किस बिंदु पर व्युत्पन्न सबसे बड़ा है? किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें?

इसके लिए हम एक सुविख्यात एल्गोरिदम का पालन करते हैं:

1 . ODZ फ़ंक्शंस ढूँढना।

2 . फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना

3 . व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करना

4 . हम वे अंतराल पाते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल I पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0" title='f^( prime)(x)>0 है">, то функция !} इस अंतराल में वृद्धि होती है।

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, तो फ़ंक्शन इस अंतराल में घट जाती है।

5 . हम देखतें है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम अंक.

में फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है.

में फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न चिन्ह "-" से "+" में बदल जाता है.

6 . हम खंड के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं,

• फिर हम खंड के सिरों पर और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना है तो उनमें से सबसे बड़ा चुनें
• या खंड के अंत में और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें, और यदि आपको ढूंढना हो तो उनमें से सबसे छोटा चुनें सबसे छोटा मूल्यकार्य

हालाँकि, फ़ंक्शन सेगमेंट पर कैसे व्यवहार करता है, इसके आधार पर, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

फ़ंक्शन पर विचार करें . इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए समस्याओं को हल करने के कई उदाहरण देखें बैंक खोलेंके लिए कार्य

1. टास्क बी15 (नंबर 26695)

खंड पर.

1. फ़ंक्शन x के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और x के सभी मानों के लिए व्युत्पन्न सकारात्मक है। नतीजतन, फ़ंक्शन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर, यानी x=0 पर सबसे बड़ा मान लेता है।

उत्तर: 5.

2 . टास्क बी15 (नंबर 26702)

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर.

1. ओडीजेड कार्य शीर्षक='x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, हालाँकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, title='3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मान लेता है।

यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं:

शीर्षक='y^(प्राइम)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

उत्तर: 5.

3. टास्क बी15 (नंबर 26708)

खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: title='x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

आइए इस समीकरण की जड़ों को त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखें।

अंतराल में दो संख्याएँ होती हैं: और

आइए संकेत लगाएं. ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x=0 पर अवकलज का चिह्न निर्धारित करते हैं: . बिंदुओं से गुजरते समय तथा, व्युत्पन्न चिह्न बदल देता है।

आइए हम समन्वय रेखा पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन को चित्रित करें:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (जिस पर व्युत्पन्न का चिह्न "-" से "+" में बदल जाता है), और खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु और खंड के बाएँ छोर पर, .

किसी कार्य का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

शर्तकिसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम (चरम) इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शन f(x) का चरम बिंदु x = a पर है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या मौजूद नहीं है।

यह शर्त आवश्यक है, परंतु पर्याप्त नहीं है। बिंदु x = a पर व्युत्पन्न शून्य, अनंत तक जा सकता है, या इस बिंदु पर चरम सीमा वाले फ़ंक्शन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है।

किसी फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर सकारात्मक है और a के दाईं ओर नकारात्मक है, तो बिंदु x = a पर फ़ंक्शन f(x) है अधिकतम

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर नकारात्मक और a के दाईं ओर सकारात्मक है, तो बिंदु x = a पर फ़ंक्शन f(x) है न्यूनतमबशर्ते कि यहां फलन f(x) सतत है।

इसके बजाय, आप किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त का उपयोग कर सकते हैं:

मान लीजिए बिंदु x = a पर पहला अवकलज f?(x) लुप्त हो जाता है; यदि दूसरा व्युत्पन्न f??(a) नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन f(x) का बिंदु x = a पर अधिकतम है, यदि यह सकारात्मक है, तो इसका न्यूनतम है।

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का चरम (यानी अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंफ़ंक्शन f?(x) और, इसे शून्य के बराबर करते हुए, प्रश्न हल करें f?(x) = 0. इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, यानी, तर्क के मान जिस पर चरम हो सकता है। इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न ग्राफ: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष (ऑक्स अक्ष) को काटता है और जिन पर ग्राफ़ में असंतोष होता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परवलय का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50.

फलन का व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

समीकरण हल करें: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

में इस मामले मेंक्रांतिक बिंदु x0=-1/3 है। यह इस तर्क मान के साथ है कि फ़ंक्शन में है चरम. उसे खोजो, फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में पाए गए नंबर को "x" के बजाय प्रतिस्थापित करें:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात। इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान?

यदि क्रांतिक बिंदु x0 से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो x0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिन्ह ऋण से धन में बदल जाता है, तो x0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिह्न नहीं बदलता है, तो बिंदु x0 पर न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम।

उदाहरण के लिए विचार किया गया:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = -1

x = -1 पर, अवकलज का मान y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 होगा (अर्थात् चिह्न "ऋण" है)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 पर, अवकलज का मान y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 होगा (अर्थात चिह्न "प्लस" है)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न माइनस से प्लस में बदल गया। इसका मतलब यह है कि क्रांतिक मान x0 पर हमारे पास न्यूनतम बिंदु है।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान अंतराल पर(एक खंड पर) एक ही प्रक्रिया का उपयोग करते हुए पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी नहीं महत्वपूर्ण बिंदुनिर्दिष्ट अंतराल के भीतर रहेगा। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल के बाहर हैं, उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के भीतर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसका अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मानों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

अंतराल पर:

तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

क्योंकि(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

हम अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं [-9; 9]:

x = आर्ककोस(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x = -arccos(0.16667) - 2π*1 = -7.687

x = आर्ककोस(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = आर्ककोस(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = आर्ककोस(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन मान पाते हैं:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का मान x = -4.88 पर सबसे बड़ा है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398.

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फ़ंक्शन का मान y = 5.398 के बराबर है।

अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है

y = 5.398 x = -4.88 पर

सबसे छोटा मान -

y = 1.077 x = -3 पर

फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु कैसे खोजें और उत्तल और अवतल पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

रेखा y = f(x) के सभी विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको दूसरा व्युत्पन्न ढूंढना होगा, इसे शून्य के बराबर करना होगा (समीकरण को हल करना होगा) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करना होगा जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, अनंत या अस्तित्व में नहीं है. यदि, इनमें से किसी एक मान से गुजरते समय, दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में इस बिंदु पर एक विभक्ति होती है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई मोड़ नहीं है।

समीकरण की जड़ें एफ? (x) = 0, साथ ही फ़ंक्शन और दूसरे व्युत्पन्न के संभावित असंततता बिंदु, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि अध्ययन के तहत अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखा y = f(x) ऊपर की ओर अवतल है, और यदि नकारात्मक है, तो नीचे की ओर है।

दो चरों वाले किसी फलन का चरम कैसे ज्ञात करें?

फ़ंक्शन f(x,y) के चरम को खोजने के लिए, जो इसके विनिर्देशन के क्षेत्र में भिन्न है, आपको चाहिए:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए - समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफх? (x,y) = 0, fу? (एक्स,वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु P0(a;b) के लिए जांच करें कि क्या अंतर का चिह्न अपरिवर्तित रहता है

सभी बिंदुओं (x;y) के लिए P0 के पर्याप्त करीब। यदि अंतर बना रहता है सकारात्मक संकेत, तो बिंदु P0 पर हमारे पास न्यूनतम है, यदि नकारात्मक है, तो हमारे पास अधिकतम है। यदि अंतर अपना चिह्न बरकरार नहीं रखता है, तो बिंदु P0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

फ़ंक्शन का चरम इसी प्रकार निर्धारित किया जाता है अधिकतर्क.

प्रिय मित्रों! व्युत्पन्न से संबंधित कार्यों के समूह में कार्य शामिल हैं - शर्त एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ देती है, इस ग्राफ़ पर कई बिंदु और प्रश्न है:

किस बिंदु पर व्युत्पन्न सबसे बड़ा (सबसे छोटा) है?

आइए संक्षेप में दोहराएँ:

किसी बिंदु पर व्युत्पन्न स्पर्श रेखा के ढलान के बराबर होता हैग्राफ़ पर यह बिंदु.

यूस्पर्शरेखा का वैश्विक गुणांक, बदले में, इस स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है।

*यह स्पर्शरेखा और x-अक्ष के बीच के कोण को संदर्भित करता है।

1. बढ़ते फलन के अंतराल पर, व्युत्पन्न होता है सकारात्मक मूल्य.

2. इसके घटने के अंतराल पर, व्युत्पन्न का नकारात्मक मान होता है।

निम्नलिखित रेखाचित्र पर विचार करें:

बिंदु 1,2,4 पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का नकारात्मक मान होता है, क्योंकि ये बिंदु घटते अंतराल से संबंधित होते हैं।

बिंदु 3,5,6 पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक सकारात्मक मान होता है, क्योंकि ये बिंदु बढ़ते अंतराल से संबंधित होते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्पन्न के अर्थ के साथ सब कुछ स्पष्ट है, अर्थात, यह निर्धारित करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है कि ग्राफ़ में एक निश्चित बिंदु पर इसका कौन सा चिह्न (सकारात्मक या नकारात्मक) है।

इसके अलावा, यदि हम मानसिक रूप से इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखाएं बनाते हैं, तो हम देखेंगे कि बिंदु 3, 5 और 6 से गुजरने वाली सीधी रेखाएं 0 से 90 डिग्री तक ओएक्स अक्ष के साथ कोण बनाती हैं, और बिंदु 1, 2 और 4 से गुजरने वाली सीधी रेखाएं बनाती हैं ऑक्स अक्ष के साथ कोण 90° से 180° तक होते हैं।

*संबंध स्पष्ट है: बढ़ते कार्यों के अंतराल से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाएं ऑक्स अक्ष के साथ बनती हैं तेज़ कोने, घटते फलनों के अंतराल से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्श रेखाएं oX अक्ष के साथ अधिक कोण बनाती हैं।

अब अहम सवाल!

व्युत्पन्न का मूल्य कैसे बदलता है? आख़िरकार, एक सतत फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा अलग-अलग कोण बनाती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वह ग्राफ़ के किस बिंदु से होकर गुजरती है।

*या, बोल रहा हूँ सरल भाषा में, स्पर्शरेखा को "क्षैतिज" या "लंबवत" के रूप में स्थित किया जाता है। देखना:

सीधी रेखाएँ oX अक्ष के साथ 0 से 90° तक के कोण बनाती हैं

सीधी रेखाएँ ऑक्स अक्ष के साथ 90° से 180° तक के कोण बनाती हैं

इसलिए, यदि आपके कोई प्रश्न हैं:

- ग्राफ़ पर दिए गए बिंदुओं में से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान सबसे छोटा है?

- ग्राफ़ पर दिए गए बिंदुओं में से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा है?

तो उत्तर देने के लिए यह समझना आवश्यक है कि स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा का मान 0 से 180° के बीच कैसे बदलता है।

*जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ओएक्स अक्ष पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

स्पर्शरेखा मान इस प्रकार बदलता है:

जब सीधी रेखा के झुकाव का कोण 0° से 90° तक बदलता है, तो स्पर्शरेखा का मान, और इसलिए व्युत्पन्न, तदनुसार 0 से +∞ तक बदल जाता है;

जब सीधी रेखा के झुकाव का कोण 90° से 180° तक बदलता है, तो स्पर्शरेखा का मान, और इसलिए व्युत्पन्न, तदनुसार -∞ से 0 तक बदल जाता है।

इसे स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ से स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है:

सामान्य शर्तों में:

0° से 90° तक स्पर्शरेखा झुकाव कोण पर

यह 0 o के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही अधिक शून्य के करीब होगा (सकारात्मक पक्ष पर)।

कोण 90° के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न मान +∞ की ओर उतना ही अधिक बढ़ेगा।

90° से 180° तक स्पर्शरेखा झुकाव कोण के साथ

यह जितना 90 o के करीब होगा, व्युत्पन्न मान उतना ही -∞ की ओर घटेगा।

कोण 180° के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही अधिक शून्य के करीब होगा (नकारात्मक पक्ष पर)।

317543. यह चित्र फ़ंक्शन y = का ग्राफ़ दिखाता है एफ(एक्स) और बिन्दुओं को चिन्हित कर लिया गया है-2, -1, 1, 2. इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न सबसे बड़ा है? कृपया इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

हमारे पास चार बिंदु हैं: उनमें से दो उन अंतरालों से संबंधित हैं जिन पर फ़ंक्शन घटता है (ये बिंदु -1 और 1 हैं) और दो उन अंतरालों से संबंधित हैं जिन पर फ़ंक्शन बढ़ता है (ये बिंदु -2 और 2 हैं)।

हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु -1 और 1 पर व्युत्पन्न का नकारात्मक मूल्य है, और बिंदु -2 और 2 पर इसका सकारात्मक मूल्य है। इसलिए, इस मामले में, बिंदु -2 और 2 का विश्लेषण करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से किसका मूल्य सबसे बड़ा होगा। आइए संकेतित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं की रचना करें:

सीधी रेखा a और भुज अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा का मान होगा अधिक मूल्यरेखा बी और इस अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा। इसका मतलब यह है कि बिंदु -2 पर व्युत्पन्न का मान सबसे बड़ा होगा।

आइए निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें: किस बिंदु पर -2, -1, 1 या 2 व्युत्पन्न का मान सबसे अधिक नकारात्मक है? कृपया इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

घटते अंतराल से संबंधित बिंदुओं पर व्युत्पन्न का नकारात्मक मान होगा, तो आइए बिंदु -2 और 1 पर विचार करें। आइए उनसे गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं का निर्माण करें:

हम देखते हैं कि सीधी रेखा b और oX अक्ष के बीच का अधिक कोण 180 के "करीब" हैहे , इसलिए इसकी स्पर्शरेखा सीधी रेखा a और oX अक्ष द्वारा बने कोण की स्पर्शरेखा से अधिक होगी।

इस प्रकार, बिंदु x = 1 पर, अवकलज का मान सबसे बड़ा ऋणात्मक होगा।

317544. यह चित्र फ़ंक्शन y = का ग्राफ़ दिखाता है एफ(एक्स) और बिन्दुओं को चिन्हित कर लिया गया है-2, -1, 1, 4. इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न सबसे छोटा है? कृपया इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

हमारे पास चार बिंदु हैं: उनमें से दो उन अंतरालों से संबंधित हैं जिन पर फ़ंक्शन घटता है (ये बिंदु -1 और 4 हैं) और दो उन अंतरालों से संबंधित हैं जिन पर फ़ंक्शन बढ़ता है (ये बिंदु -2 और 1 हैं)।

हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु -1 और 4 पर व्युत्पन्न का नकारात्मक मान है, और बिंदु -2 और 1 पर इसका सकारात्मक मान है। इसलिए, इस मामले में, बिंदु -1 और 4 का विश्लेषण करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से किसका मान सबसे छोटा होगा। आइए संकेतित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं की रचना करें:

सीधी रेखा a और भुज अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा का मान सीधी रेखा b और इस अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के मान से अधिक होगा। इसका अर्थ यह है कि बिंदु x = 4 पर अवकलज का मान सबसे छोटा होगा।

उत्तर: 4

मुझे आशा है कि मैंने आप पर लेखन की मात्रा का "अतिभार" नहीं डाला है। वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है, आपको बस व्युत्पन्न के गुणों को समझने की जरूरत है ज्यामितीय अर्थऔर कोण की स्पर्शरेखा 0 से 180° तक कैसे बदलती है।

1. सबसे पहले, इन बिंदुओं (+ या -) पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें और आवश्यक बिंदुओं का चयन करें (प्रश्न के आधार पर)।

2. इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ बनाइए।

3. टैंजेसॉइड ग्राफ का उपयोग करके, कोणों को योजनाबद्ध रूप से चिह्नित करें और प्रदर्शित करेंअलेक्जेंडर.

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

कभी-कभी समस्या B14 में "खराब" फ़ंक्शन होते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल नमूना परीक्षणों के दौरान होता था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हैं कि वास्तविक एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय इन्हें अनदेखा नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, अन्य तकनीकें काम करती हैं, जिनमें से एक एकरसता है। परिभाषा एक फ़ंक्शन f (x) को खंड पर एकरस रूप से बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित हो: x 1

परिभाषा। एक फ़ंक्शन f (x) को खंड पर नीरस रूप से घटता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित हो: x 1 f (x 2)। दूसरे शब्दों में, बढ़ते फलन के लिए, जितना बड़ा x, उतना बड़ा f(x)। घटते फलन के लिए विपरीत सत्य है: जितना बड़ा x, उतना छोटा f(x)।

उदाहरण. यदि आधार a > 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 0 है तो लघुगणक नीरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, और यदि 0 0 है तो एकरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, और यदि 0 0 है तो एकरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0) ; a 1; यदि आधार a > 1 है तो एकरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 0 है तो एकरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="उदाहरण. यदि आधार a > 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 0 है तो लघुगणक नीरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

उदाहरण. घातांक प्रकार्ययह लघुगणक के समान व्यवहार करता है: जब a > 1 होता है तो यह बढ़ता है और 0 0 होने पर घटता है: 1 और 0 0 पर घटता है:"> 1 और 0 0 पर घटता है:"> 1 और 0 0 पर घटता है:" title='उदाहरण। घातीय फ़ंक्शन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह > 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> title="उदाहरण. घातांकीय फ़ंक्शन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह > 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> !}

0) या नीचे (ए 0) या नीचे (ए 9परवलय के शीर्ष के निर्देशांक अक्सर, फ़ंक्शन के तर्क को प्रपत्र के एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: परवलय की शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (के लिए) a > 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a title='(! लैंग: एक परवलय के शीर्ष के निर्देशांक अक्सर, फ़ंक्शन के तर्क को रूप के एक द्विघात त्रिपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: एक परवलय की शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (ए > 0 के लिए) या नीचे (ए

समस्या कथन में कोई खंड नहीं है. इसलिए, f(a) और f(b) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बना हुआ है; लेकिन ऐसा केवल एक बिंदु है - परवलय x 0 का शीर्ष, जिसके निर्देशांक की गणना शाब्दिक रूप से मौखिक रूप से और बिना किसी व्युत्पन्न के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या को हल करना बहुत सरल हो गया है और केवल दो चरणों तक सीमित हो गया है: परवलय का समीकरण लिखें और सूत्र का उपयोग करके इसका शीर्ष खोजें: इस बिंदु पर मूल फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यही उत्तर होगा।

0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title='फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: मूल के अंतर्गत है द्विघात कार्यइस परवलय फ़ंक्शन के ग्राफ़ की शाखाएं ऊपर की ओर हैं, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class='link_thumb ">18फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: मूल के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b/ (2ए) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=' सबसे छोटा मान ज्ञात करें फ़ंक्शन का: समाधान: मूल के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: मूल के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b/ (2ए) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान लघुगणक के अंतर्गत, द्विघात फ़ंक्शन फिर से परवलय के ग्राफ़ की शाखाएं ऊपर की ओर होती हैं a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title='सबसे छोटा मान ज्ञात करें फलन का: समाधान लघुगणक के अंतर्गत फिर से एक द्विघात फलन है। परवलय के ग्राफ की शाखाएं ऊपर की ओर हैं, क्योंकि a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान लघुगणक के अंतर्गत, द्विघात फ़ंक्शन फिर से परवलय के ग्राफ़ की शाखाएं ऊपर की ओर होती हैं a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजें: समाधान: घातांक में एक द्विघात फ़ंक्शन होता है आइए इसे सामान्य रूप में फिर से लिखें: जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, शाखाएं नीचे की ओर हैं (a = 1)

फ़ंक्शन के डोमेन से परिणाम कभी-कभी समस्या B14 को हल करने के लिए केवल परवलय का शीर्ष ज्ञात करना पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मान खंड के अंत में हो सकता है, चरम बिंदु पर बिल्कुल नहीं। यदि समस्या किसी खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करती है, तो हम मूल फ़ंक्शन के अनुमेय मानों की सीमा को देखते हैं। अर्थात्:

0 2. अंकगणित वर्गमूलकेवल गैर-नकारात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" title='1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:" class="link_thumb"> 26 !} 1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए: "> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. हर भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए: "> 0 2. अंकगणित में वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" title='1. The लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्ग मूल केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:"> title="1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:"> !}

समाधान मूल के अंतर्गत पुनः एक द्विघात फलन है। इसका ग्राफ़ परवलयिक है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित हैं, क्योंकि a = 1 है
आइए अब परवलय का शीर्ष ज्ञात करें: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 बिंदु x 0 = 1 खंड ODZ से संबंधित है और यह है अच्छा। अब हम बिंदु x 0 पर, साथ ही ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं: y(3) = y(1) = 0 तो, हमें संख्याएं 2 और 0 मिलीं। हमें खोजने के लिए कहा गया है सबसे बड़ी संख्या 2. उत्तर: 2

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए अंत ODZ से संबंधित नहीं है। यह लघुगणक को मूल से भिन्न करता है, जहां खंड के सिरे हमारे लिए काफी उपयुक्त होते हैं। हम परवलय के शीर्ष की तलाश कर रहे हैं: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 परवलय का शीर्ष ODZ में फिट बैठता है: x 0 = 3 ( 1;5). लेकिन चूँकि हमें खंड के सिरों में कोई दिलचस्पी नहीं है, हम फ़ंक्शन के मान की गणना केवल बिंदु x 0 पर करते हैं:

Y मिनट = y(3) = लॉग 0.5 (6 ) = = लॉग 0.5 (18 9 5) = लॉग 0.5 4 = 2 उत्तर: -2

विषय पर पाठ "अंतराल पर एक निरंतर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना" व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की अपेक्षाकृत सरल समस्याओं की जांच करेगा। .

विषय: व्युत्पन्न

पाठ: एक अंतराल पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना

इस पाठ में हम और अधिक देखेंगे सरल कार्य, अर्थात्, अंतराल निर्दिष्ट किया जाएगा सतत कार्यइस अंतराल पर. हमें किसी दिए गए का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करना होगा कार्यकिसी दिए गए पर बीच में.

क्रमांक 32.1 (बी)। दिया गया: , । आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़.

ज्ञातव्य है कि यह फलन अन्तराल पर बढ़ता है अर्थात् अन्तराल पर भी बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि यदि आप किसी फ़ंक्शन का मान बिंदुओं और पर पाते हैं, तो इस फ़ंक्शन के परिवर्तन की सीमाएं, इसके सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात हो जाएंगे।

जब तर्क 8 से बढ़ जाता है, तो फ़ंक्शन से बढ़ जाता है।

उत्तर: ; .

संख्या 32.2 (ए) दिया गया: किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें।

आइए इस फ़ंक्शन को प्लॉट करें (चित्र 2 देखें)।

यदि तर्क अंतराल पर बदलता है, तो फ़ंक्शन -2 से बढ़कर 2 हो जाता है। यदि तर्क बढ़ता है, तो फ़ंक्शन 2 से घटकर 0 हो जाता है।

चावल। 2. फ़ंक्शन ग्राफ़।

आइए व्युत्पन्न खोजें।

, . यदि, तो यह मान भी दिए गए खंड से संबंधित है। यदि, तो. यह जांचना आसान है कि क्या यह अन्य मान लेता है और संबंधित स्थिर बिंदु दिए गए खंड के बाहर आते हैं। आइए खंड के अंत में और चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की तुलना करें जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। हम ढूंढ लेंगे

;

उत्तर: ;.

तो जवाब मिल गया. इस मामले में, आप व्युत्पन्न का उपयोग कर सकते हैं, आप इसका उपयोग नहीं कर सकते हैं, आप फ़ंक्शन के उन गुणों को लागू कर सकते हैं जिनका पहले अध्ययन किया गया था। ऐसा हमेशा नहीं होता है; कभी-कभी व्युत्पन्न का उपयोग ही एकमात्र तरीका है जो आपको ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

दिया गया: , । किसी दिए गए खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

यदि पिछले मामले में व्युत्पन्न के बिना करना संभव था - हम जानते थे कि फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, तो इस मामले में फ़ंक्शन काफी जटिल है। इसलिए, हमने पिछले कार्य में जिस पद्धति का उल्लेख किया था वह पूरी तरह से लागू है।

1. आइए व्युत्पन्न खोजें। आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, इसलिए - महत्वपूर्ण बिंदु। उनमें से हम उन लोगों का चयन करते हैं जो इस खंड से संबंधित हैं:। आइए, बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें। इसके लिए हम ढूंढेंगे

आइए चित्र में परिणाम को स्पष्ट करें (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. फ़ंक्शन मानों में परिवर्तन की सीमाएँ

हम देखते हैं कि यदि तर्क 0 से 2 तक बदलता है, तो फ़ंक्शन -3 से 4 की सीमा में बदलता है। फ़ंक्शन एकरस रूप से नहीं बदलता है: यह या तो बढ़ता है या घटता है।

उत्तर: ;.

इसलिए, तीन उदाहरणों का उपयोग करते हुए, एक अंतराल पर, इस मामले में एक खंड पर, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने की सामान्य तकनीक का प्रदर्शन किया गया।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु ढूंढें और उन बिंदुओं का चयन करें जो किसी दिए गए खंड पर हैं।

3. खंड के अंत और चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

4. इन मूल्यों की तुलना करें और सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

आइए एक और उदाहरण देखें.

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर पहले विचार किया गया था (चित्र 4 देखें)।

चावल। 4. फ़ंक्शन ग्राफ़।

अंतराल पर, इस फ़ंक्शन के मानों की सीमा . बिंदु - अधिकतम बिंदु. कब-कार्य बढ़ता है, कब-कार्य घटता है। चित्र से यह स्पष्ट है कि, - अस्तित्व में नहीं है।

इसलिए, पाठ में हमने किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की समस्या को देखा जब दिया गया अंतरालएक खंड है; ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार किया।

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अतिरिक्त वेब संसाधन

2. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल ()।

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संख्या 46.16, 46.17 (सी) (बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफ़ाइल स्तर) ए.जी. मोर्दकोविच द्वारा संपादित। - एम.: मेनेमोज़िना, 2007।)