्वाकार गोले) तक जा सकता है।

बुनियादी समीकरणों को संकलित करते समय, मुख्य वक्रता के विमानों में बलों और विस्थापन को खोल के सामान्य वर्गों में संदर्भित किया जाता है। आइए आंतरिक प्रयासों के लिए ura-vnenie की रचना करें। दो आसन्न मध्याह्न तलों (कोण θ और + dθ के साथ) और घूर्णन की धुरी के सामान्य दो आसन्न समानांतर वृत्तों (कोण φ और φ + dφ के साथ) द्वारा काटे गए शेल के एक अतिसूक्ष्म तत्व (चित्र ११.६) पर विचार करें। अनुमानों और क्षणों की कुल्हाड़ियों की एक प्रणाली के रूप में, हम कुल्हाड़ियों की एक आयताकार प्रणाली का चयन करते हैं एक्स, आप, जेड... एक्सिस आपमेरिडियन, अक्ष के लिए स्पर्शरेखा निर्देशित जेड- सामान्य के साथ।

अक्षीय समरूपता (भार P = 0) के कारण, केवल सामान्य बल ही तत्व पर कार्य करेंगे। एन φ - रैखिक मेरिडियन बल मेरिडियन को स्पर्शरेखा निर्देशित करता है: एन θ - रैखिक कुंडलाकार बल वृत्त को स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित करता है। समीकरण X = 0 एक सर्वसमिका बन जाता है। हम सभी बलों को अक्ष पर प्रक्षेपित करते हैं जेड:

2N r 1 dφsinφ + r o dθdφ + P z r 1 dφr o dθ = 0.

यदि हम अपरिमित उच्च-क्रम मान () r o dθ dφ की उपेक्षा करते हैं और समीकरण को r 1 r o dφ dθ से विभाजित करते हैं, तो यह ध्यान में रखते हुए कि हमें P. Laplace के कारण समीकरण प्राप्त होता है:

विचाराधीन तत्व के लिए समीकरण Y = 0 के बजाय, हम कोश के ऊपरी भाग के लिए संतुलन समीकरण बनाते हैं (चित्र 11.6)। आइए सभी बलों को रोटेशन की धुरी पर प्रोजेक्ट करें:

उड: आर वी - शेल के कटे हुए हिस्से पर लागू परिणामी बाहरी बलों का ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण। इसलिए,

N के मानों को लाप्लास समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम N पाते हैं। गतिहीन सिद्धांत के अनुसार घूर्णन के कोश में बलों का निर्धारण एक सांख्यिकीय रूप से परिभाषित समस्या है। यह इस तथ्य के परिणामस्वरूप संभव हो गया कि हमने तुरंत शेल मोटाई में तनाव भिन्नता के नियम को पोस्ट किया - हमने उन्हें स्थिर माना।

गोलाकार गुंबद के मामले में, हमारे पास r 1 = r 2 = r और r о = r है। यदि भार को तीव्रता के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है पीखोल के क्षैतिज प्रक्षेपण पर, तब

इस प्रकार, मेरिडियन दिशा में, गुंबद समान रूप से संकुचित होता है। सतह के घटक सामान्य के साथ लोड होते हैं जेडपी जेड = पी के बराबर है। हम N और P z के मानों को लाप्लास समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इससे पाते हैं:

वलयाकार संपीड़न बल गुंबद के शीर्ष पर = 0 पर अपने अधिकतम तक पहुँचते हैं। φ = 45 º - N θ = 0 पर; > 45- N θ = 0 पर तन्य हो जाता है और अधिकतम = 90 पर पहुंच जाता है।

मेरिडियन प्रयास का क्षैतिज घटक बराबर है:

एक क्षणहीन कोश की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। मुख्य पाइप लाइन में गैस भरी हुई है, जिसका दाब है आर.

यहाँ r 1 = R, r 2 = a पहले से स्वीकृत धारणा के अनुसार है कि तनाव पूरे मोटाई में समान रूप से वितरित किया जाता है δ सीप

कहा पे: मी - सामान्य मध्याह्न तनाव, और

टी - परिधीय (अक्षांशीय, वलय) सामान्य तनाव।

स्थानिक मोड़इस प्रकार के जटिल प्रतिरोध को कहा जाता है, जिसमें केवल झुकने वाले क्षण बार के क्रॉस-सेक्शन में कार्य करते हैं और
... इस मामले में, कुल झुकने का क्षण जड़ता के किसी भी प्रमुख विमान में कार्य करता है। कोई अनुदैर्ध्य बल नहीं है। एक स्थानिक या जटिल मोड़ को अक्सर कहा जाता है नॉनप्लानर बेंडचूँकि दंड का वक्र अक्ष समतल वक्र नहीं है। यह झुकाव बीम अक्ष के लंबवत विभिन्न विमानों में कार्य करने वाले बलों के कारण होता है (चित्र 12.4)।

ऊपर वर्णित जटिल प्रतिरोध के साथ समस्याओं को हल करने के क्रम के बाद, हम अंजीर में प्रस्तुत बलों की स्थानिक प्रणाली का विस्तार करते हैं। 12.4, दो में इस तरह से कि उनमें से प्रत्येक प्रमुख विमानों में से एक में कार्य करता है। नतीजतन, हमें दो सपाट अनुप्रस्थ मोड़ मिलते हैं - ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज विमानों में। बीम के क्रॉस-सेक्शन में इस मामले में उत्पन्न होने वाले चार आंतरिक बल कारकों में से
, हम केवल झुकने वाले क्षणों के प्रभाव को ध्यान में रखेंगे
... हम आरेख बनाते हैं
बलों के कारण क्रमशः
(चित्र 12.4)।

झुकने वाले क्षणों के आरेखों का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि खंड ए खतरनाक है, क्योंकि यह इस खंड में है कि सबसे बड़ा झुकने वाला क्षण उत्पन्न होता है
तथा
... अब खंड ए के खतरनाक बिंदुओं को सेट करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, शून्य रेखा खींचें। इस समीकरण में शामिल शर्तों के लिए संकेतों के नियम को ध्यान में रखते हुए शून्य रेखा समीकरण का रूप है:

. (12.7)

यहाँ संकेत "" को समीकरण के दूसरे पद के पास अपनाया गया है, क्योंकि पहली तिमाही में तनाव पल के कारण होता है
नकारात्मक होगा।

शून्य रेखा के झुकाव के कोण का निर्धारण करें सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ (आकृति 12.6):

. (12.8)

समीकरण (12.7) से यह निम्नानुसार है कि स्थानिक झुकने पर शून्य रेखा एक सीधी रेखा है और खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है।

अंजीर। 12.5 से यह देखा जा सकता है कि शून्य रेखा से सबसे दूर खंड संख्या 2 और संख्या 4 के बिंदुओं पर सबसे बड़ा तनाव होगा। इन बिंदुओं पर सामान्य तनावों का परिमाण समान होगा, लेकिन वे संकेत में भिन्न होते हैं: बिंदु संख्या 4 पर, तनाव सकारात्मक होगा, अर्थात। स्ट्रेचिंग, बिंदु # 2 पर - नकारात्मक, अर्थात। संपीड़न। इन तनावों के संकेत भौतिक विचारों से स्थापित किए गए थे।

अब जब खतरनाक बिंदु स्थापित हो गए हैं, तो हम खंड ए में अधिकतम तनाव की गणना करते हैं और अभिव्यक्ति का उपयोग करके बीम की ताकत की जांच करते हैं:

. (12.9)

ताकत की स्थिति (12.9) न केवल बीम की ताकत की जांच करना संभव बनाती है, बल्कि क्रॉस सेक्शन के पहलू अनुपात को निर्दिष्ट करने पर इसके क्रॉस सेक्शन के आयामों का चयन करना भी संभव बनाती है।

१२.४. तिरछा मोड़

परोक्षइस प्रकार के जटिल प्रतिरोध को कहा जाता है, जिसमें बीम के क्रॉस-सेक्शन में केवल झुकने वाले क्षण दिखाई देते हैं
तथा
, लेकिन स्थानिक झुकने के विपरीत, बीम पर लागू सभी बल एक (बल) विमान में कार्य करते हैं जो जड़ता के किसी भी प्रमुख विमान से मेल नहीं खाता है। इस प्रकार के झुकने का व्यवहार में सबसे अधिक बार सामना करना पड़ता है, इसलिए हम इसकी अधिक विस्तार से जांच करेंगे।

बल से लदी एक ब्रैकट बीम पर विचार करें , जैसा कि चित्र 12.6 में दिखाया गया है, और आइसोट्रोपिक सामग्री से बना है।

स्थानिक झुकने की तरह, तिरछी झुकने पर कोई अनुदैर्ध्य बल नहीं होता है। हम बीम की ताकत की गणना करते समय अनुप्रस्थ बलों के प्रभाव की उपेक्षा करेंगे।

चित्र 12.6 में दिखाए गए बीम का डिज़ाइन आरेख चित्र 12.7 में दिखाया गया है।

बल का विस्तार करें ऊर्ध्वाधर के लिए और क्षैतिज घटकों और इनमें से प्रत्येक घटक से हम झुकने वाले क्षणों के आरेख बनाते हैं
तथा
.

आइए हम खंड में कुल झुकने वाले क्षण के घटकों की गणना करें :

;
.

खंड में कुल झुकने का क्षण के बराबर है

इस प्रकार, कुल झुकने वाले क्षण के घटकों को कुल क्षण के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

;
. (12.10)

अभिव्यक्ति (१२.१०) से यह देखा जा सकता है कि तिरछे झुकने के साथ बाहरी बलों की प्रणाली को घटकों में विघटित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कुल झुकने वाले क्षण के ये घटक ट्रेस के झुकाव के कोण का उपयोग करके एक दूसरे से संबंधित हैं। बल विमान ... नतीजतन, घटकों के आरेख बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है।
तथा
पूर्ण झुकने का क्षण। यह कुल झुकने वाले क्षण की साजिश रचने के लिए पर्याप्त है।
बल के विमान में, और फिर, अभिव्यक्ति (12.10) का उपयोग करके, हमारे लिए ब्याज की बीम के किसी भी भाग में कुल झुकने वाले क्षण के घटकों को निर्धारित करें। यह निष्कर्ष तिरछा झुकने के साथ समस्याओं के समाधान को बहुत सरल करता है।

सामान्य तनाव (12.2) के सूत्र में कुल झुकने वाले क्षण (12.10) के घटकों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें
... हम पाते हैं:

. (12.11)

यहां कुल झुकने वाले क्षण के पास "" चिह्न विशेष रूप से क्रॉस-सेक्शन के विचार बिंदु पर सामान्य तनाव का सही संकेत स्वचालित रूप से प्राप्त करने के उद्देश्य से रखा गया है। पूर्ण झुकने का क्षण
और बिंदु निर्देशांक तथा उनके संकेतों के साथ लिया जाता है, बशर्ते कि पहले चतुर्थांश में बिंदु के निर्देशांक के संकेत सकारात्मक लिए गए हों।

सूत्र (12.11) एक बीम के तिरछे झुकने के एक विशेष मामले पर विचार करके प्राप्त किया गया था, एक छोर पर संयमित और दूसरे पर एक केंद्रित बल द्वारा लोड किया गया। हालांकि, यह सूत्र तिरछे झुकने वाले तनावों की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र है।

एक खतरनाक खंड, जैसा कि विचाराधीन मामले में स्थानिक झुकने के मामले में (चित्र। 12.6), खंड ए होगा, क्योंकि इस खंड में सबसे बड़ा कुल झुकने वाला क्षण होता है। खंड ए के खतरनाक बिंदुओं को जीरो लाइन प्लॉट करके निर्धारित किया जाएगा। हम सूत्र (12.11) का उपयोग करके निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर सामान्य तनावों की गणना करके शून्य रेखा समीकरण प्राप्त करते हैं। तथा शून्य रेखा से संबंधित हैं और पाए गए वोल्टेज को शून्य के बराबर करते हैं। सरल परिवर्तनों के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

(12.12)

. (12.13)

यहां अक्ष पर शून्य रेखा के झुकाव का कोण (चित्र 12.8)।

जांच समीकरण (12.12) और (12.13), हम तिरछी झुकने पर शून्य रेखा के व्यवहार के बारे में कुछ निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

चित्र 12.8 से यह निम्नानुसार है कि परिमाण में उच्चतम तनाव शून्य रेखा से सबसे दूर के खंड के बिंदुओं पर उत्पन्न होता है। इस मामले में, ऐसे बिंदु अंक # 1 और # 3 हैं। इस प्रकार, तिरछी झुकने में, ताकत की स्थिति इस प्रकार है:

. (12.14)

यहां:
;
.

यदि जड़ता के मुख्य अक्षों के सापेक्ष खंड के प्रतिरोध के क्षणों को खंड के आयामों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, तो इस रूप में ताकत की स्थिति का उपयोग करना सुविधाजनक है:

. (12.15)

वर्गों का चयन करते समय, प्रतिरोध के अक्षीय क्षणों में से एक को ब्रैकेट से बाहर निकाला जाता है और अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है ... जानने
,
और कोण , क्रमिक प्रयासों से मूल्यों को निर्धारित करते हैं
तथा ताकत की स्थिति को संतुष्ट करना

. (12.16)

बिना उभरे हुए कोनों के असममित वर्गों के लिए, ताकत की स्थिति का उपयोग फॉर्म (12.14) में किया जाता है। इस मामले में, एक खंड का चयन करने के प्रत्येक नए प्रयास के साथ, आपको पहले शून्य रेखा की स्थिति और सबसे दूर के बिंदु के निर्देशांक को फिर से खोजना होगा (
) आयताकार खंड के लिए
... अनुपात को देखते हुए, ताकत की स्थिति (12.16) से, कोई भी आसानी से मूल्य का पता लगा सकता है
और क्रॉस-अनुभागीय आयाम।

तिरछी झुकने में विस्थापन की परिभाषा पर विचार करें। खंड में विक्षेपण ज्ञात कीजिए ब्रैकट बीम (चित्र 12.9)। ऐसा करने के लिए, हम एक एकल अवस्था में एक बीम का चित्रण करेंगे और प्रमुख विमानों में से एक में इकाई झुकने वाले क्षणों का आरेख तैयार करेंगे। हम खंड में कुल विक्षेपण का निर्धारण करेंगे , पहले विस्थापन वेक्टर के अनुमानों को परिभाषित किया है अक्ष पर तथा ... अक्ष पर पूर्ण विक्षेपण वेक्टर का प्रक्षेपण मोहर के सूत्र का उपयोग करके खोजें:

अक्ष पर पूर्ण विक्षेपण वेक्टर का प्रक्षेपण इसी तरह खोजें:

कुल विक्षेपण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

. (12.19)

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सूत्रों (12.17) और (12.18) में तिरछी झुकने के मामले में, समन्वय अक्षों पर विक्षेपण के अनुमानों का निर्धारण करते समय, केवल अभिन्न संकेत के सामने स्थिर शर्तें बदल जाती हैं। अभिन्न स्वयं स्थिर रहता है। व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, हम मोहर-सिम्पसन पद्धति का उपयोग करके इस समाकलन की गणना करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम इकाई आरेख को गुणा करते हैं
माल ढुलाई के लिए
(चित्र। 12.9), बल तल में प्लॉट किया गया है, और फिर प्राप्त परिणाम को क्रमिक रूप से निरंतर गुणांक से गुणा किया जाता है, तथा ... नतीजतन, हमें पूर्ण विक्षेपण का प्रक्षेपण मिलता है तथा समन्वय अक्ष पर तथा ... सामान्य लोडिंग केस के लिए विक्षेपण अनुमानों के लिए अभिव्यक्ति, जब बीम है भूखंड इस तरह दिखेगा:

; (12.20)

. (12.21)

हम पाए गए मानों को स्थगित कर देते हैं ,तथा (चित्र 12.8)। पूर्ण विक्षेपण वेक्टर धुरी के साथ बनाता है तेज़ कोने , जिसके मान सूत्र द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं:

, (12.22)

. (12.23)

समीकरण (12.22) की शून्य रेखा समीकरण (12.13) से तुलना करने पर हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि

या
,

जहां से यह इस प्रकार है कि शून्य रेखा और कुल विक्षेपण का सदिश परस्पर लंबवत। इंजेक्शन कोने को पूरा करता है 90 0 तक। तिरछी झुकने की समस्याओं को हल करते समय इस स्थिति का उपयोग जाँच के लिए किया जा सकता है:

. (12.24)

इस प्रकार, तिरछी झुकने के दौरान विक्षेपों की दिशा शून्य रेखा के लंबवत होती है। इसका तात्पर्य महत्वपूर्ण शर्त से है कि विक्षेपण की दिशा अभिनय बल की दिशा से मेल नहीं खाती(चित्र 12.8)। यदि भार बलों की एक समतल प्रणाली है, तो घुमावदार बीम की धुरी एक ऐसे विमान में होती है जो बलों की कार्रवाई के विमान से मेल नहीं खाती है। बल विमान के संबंध में बीम तिरछा है। इस परिस्थिति ने इस तथ्य के आधार के रूप में कार्य किया कि इस तरह के मोड़ को कहा जाने लगा परोक्ष.

उदाहरण 12.1.शून्य रेखा की स्थिति ज्ञात कीजिए (कोण ज्ञात कीजिए ) चित्र 12.10 में दिखाए गए बीम के क्रॉस-सेक्शन के लिए।

1. बल तल के निशान का कोण हम अक्ष की सकारात्मक दिशा से स्थगित कर देंगे ... इंजेक्शन हम हमेशा तेज लेंगे, लेकिन संकेत को ध्यान में रखते हुए। किसी भी कोण को सकारात्मक माना जाता है यदि, सही समन्वय प्रणाली में, इसे अक्ष की सकारात्मक दिशा से प्लॉट किया जाता है वामावर्त, और ऋणात्मक यदि कोण को दक्षिणावर्त अलग रखा जाता है। इस मामले में, कोण नकारात्मक माना जाता है (
).

2. जड़त्व के अक्षीय क्षणों का अनुपात निर्धारित करें:

.

3. हम शून्य रेखा के समीकरण को तिरछे मोड़ पर इस रूप में लिखते हैं, जहाँ से हम कोण पाते हैं :

;
.

4. कोण सकारात्मक निकला, इसलिए हमने इसे अक्ष की सकारात्मक दिशा से स्थगित कर दिया शून्य रेखा के विपरीत दिशा में (चित्र 12.10)।

उदाहरण १२.२.तिरछी झुकने के दौरान बीम के क्रॉस-सेक्शन के बिंदु ए पर सामान्य तनाव का परिमाण निर्धारित करें, यदि झुकने का क्षण
केएनएम, बिंदु निर्देशांक
से। मी,
बीम क्रॉस-सेक्शन आयाम देखें और विमान ढलान लोड करें चित्र 12.11 में दिखाया गया है।

1. आइए प्रारंभिक रूप से अक्षों के बारे में अनुभाग की जड़ता के क्षणों की गणना करें तथा :

सेमी 4;
सेमी 4.

2. आइए हम तिरछे झुकने के तहत क्रॉस-सेक्शन के एक मनमाना बिंदु पर सामान्य तनावों को निर्धारित करने के लिए सूत्र (12.11) लिखें। झुकने वाले क्षण के मूल्य को सूत्र (12.11) में प्रतिस्थापित करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि झुकने का क्षण समस्या की स्थिति से सकारात्मक है।

7.78 एमपीए।

उदाहरण १२.३.चित्र 12.12a में दिखाए गए बीम के क्रॉस-सेक्शन के आयामों का निर्धारण करें। बीम सामग्री - स्वीकार्य तनाव के साथ स्टील
एमपीए पक्षानुपात सेट है
... भार और बल तल के झुकाव का कोण चित्र 12.12c में दिखाए गए हैं।

1. खतरनाक खंड की स्थिति निर्धारित करने के लिए, हम झुकने वाले क्षणों की साजिश करते हैं (चित्र 12.12 बी)। धारा ए खतरनाक है। खतरनाक खंड में अधिकतम झुकने का क्षण
केएनएम

2. खंड ए में खतरनाक बिंदु कोने के बिंदुओं में से एक होगा। हम फॉर्म में ताकत की स्थिति लिखते हैं

,

हम इसे कहां पाते हैं, यह देखते हुए कि अनुपात
:

3. क्रॉस सेक्शन के आयाम निर्धारित करें। प्रतिरोध का अक्षीय क्षण
पार्टियों के संबंधों को ध्यान में रखते हुए
के बराबर है:

सेमी 3, कहाँ से

से। मी;
से। मी।

उदाहरण 12.4।बीम के झुकने के परिणामस्वरूप, खंड के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कोण द्वारा निर्धारित दिशा में चला गया अक्ष के साथ (चित्र 12.13, ए)। झुकाव के कोण का निर्धारण करें बल विमान। बीम के क्रॉस-सेक्शन का आकार और आयाम चित्र में दिखाया गया है।

1. बल समतल ट्रेस के झुकाव कोण का निर्धारण करने के लिए हम व्यंजक (12.22) का उपयोग करते हैं:

, कहां
.

जड़ता अनुपात का क्षण
(उदाहरण 12.1 देखें)। फिर

.

इस कोण मान को अलग रखें अक्ष की सकारात्मक दिशा से (चित्र 12.13, ख)। चित्र 12.13, b में बल समतल अनुरेखण को एक धराशायी रेखा द्वारा दिखाया गया है।

2. आइए प्राप्त समाधान की जांच करें। ऐसा करने के लिए, कोण के पाए गए मान के साथ शून्य रेखा की स्थिति ज्ञात कीजिए। आइए व्यंजक (12.13) का प्रयोग करें:

.

शून्य रेखा को चित्र 12.13 में डैश-बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है। शून्य रेखा विक्षेपण रेखा के लंबवत होनी चाहिए। चलो पता करते हैं:

उदाहरण 12.5।तिरछी झुकने के दौरान खंड बी में बीम के कुल विक्षेपण का निर्धारण करें (चित्र १२.१४ए)। बीम सामग्री - लोचदार मापांक के साथ स्टील
एमपीए क्रॉस-अनुभागीय आयाम और बल विमान के झुकाव का कोण चित्र 12.14b में दिखाए गए हैं।

1. आइए कुल विक्षेपण के वेक्टर के अनुमानों को परिभाषित करें खंड ए . में तथा ... ऐसा करने के लिए, झुकने वाले क्षणों का लोड आरेख बनाएं
(चित्र। 12.14, सी), एक एकल भूखंड
(चित्र.12.14, घ)।

2. मोहर-सिम्पसन विधि को लागू करते हुए, हम भार को गुणा करते हैं
और एक एकल
भाव (12.20) और (12.21) का उपयोग करते हुए झुकने वाले क्षण आरेख:

एम
मिमी

एम
मिमी

खंड की जड़ता के अक्षीय क्षण
सेमी 4 और
सेमी 4 हम उदाहरण 12.1 से लेते हैं।

3. खंड बी के कुल विक्षेपण का निर्धारण करें:

.

पूर्ण विक्षेपण और पूर्ण विक्षेपण के अनुमानों के पाए गए मूल्यों को चित्र में अलग रखा गया है (चित्र 12.14 बी)। चूंकि समस्या को हल करते समय कुल विक्षेपण के अनुमान सकारात्मक निकले, इसलिए हमने उन्हें एक इकाई बल की कार्रवाई की दिशा में स्थगित कर दिया, अर्थात। नीचे की तरफ ( ) और चला गया ( ).

5. समाधान की शुद्धता की जांच करने के लिए, हम शून्य रेखा के अक्ष के झुकाव के कोण को निर्धारित करते हैं :

कुल विक्षेपण की दिशा के कोणों के मॉड्यूल जोड़ें तथा :

इसका मतलब है कि कुल विक्षेपण शून्य रेखा के लंबवत है। इस प्रकार, समस्या को सही ढंग से हल किया गया था।