एक अंतराल पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग। किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा है

कभी-कभी समस्याएं B14 "खराब" कार्यों में आती हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हैं कि वास्तविक परीक्षा की तैयारी में अब इन्हें नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, अन्य तकनीकें काम करती हैं, जिनमें से एक एकरसता है। परिभाषा एक फलन f (x) को एक खंड पर एकरसता से बढ़ने वाला कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है: x 1

परिभाषा। एक फलन f (x) को एक खंड पर एकरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है: x 1 f (x 2)। दूसरे शब्दों में, बढ़ते फलन के लिए, x जितना बड़ा होगा, f (x) उतना ही बड़ा होगा। घटते फलन के लिए, विपरीत सत्य है: बड़ा x, छोटा f (x)।

उदाहरण। यदि आधार a> 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है और यदि 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) हो तो नीरस रूप से घटता है। 1 है, और यदि 0 0.f (x) = लघुगणक कुल्हाड़ी (a> 0; a 1; x> 0) "> 1 है, तो नीरस रूप से घट जाती है, और यदि 0 0 हो तो नीरस रूप से घट जाती है। f (x) = log ax (a> 0 ; a 1; x> 0) "> 1, और नीरस रूप से घट जाती है यदि 0 0। f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)" शीर्षक = "(! LANG: उदाहरण। लघुगणक आधार a> 1 होने पर नीरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0) तो नीरस रूप से घटता है।"> title="उदाहरण। यदि आधार a> 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है और यदि 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) हो तो नीरस रूप से घटता है।"> !}

उदाहरण। घातांकीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है: 1 और 0 0 पर घटता है: "> 1 और 0 0:"> 1 पर घटता है और 0 0 पर घटता है: "शीर्षक =" (! LANG: उदाहरण। घातीय कार्य लॉगरिदम के समान व्यवहार करता है: a> 1 पर बढ़ता है और 0 0 पर घटता है:"> title="उदाहरण। घातांकीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a> 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> !}

0) या नीचे (a 0) या नीचे (a 9 .) Parabola vertex निर्देशांक अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को रूप के एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: Parabola शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (a> 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (एक शीर्षक = "(! LANG: परवलय के शीर्ष के निर्देशांक) अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को रूप के एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: एक परवलय की शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (एक> 0) या नीचे (ए

समस्या कथन में कोई खंड नहीं है। इसलिए, f (a) और f (b) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बनी हुई है; लेकिन केवल एक ही ऐसा बिंदु है, यह परवलय x 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना मौखिक रूप से और बिना किसी व्युत्पन्न के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान बहुत सरल है और केवल दो चरणों में आता है: परवलय के समीकरण को लिखें और सूत्र द्वारा इसका शीर्ष खोजें: इस बिंदु पर मूल फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह उत्तर होगा।

0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "शीर्षक =" (! LANG: फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: एक है जड़ के नीचे द्विघात फलन। ऊपर शाखाओं के साथ परवलय, गुणांक a = 1> 0 के बाद से। परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !}फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल: मूल के नीचे एक द्विघात फलन है। इस फलन का ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं, क्योंकि गुणांक a = 1> 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b / ( 2ए) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0। परवलय का शीर्ष: x 0 = बी / (2ए) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" शीर्षक = "(! लैंग: खोजें फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान: समाधान: द्विघात फ़ंक्शन रूट के नीचे है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं, क्योंकि गुणांक a = 1> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / ( 2ए) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3"> title="फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल: मूल के नीचे एक द्विघात फलन है। इस फलन का ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं, क्योंकि गुणांक a = 1> 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b / ( 2ए) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> !}

फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल लघुगणक के अंतर्गत द्विघात फलन पुन: होता है। a = 1> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1" शीर्षक = "(! LANG: खोजें फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान: लॉगरिदम के तहत समाधान फिर से एक द्विघात फ़ंक्शन है। परवलय को शाखाओं के साथ ग्राफ़ करें, क्योंकि a = 1> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1 ) = 2/2 = 1"> title="फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए: हल लघुगणक के अंतर्गत द्विघात फलन पुन: होता है। a = 1> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> !}

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें: समाधान: घातांक में एक द्विघात फ़ंक्शन होता है आइए इसे इसके सामान्य रूप में फिर से लिखें: जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, नीचे की ओर शाखाएं (a = 1

किसी फलन के क्षेत्र से परिणाम कभी-कभी, समस्या B14 को हल करने के लिए, केवल परवलय का शीर्ष ज्ञात करना ही पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मूल्य खंड के अंत में हो सकता है, और चरम बिंदु पर बिल्कुल नहीं। यदि समस्या एक खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करती है, तो हम मूल फ़ंक्शन के स्वीकार्य मानों की सीमा को देखते हैं। अर्थात्:

0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: "शीर्षक =" (! LANG: 1. लघुगणक तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log af (x) ) f (x)> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" class="link_thumb"> 26 !} 1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x)> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. एक भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: "> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. एक का हर भिन्न शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:"> 0 2. अंकगणित वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: "शीर्षक =" (! LANG: 1. लघुगणक का तर्क होना चाहिए सकारात्मक रहें: y = log af (x) f (x)> 0 2. अंकगणित वर्ग मूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:"> title="1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x)> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:"> !}

हल मूल के नीचे फिर से एक द्विघात फलन है। इसका ग्राफ परवलय है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित हैं, क्योंकि a = 1
अब हम परवलय का शीर्ष ज्ञात करते हैं: x 0 = b / (2a) = (2) / (2 .) अब हम बिंदु x 0 के साथ-साथ ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं: y (3) = y (1) = 0 तो, हमें संख्याएँ 2 और 0 मिलीं। हमें खोजने के लिए कहा जाता है सबसे बड़ी संख्या 2. उत्तर: 2

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए छोर ODZ से संबंधित नहीं हैं। इस प्रकार लघुगणक जड़ से भिन्न होता है, जहां खंड के सिरे हमारे लिए काफी उपयुक्त होते हैं। हम परवलय के शीर्ष की तलाश कर रहे हैं: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 .) लेकिन चूंकि हम खंड के सिरों में रुचि नहीं रखते हैं, हम केवल बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं:

वाई मिनट = वाई (3) = लॉग 0.5 (6) = = लॉग 0.5 (18 9 5) = लॉग 0.5 4 = 2 उत्तर: -2

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें?

इसके लिए हम प्रसिद्ध एल्गोरिथम का पालन करते हैं:

1 ... हम ODZ फ़ंक्शन पाते हैं।

2 ... फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

3 ... व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करना

4 ... हम उन अंतरालों को पाते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 "शीर्षक =" (! LANG: f ^ (अभाज्य) (x)> 0">, то функция !} इस अंतराल में बढ़ जाती है।

यदि अंतराल I पर फलन का अवकलज है, तो फलन इस अंतराल में घट जाती है।

5 ... हम ढूंढे फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु.

वी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है.

वी समारोह का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करते हैं.

6 ... खंड के सिरों पर फलन का मान ज्ञात कीजिए,

• फिर हम खंड के सिरों पर और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करते हैं, और उनमें से सबसे बड़ा चुनें यदि हमें फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजने की आवश्यकता है
• या हम खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और उनमें से सबसे छोटा चुनें यदि हमें फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है

हालांकि, सेगमेंट पर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, इस पर निर्भर करते हुए, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

समारोह पर विचार करें ... इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए कार्यों के ओपन बैंक से समस्याओं को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें

1. टास्क बी15 (# 26695)

खंड पर।

1. फ़ंक्शन को x . के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित किया गया है

जाहिर है, इन समीकरणों का कोई समाधान नहीं है, और व्युत्पन्न x के सभी मूल्यों के लिए सकारात्मक है। नतीजतन, फलन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर अपना सबसे बड़ा मान लेता है, अर्थात x = 0 पर।

उत्तर : 5.

2 . टास्क बी15 (# 26702)

सबसे बड़ा फ़ंक्शन मान ज्ञात करें खंड पर।

1. ओडीजेड फ़ंक्शन शीर्षक = "(! लैंग: एक्स (पीआई) / 2 + (पीआई) के, के (इन) (बीबीजेड)">!}

व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, हालांकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, शीर्षक = "(! LANG: 3 / (cos ^ 2 (x))> = 3">, значит, title="3 / (cos ^ 2 (x)) - 3> = 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मूल्य लेता है, पर।

यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए व्यंजक को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं:

शीर्षक = "(! LANG: y ^ (प्राइम) = 3 / (cos ^ 2 (x)) - 3 = (3-3cos ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = (3sin ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = 3tg ^ 2 (x)> = 0">!}

उत्तर : 5.

3. टास्क बी15 (# 26708)

खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: शीर्षक = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}

हम इस समीकरण के मूल त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखते हैं।

बीच में दो संख्याएँ हैं: और

आइए निशान लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x = 0 पर व्युत्पन्न के चिह्न को परिभाषित करते हैं: ... बिंदुओं से गुजरते समय और व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत करते हैं।

आइए हम निर्देशांक रेखा पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (इस पर व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करता है), और सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु और खंड के बाएं छोर पर,।

प्रिय मित्रों! व्युत्पन्न से संबंधित कार्यों के समूह में कार्य शामिल हैं - स्थिति फ़ंक्शन का एक ग्राफ देती है, इस ग्राफ पर कई बिंदु और प्रश्न है:

व्युत्पन्न का मान किस बिंदु पर सबसे बड़ा (सबसे छोटा) होता है?

संक्षेप में संक्षेप में:

बिंदु पर व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर हैग्राफ पर यह बिंदु।

पास होनास्पर्शरेखा का वैश्विक गुणांक, बदले में, इस स्पर्शरेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

* यह स्पर्शरेखा और भुज के बीच के कोण को दर्शाता है।

1. फलन को बढ़ाने के अंतराल पर, अवकलज का एक धनात्मक मान होता है।

2. इसके घटने के अंतराल पर, व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है।

निम्नलिखित स्केच पर विचार करें:

1,2,4 बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, क्योंकि ये बिंदु घटते अंतराल से संबंधित होते हैं।

3,5,6 बिंदुओं पर, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का सकारात्मक मान होता है, क्योंकि ये बिंदु बढ़ते अंतराल से संबंधित होते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्युत्पन्न के मूल्य के साथ सब कुछ स्पष्ट है, अर्थात, यह निर्धारित करना मुश्किल नहीं है कि ग्राफ़ पर एक निश्चित बिंदु पर इसका क्या चिह्न (सकारात्मक या नकारात्मक) है।

इसके अलावा, यदि हम मानसिक रूप से इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा बनाते हैं, तो हम देखेंगे कि बिंदु 3, 5 और 6 से गुजरने वाली सीधी रेखाएं oX अक्ष के साथ कोण बनाती हैं जो 0 से 90 o की सीमा में होती हैं, और सीधी रेखाएं बिंदु 1 से होकर गुजरती हैं। , 2 और 4 अक्ष कोणों के साथ 90 о से 180 о की सीमा में बनते हैं।

* संबंध स्पष्ट है: बढ़ते फलन के अंतराल से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्श रेखाएं oX अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती हैं, घटते फलन के अंतराल से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखा oX अक्ष के साथ अधिक कोण बनाती हैं।

अब एक महत्वपूर्ण प्रश्न के लिए!

व्युत्पन्न का मूल्य कैसे बदलता है? आखिरकार, एक सतत फ़ंक्शन के ग्राफ के विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा अलग-अलग कोण बनाती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस बिंदु से होकर गुजरता है।

* या, सरल शब्दों में, स्पर्शरेखा "क्षैतिज" या "ऊर्ध्वाधर" के रूप में स्थित है। जरा देखो तो:

सीधी रेखाएँ 0 से 90 о . की सीमा में ОХ अक्ष के साथ कोण बनाती हैं

सीधी रेखाएँ 90 о से 180 о . की सीमा में अक्ष के साथ कोण बनाती हैं

इसलिए, यदि प्रश्न हैं:

- ग्राफ पर इनमें से किस बिंदु पर अवकलज का मान सबसे कम है?

- ग्राफ पर इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे महत्वपूर्ण है?

तो उत्तर के लिए यह समझना आवश्यक है कि स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा का मान 0 से 180 о की सीमा में कैसे बदलता है।

* जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी बिंदु पर फलन के अवकलज का मान oX अक्ष पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

स्पर्शरेखा मान निम्नानुसार बदलता है:

जब सीधी रेखा का झुकाव कोण 0 o से 90 o में बदल जाता है, तो स्पर्शरेखा का मान, और इसलिए व्युत्पन्न, क्रमशः 0 से + में बदल जाता है;

जब सीधी रेखा के झुकाव का कोण 90 ° से 180 ° तक बदलता है, तो स्पर्शरेखा का मान, और इसलिए व्युत्पन्न, तदनुसार -∞ से 0 में बदल जाता है।

इसे स्पर्शरेखा फलन के ग्राफ से स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है:

सामान्य शर्तों में:

स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण पर 0 o से 90 o . तक

यह 0 о के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मूल्य उतना ही अधिक शून्य (सकारात्मक पक्ष पर) के करीब होगा।

कोण 90 ° के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही + की ओर बढ़ेगा।

स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण पर 90 o से 180 o . तक

यह 90 ° के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मूल्य उतना ही कम होकर -∞ हो जाएगा।

कोण 180 ° के जितना करीब होगा, व्युत्पन्न का मान उतना ही अधिक शून्य (नकारात्मक पक्ष पर) के करीब होगा।

317543. यह आंकड़ा फंक्शन y = . का ग्राफ दिखाता है एफ(एक्स) और चिह्नित अंक-2, -1, 1, 2. इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य सबसे बड़ा है? इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

हमारे पास चार बिंदु हैं: उनमें से दो उस अंतराल से संबंधित हैं जिस पर फलन घटता है (ये बिंदु -1 और 1 हैं) और दो अंतराल जिस पर फलन बढ़ता है (ये बिंदु -2 और 2 हैं)।

हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु -1 और 1 पर व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, बिंदु -2 और 2 पर इसका धनात्मक मान होता है। इसलिए, इस मामले में, बिंदु -2 और 2 का विश्लेषण करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा मूल्य सबसे बड़ा होगा। आइए संकेतित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं का निर्माण करें:

सीधी रेखा a और भुज अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा सीधी रेखा b और इस अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा से अधिक होगी। इसका अर्थ है कि बिंदु -2 पर अवकलज का मान सबसे बड़ा होगा।

आइए हम निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर दें: -2, -1, 1, या 2 में से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान सबसे बड़ा ऋणात्मक है? इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

अवकलज का घटते हुए अंतरालों से संबंधित बिंदुओं पर ऋणात्मक मान होगा, इसलिए, बिंदु -2 और 1 पर विचार करें। उनसे गुजरने वाली स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए:

हम देखते हैं कि सीधी रेखा b और oX अक्ष के बीच का अधिक कोण 180 . के "करीब" हैहे इसलिए, इसकी स्पर्शरेखा सीधी रेखा a और oX अक्ष से बनने वाले कोण की स्पर्श रेखा से बड़ी होगी।

इस प्रकार, बिंदु x = 1 पर अवकलज का मान सबसे बड़ा ऋणात्मक होगा।

317544. यह आंकड़ा फंक्शन y = . का ग्राफ दिखाता है एफ(एक्स) और चिह्नित अंक-2, -1, 1, 4. इनमें से किस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान सबसे छोटा है? इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

हमारे पास चार बिंदु हैं: उनमें से दो उस अंतराल से संबंधित हैं जिस पर फलन घटता है (ये बिंदु -1 और 4 हैं) और दो अंतराल जिस पर फलन बढ़ता है (ये बिंदु -2 और 1 हैं)।

हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु -1 और 4 पर व्युत्पन्न का ऋणात्मक मान होता है, बिंदु -2 और 1 पर इसका धनात्मक मान होता है। इसलिए, इस मामले में, बिंदु -1 और 4 का विश्लेषण करना और यह निर्धारित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा मान सबसे छोटा होगा। आइए संकेतित बिंदुओं से गुजरने वाली स्पर्शरेखाओं का निर्माण करें:

सीधी रेखा a और भुज अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा सीधी रेखा b और इस अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा से अधिक होगी। इसका अर्थ है कि बिंदु x = 4 पर अवकलज का मान सबसे छोटा होगा।

उत्तर - 4

मुझे आशा है कि मैंने आपको लेखन की मात्रा से "अभिभूत" नहीं किया है। वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है, आपको बस व्युत्पन्न के गुणों को समझने की जरूरत है, इसका ज्यामितीय अर्थ और कोण के स्पर्शरेखा का मान 0 से 180 о तक कैसे बदलता है।

1. सबसे पहले, दिए गए बिंदुओं (+ या -) पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें और आवश्यक बिंदुओं का चयन करें (प्रश्न के आधार पर)।

2. इन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।

3. टेंजेसिड ग्राफ का उपयोग करके, कोणों को स्केच करें और प्रदर्शित करेंसिकंदर।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग सबसे दिलचस्प है। इसका कारण क्या है? मुनाफे को अधिकतम करना, लागत को कम करना, उपकरणों के इष्टतम भार का निर्धारण करना ... दूसरे शब्दों में, जीवन के कई क्षेत्रों में किसी भी पैरामीटर को अनुकूलित करने की समस्या को हल करना होगा। और ये किसी फंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के कार्य हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान आमतौर पर कुछ अंतराल X में खोजे जाते हैं, जो या तो फ़ंक्शन का संपूर्ण डोमेन या डोमेन का हिस्सा होता है। अंतराल X स्वयं एक रेखा खंड, एक खुला अंतराल हो सकता है , एक अंतहीन अंतराल।

इस लेख में हम एक चर y = f (x) के स्पष्ट रूप से दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के बारे में बात करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

फ़ंक्शन का उच्चतम और निम्नतम मान - परिभाषाएं, चित्र।

आइए संक्षेप में मुख्य परिभाषाओं पर ध्यान दें।

समारोह का सबसे बड़ा मूल्य कि किसी के लिए असमानता सच है।

सबसे छोटा फ़ंक्शन मान y = f (x) अंतराल पर X को ऐसा मान कहा जाता है कि किसी के लिए असमानता सच है।

ये परिभाषाएं सहज हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान एब्सिस्सा पर माना अंतराल में सबसे बड़ा (सबसे छोटा) स्वीकृत मान है।

स्थिर बिंदुउस तर्क के मान हैं जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करते समय हमें स्थिर बिंदुओं की आवश्यकता क्यों होती है? इस प्रश्न का उत्तर Fermat के प्रमेय द्वारा दिया गया है। इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि एक अवकलनीय फलन में किसी बिंदु पर एक चरम (स्थानीय न्यूनतम या स्थानीय अधिकतम) होता है, तो यह बिंदु स्थिर होता है। इस प्रकार, फलन अक्सर इस अंतराल से किसी एक स्थिर बिंदु पर अंतराल X पर अपना सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान लेता है।

साथ ही, एक फ़ंक्शन अक्सर उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ले सकता है जहां इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है, और फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित होता है।

आइए तुरंत इस विषय पर सबसे सामान्य प्रश्नों में से एक का उत्तर दें: "क्या किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान निर्धारित करना हमेशा संभव है"? नहीं हमेशा नहीं। कभी-कभी अंतराल एक्स की सीमाएं फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन की सीमाओं से मेल खाती हैं, या अंतराल एक्स अनंत है। और अनंत पर और परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर कुछ कार्य असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे दोनों मान ले सकते हैं। इन मामलों में, फ़ंक्शन के उच्चतम और निम्नतम मान के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

स्पष्टता के लिए, हम एक ग्राफिक चित्रण देंगे। तस्वीरों को देखिए और बहुत कुछ साफ हो जाएगा।

खंड पर

पहले आंकड़े में, फ़ंक्शन खंड [-6; 6] के अंदर स्थित स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

दूसरे चित्र में दिखाए गए मामले पर विचार करें। सेगमेंट को इसमें बदलें। इस उदाहरण में, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाता है, और सबसे बड़ा - एक बिंदु पर अंतराल की दाहिनी सीमा के अनुरूप एक एब्सिस्सा होता है।

चित्रा 3 में, खंड के सीमा बिंदु [-3; 2] फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के अनुरूप बिंदुओं के एब्सिसास हैं।

खुले अंतराल पर

चौथे आंकड़े में, फ़ंक्शन खुले अंतराल (-6; 6) के भीतर स्थित स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा (अधिकतम y) और सबसे छोटा (न्यूनतम y) मान लेता है।

अंतराल पर, सबसे बड़े मूल्य के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है।

अनंत पर

सातवें आंकड़े में दिखाए गए उदाहरण में, फ़ंक्शन एब्सिस्सा x = 1 के साथ एक स्थिर बिंदु पर सबसे बड़ा मान (अधिकतम y) लेता है, और सबसे छोटा मान (न्यूनतम y) अंतराल की दाहिनी सीमा पर पहुंच जाता है। माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन के मान असम्बद्ध रूप से y = 3 तक पहुंचते हैं।

अंतराल पर, फ़ंक्शन या तो सबसे छोटे या सबसे बड़े मान तक नहीं पहुंचता है। जब दाईं ओर x = 2 की ओर झुकाव होता है, तो फ़ंक्शन के मान माइनस इनफिनिटी (सीधी रेखा x = 2 ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख) की ओर जाते हैं, और जब एब्सिस्सा प्लस इन्फिनिटी की ओर जाता है, तो फ़ंक्शन के मान स्पर्शोन्मुख रूप से y = 3 तक पहुँचें। इस उदाहरण का एक ग्राफिक चित्रण चित्र 8 में दिखाया गया है।

एक खंड पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म।

आइए एक एल्गोरिथम लिखें जो हमें किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की अनुमति देता है।

1. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें और जांचें कि क्या इसमें संपूर्ण खंड है।
2. हम उन सभी बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है और जो खंड में निहित हैं (आमतौर पर ऐसे बिंदु मॉड्यूलस साइन के तहत तर्क के साथ कार्यों में और आंशिक तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शंस में पाए जाते हैं)। यदि ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं, तो अगले आइटम पर जाएं।
3. खंड में आने वाले सभी स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम इसे शून्य के बराबर करते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त जड़ों का चयन करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं या उनमें से कोई भी खंड में नहीं आता है, तो अगले आइटम पर जाएं।
4. हम चयनित स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं, उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई हो), साथ ही x = a और x = b के लिए।
5. फ़ंक्शन के प्राप्त मूल्यों से, हम सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करते हैं - वे क्रमशः फ़ंक्शन के वांछित सबसे बड़े और सबसे छोटे मान होंगे।

आइए हम एक खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक उदाहरण को हल करते समय एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

• खंड पर;
• खंड पर [-4; -1]।

समाधान।

फ़ंक्शन का डोमेन शून्य के अपवाद के साथ वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट है, अर्थात। दोनों खंड परिभाषा क्षेत्र के अंतर्गत आते हैं।

के संबंध में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

जाहिर है, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सेगमेंट के सभी बिंदुओं और [-4; -1] पर मौजूद है।

स्थिर बिंदु समीकरण से निर्धारित होते हैं। एकमात्र वैध जड़ x = 2 है। यह स्थिर बिंदु पहले खंड में आता है।

पहले मामले के लिए, हम खंड के सिरों पर और एक स्थिर बिंदु पर, यानी x = 1, x = 2 और x = 4 के लिए फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं:

इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान x = 1 पर प्राप्त होता है, और सबसे छोटा मान - एक्स = 2 के लिए।

दूसरे मामले के लिए, हम केवल खंड [-4; -1] के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं (क्योंकि इसमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं है):

"एक अंतराल पर एक निरंतर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना" विषय पर पाठ, व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करेगा। .

थीम: व्युत्पन्न

पाठ: एक अंतराल पर एक सतत फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना

इस पाठ में, हम एक सरल समस्या पर विचार करेंगे, अर्थात् एक अंतराल निर्दिष्ट किया जाएगा, इस अंतराल पर एक सतत फलन निर्दिष्ट किया जाएगा। दिए गए का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करना आवश्यक है कार्योंकिसी दिए गए पर अंतराल.

संख्या 32.1 (बी)। दिया गया:,। आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ़।

यह ज्ञात है कि यह फ़ंक्शन अंतराल में बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि यह अंतराल में भी बढ़ता है। इसलिए, यदि आप बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं और, तो इस फ़ंक्शन के परिवर्तन की सीमा, इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, ज्ञात हो जाएगा।

जब तर्क 8 से बढ़कर 8 हो जाता है, तो फलन इससे बढ़ जाता है।

उत्तर: ; .

32.2 (ए) दिया गया है: दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें।

आइए इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं (चित्र 2 देखें)।

यदि अंतराल में तर्क बदलता है, तो फ़ंक्शन -2 से 2 तक बढ़ जाता है। यदि तर्क से बढ़ता है, तो फ़ंक्शन 2 से घटकर 0 हो जाता है।

चावल। 2. फंक्शन ग्राफ।

आइए व्युत्पन्न खोजें।

, ... यदि, तो यह मान भी निर्दिष्ट खंड से संबंधित है। तो अगर। यह जांचना आसान है कि क्या यह अन्य मान लेता है, संबंधित स्थिर बिंदु निर्दिष्ट खंड से आगे जाते हैं। आइए हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की तुलना करें और उन चयनित बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। पाना

;

उत्तर: ;.

तो उत्तर प्राप्त होता है। इस मामले में व्युत्पन्न का उपयोग किया जा सकता है, आप इसका उपयोग नहीं कर सकते हैं, पहले अध्ययन किए गए फ़ंक्शन के गुणों को लागू करें। यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी व्युत्पन्न का उपयोग ही एकमात्र तरीका है जो आपको ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

दिया गया:,। किसी दिए गए खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

यदि पिछले मामले में व्युत्पन्न के बिना करना संभव था - हम जानते थे कि फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, तो इस मामले में फ़ंक्शन काफी जटिल है। इसलिए, हमने पिछले कार्य में जिस तकनीक का उल्लेख किया है वह पूरी तरह से लागू है।

1. व्युत्पन्न खोजें। आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें, इसलिए महत्वपूर्ण बिंदु। उनमें से हम उन लोगों का चयन करते हैं जो दिए गए खंड से संबंधित हैं:। आइए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें,। इसके लिए हम पाते हैं

आइए हम चित्र में परिणाम को स्पष्ट करें (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. फलन मानों के परिवर्तन की सीमा

हम देखते हैं कि यदि तर्क 0 से 2 में बदल जाता है, तो फ़ंक्शन -3 से 4 में बदल जाता है। फ़ंक्शन नीरस रूप से नहीं बदलता है: यह या तो बढ़ता है या घटता है।

उत्तर: ;.

इसलिए, एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक सामान्य तकनीक को प्रदर्शित करने के लिए तीन उदाहरणों का उपयोग किया गया था, इस मामले में, एक खंड पर।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें और उन बिंदुओं का चयन करें जो किसी दिए गए खंड पर हैं।

3. खंड के सिरों पर और चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

4. इन मानों की तुलना करें, और सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं।

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

पहले, इस फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार किया गया था (चित्र 4 देखें)।

चावल। 4. फंक्शन ग्राफ।

अंतराल में, इस फ़ंक्शन की सीमा है ... बिंदु अधिकतम बिंदु है। पर - फलन बढ़ता है, पर - फलन घटता है। चित्र से यह देखा जा सकता है कि, - अस्तित्व में नहीं है।

इसलिए, पाठ में, हमने सबसे बड़े और सबसे छोटे फ़ंक्शन मान की समस्या पर विचार किया, जब दिया गया अंतराल एक खंड है; ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम तैयार किया।

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अतिरिक्त वेब संसाधन

2. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल ()।

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संख्या 46.16, 46.17 (सी) (बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफाइल स्तर) एजी मोर्दकोविच द्वारा संपादित। -एम।: मेमोज़िना, 2007।)