अपरिमेय असमानताओं को हल करने के तरीके उदाहरण हैं। अपरिमेय असमानताओं को हल करने के लिए कुछ सिफारिशें

इस पाठ में हम अपरिमेय असमानताओं के समाधान पर विचार करेंगे, हम विभिन्न उदाहरण देंगे।

विषय: समीकरण और असमानताएँ। समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली

सबक:तर्कहीन असमानताएं

तर्कहीन असमानताओं को हल करते समय, असमानता के दोनों पक्षों को कुछ हद तक उठाना अक्सर आवश्यक होता है, यह एक महत्वपूर्ण ऑपरेशन है। आइए सुविधाओं को याद करें।

असमानता के दोनों पक्षों को चुकता किया जा सकता है यदि दोनों गैर-ऋणात्मक हैं, तभी हमें वास्तविक असमानता से सही असमानता मिलती है।

असमानता के दोनों पक्ष किसी भी स्थिति में घन हो सकते हैं, यदि मूल असमानता सत्य थी, तो जब हम घन करते हैं, तो हमें सही असमानता मिलती है।

फॉर्म की असमानता पर विचार करें:

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक होनी चाहिए। फ़ंक्शन किसी भी मूल्य पर ले सकता है, विचार करने के लिए दो मामले हैं।

पहले मामले में, असमानता के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, हमें वर्ग का अधिकार है। दूसरे मामले में, दाहिना हाथ ऋणात्मक है, और हमें वर्ग बनाने का कोई अधिकार नहीं है। इस मामले में, असमानता के अर्थ को देखना आवश्यक है: यहां एक सकारात्मक अभिव्यक्ति (वर्गमूल) एक नकारात्मक अभिव्यक्ति से अधिक है, जिसका अर्थ है कि असमानता हमेशा संतुष्ट होती है।

तो, हमारे पास निम्नलिखित समाधान योजना है:

पहली प्रणाली में, हम अलग से कट्टरपंथी अभिव्यक्ति की रक्षा नहीं करते हैं, क्योंकि जब प्रणाली की दूसरी असमानता संतुष्ट होती है, तो कट्टरपंथी अभिव्यक्ति स्वचालित रूप से सकारात्मक होनी चाहिए।

उदाहरण 1 - असमानता को हल करें:

योजना के अनुसार, हम असमानताओं की दो प्रणालियों के समतुल्य सेट को पास करते हैं:

आइए बताते हैं:

चावल। 1 - उदाहरण 1 के समाधान का चित्रण

जैसा कि हम देख सकते हैं, जब अतार्किकता से छुटकारा मिलता है, उदाहरण के लिए, स्क्वायरिंग करते समय, हमें सिस्टम का एक सेट मिलता है। कभी-कभी इस जटिल डिजाइन को सरल बनाया जा सकता है। परिणामी सेट में, हमें पहली प्रणाली को सरल बनाने और समकक्ष सेट प्राप्त करने का अधिकार है:

एक स्वतंत्र अभ्यास के रूप में, इन आबादी की समानता को साबित करना आवश्यक है।

फॉर्म की असमानता पर विचार करें:

पिछली असमानता के समान, हम दो मामलों पर विचार करते हैं:

पहले मामले में, असमानता के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, हमें वर्ग का अधिकार है। दूसरे मामले में, दाहिना हाथ ऋणात्मक है, और हमें वर्ग बनाने का कोई अधिकार नहीं है। इस मामले में, असमानता के अर्थ को देखना आवश्यक है: यहां एक सकारात्मक अभिव्यक्ति (वर्गमूल) एक नकारात्मक अभिव्यक्ति से कम है, जिसका अर्थ है कि असमानता विरोधाभासी है। दूसरी प्रणाली पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

हमारे पास एक समान प्रणाली है:

कभी-कभी एक तर्कहीन असमानता को ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है। यह विधि तब लागू होती है जब संबंधित ग्राफ आसानी से बनाए जा सकते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पाए जा सकते हैं।

उदाहरण 2 - असमानताओं को आलेखीय रूप से हल करें:

ए)

बी)

हम पहली असमानता को पहले ही हल कर चुके हैं और हम इसका उत्तर जानते हैं।

असमानताओं को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए, आपको फ़ंक्शन को बाईं ओर और फ़ंक्शन को दाईं ओर प्लॉट करना होगा।

चावल। 2. कार्यों के रेखांकन और

फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, परवलय को एक परवलय में बदलना आवश्यक है (इसे y-अक्ष के बारे में दर्पण करें), परिणामी वक्र को 7 इकाइयों से दाईं ओर स्थानांतरित करें। ग्राफ़ इस बात की पुष्टि करता है कि यह फ़ंक्शन परिभाषा के अपने क्षेत्र में एकरस रूप से घटता है।

फंक्शन ग्राफ एक सीधी रेखा है, इसे प्लॉट करना आसान है। वाई-अवरोध (0; -1) है।

पहला फ़ंक्शन नीरस रूप से घटता है, दूसरा नीरस रूप से बढ़ता है। यदि समीकरण की जड़ है, तो यह केवल एक ही है, यह ग्राफ से अनुमान लगाना आसान है:।

जब तर्क मूल से छोटा होता है, तो परवलय सीधी रेखा के ऊपर होता है। जब तर्क तीन और सात के बीच होता है, तो रेखा परवलय के ऊपर होती है।

हमारे पास जवाब है:

अपरिमेय असमानताओं को हल करने का एक प्रभावी तरीका अंतराल की विधि है।

उदाहरण 3 - अंतराल विधि का उपयोग करके असमानताओं को हल करें:

ए)

बी)

अंतराल की विधि के अनुसार, अस्थायी रूप से असमानता से दूर जाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, दी गई असमानता में सब कुछ बाईं ओर स्थानांतरित करें (दाईं ओर शून्य प्राप्त करें) और बाईं ओर के बराबर एक फ़ंक्शन पेश करें:

अब परिणामी फ़ंक्शन की जांच करना आवश्यक है।

ओडीजेड:

हम पहले ही इस समीकरण को आलेखीय रूप से हल कर चुके हैं, इसलिए हम मूल के निर्धारण पर ध्यान नहीं देते हैं।

अब निरंतरता के अंतराल का चयन करना और प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन का संकेत निर्धारित करना आवश्यक है:

चावल। 3. निरंतरता के अंतराल उदाहरण के लिए 3

याद रखें कि अंतराल पर संकेतों को निर्धारित करने के लिए, नमूना बिंदु लेना और इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है; परिणामी संकेत पूरे अंतराल में फ़ंक्शन द्वारा बनाए रखा जाएगा।

आइए सीमा बिंदु पर मान की जाँच करें:

स्पष्ट उत्तर है:

निम्नलिखित प्रकार की असमानताओं पर विचार करें:

सबसे पहले, हम ODZ लिखते हैं:

जड़ें मौजूद हैं, वे गैर-ऋणात्मक हैं, हम दोनों भागों को वर्ग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

हमें एक समान प्रणाली मिली:

परिणामी प्रणाली को सरल बनाया जा सकता है। जब दूसरी और तीसरी असमानताएँ संतुष्ट हो जाती हैं, तो पहली स्वतः ही सत्य हो जाती है। हमारे पास है:

उदाहरण 4 - असमानता को हल करें:

हम योजना के अनुसार कार्य करते हैं - हमें एक समान प्रणाली मिलती है।

कोई भी असमानता जिसमें रूट के नीचे एक फंक्शन शामिल होता है, कहलाता है तर्कहीन... ऐसी असमानताएँ दो प्रकार की होती हैं:

पहले मामले में, रूट फ़ंक्शन g (x) से छोटा है, दूसरे में, यह बड़ा है। अगर जी (एक्स) - लगातारअसमानता को बहुत सरल किया गया है। कृपया ध्यान दें: बाह्य रूप से, ये असमानताएँ बहुत समान हैं, लेकिन उनकी समाधान योजनाएँ मौलिक रूप से भिन्न हैं।

आज हम सीखेंगे कि पहले प्रकार की अपरिमेय असमानताओं को कैसे हल किया जाए - वे सबसे सरल और सबसे अधिक समझने योग्य हैं। असमानता का संकेत सख्त या गैर-सख्त हो सकता है। निम्नलिखित कथन उनके लिए सत्य है:

प्रमेय। प्रपत्र की कोई भी अपरिमेय असमानता

असमानताओं की प्रणाली के बराबर:

कमजोर नहीं? आइए देखें कि ऐसी प्रणाली कहां से आती है:

1. एफ (एक्स) जी 2 (एक्स) - यहां सब कुछ स्पष्ट है। यह मूल वर्ग असमानता है;
2. f (x) 0 मूल का ODZ है। मैं आपको याद दिला दूं: अंकगणितीय वर्गमूल केवल से मौजूद है गैर नकारात्मकसंख्याएं;
3. g (x) 0 मूल का परिसर है। असमानता को चुकता करके, हम विपक्ष को जलाते हैं। नतीजतन, अतिरिक्त जड़ें पैदा हो सकती हैं। असमानता g (x) 0 उन्हें काट देती है।

कई छात्र सिस्टम की पहली असमानता पर "फिक्सेट" करते हैं: f (x) g 2 (x) - और अन्य दो को पूरी तरह से भूल जाते हैं। परिणाम पूर्वानुमेय है: गलत निर्णय, खोए हुए अंक।

चूँकि अपरिमेय असमानताएँ एक जटिल विषय हैं, इसलिए हम एक साथ 4 उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे। प्राथमिक से वास्तव में जटिल तक। सभी कार्य मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी की प्रवेश परीक्षा से लिए गए हैं। एमवी लोमोनोसोव।

समस्या समाधान के उदाहरण

कार्य। असमानता को हल करें:

हमसे पहले क्लासिक है तर्कहीन असमानता: एफ (एक्स) = 2x + 3; g (x) = 2 एक अचर है। हमारे पास है:

समाधान के अंत तक, तीन असमानताओं में से केवल दो ही रह जाती हैं। क्योंकि असमानता 2 0 हमेशा धारण करती है। हम शेष असमानताओं को काटते हैं:

तो, x [−1,5; 0.5]। सभी बिंदु भरे हुए हैं क्योंकि असमानताएँ सख्त नहीं हैं.

कार्य। असमानता को हल करें:

हम प्रमेय लागू करते हैं:

हम पहली असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, आइए अंतर का वर्ग खोलें। हमारे पास है:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
एक्स 2 - 10x< 0;
एक्स (एक्स - 10)< 0;
एक्स (0; 10)।

अब दूसरी असमानता को हल करते हैं। वहाँ भी वर्ग त्रिपद:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
एक्स 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(एक्स - 8) (एक्स - 1) ≥ 0;
एक्स ∈ (−∞; 1] )