त्रिभुज के चार उल्लेखनीय बिंदु और उनके गुण। त्रिभुज के अद्भुत बिंदु - सार

चार अद्भुत बिंदु

त्रिकोण

ज्यामिति

8 वीं कक्षा

सखारोवा नतालिया इवानोव्ना

सिम्फ़रोपोल के MBOU SOSH 28

• त्रिभुज माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु
• त्रिभुज समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु
• त्रिभुज ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु
• त्रिभुज की माध्यिका लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु

मंझला

माध्यिका (बीडी)त्रिभुज एक ऐसा खंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ता है।

माध्यिकाओंत्रिभुज प्रतिच्छेद एक बिंदु पर (ग्रैविटी केंद्रत्रिकोण) और इस बिंदु से 2: 1 के अनुपात में विभाजित होते हैं, ऊपर से गिनती करते हैं।

द्विभाजक

द्विभाजक (एडी)त्रिभुज को त्रिभुज के भीतरी कोने के समद्विभाजक का एक खंड कहा जाता है। ∟ खराब = सीएडी।

हर बिंदु समद्विभाजकएक अविकसित कोना इसके किनारों से समान दूरी पर होता है।

वापस: प्रत्येक बिंदु कोने के अंदर और कोने के किनारों से समान दूरी पर स्थित है द्विभाजक।

सभी द्विभाजकत्रिभुज एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - केंद्र खुदा हुआ एक त्रिकोण में मंडलियां।

वृत्त त्रिज्या (OM) - केंद्र (बिंदु O) से त्रिभुज की भुजा पर गिरा हुआ लंबवत

ऊंचाई

ऊंचाई (सीडी)एक त्रिभुज एक त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली एक सीधी रेखा पर गिराए गए लंबवत का एक खंड है।

हाइट्सत्रिभुज (या उनके विस्तार) प्रतिच्छेद करते हैं एक बिंदु।

मध्यम लंबवत

केंद्र लंबवत (DF)त्रिभुज की भुजा पर लंबवत और इसे आधे में विभाजित करने वाली एक सीधी रेखा कहलाती है।

हर बिंदु मध्य लंबवत(एम) इस खंड के सिरों से समान दूरी पर एक खंड के लिए।

वापस: खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु बीच में स्थित है सीधाउसे।

त्रिभुज की भुजाओं के सभी माध्य लम्ब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - केंद्र वर्णित त्रिभुज के निकट हलकों .

परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या वृत्त के केंद्र से त्रिभुज (OA) के किसी भी शीर्ष की दूरी है।

पी। 177 नंबर 675 (तस्वीर)

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पृष्ठ १७३ ३ परिभाषाएँ और प्रमेय पृष्ठ १७७ संख्या ६७५ (समाप्त)

पहले दो प्रमेय आप अच्छी तरह से जानते हैं, हम अन्य दो को सिद्ध करेंगे।

प्रमेय 1

त्रिभुज के तीन समद्विभाजकएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो है उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र।

सबूत

इस तथ्य के आधार पर कि किसी कोण का समद्विभाजक कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ होता है।

प्रमेय २

त्रिभुज की भुजाओं पर तीन मध्य लंबवत एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो परिबद्ध वृत्त का केंद्र है।

सबूत

इस तथ्य के आधार पर कि किसी खंड का लंबवत मध्य बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है।

प्रमेय 3

तीन ऊंचाई या तीन सीधे, जिस पर त्रिभुज की ऊँचाइयाँ स्थित हैं, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस बिंदु को कहा जाता है ऑर्थोसेंटरत्रिकोण।

सबूत

त्रिभुज के शीर्षों से होकर `ABC` विपरीत भुजाओं के समानांतर सीधी रेखाएं खींचे।

चौराहे पर एक त्रिभुज `A_1 B_1 C_1` बनता है।

रचना से, `ABA_1C` एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए `BA_1 = AC`। इसी प्रकार, यह स्थापित किया जाता है कि `C_1B = AC`, इसलिए `C_1B = AC`, बिंदु `B` खंड का मध्यबिंदु `C_1A_1` है।
इसे इसी तरह दिखाया जाता है कि `C` `B_1A_1` के बीच में है और `A` `B_1 C_1` के बीच में है।
चलो `BN` त्रिभुज की ऊंचाई हो ABC`, फिर खंड के लिए `A_1 C_1` सीधी रेखा` BN` माध्यिका लंबवत है। जहां से यह इस प्रकार है कि तीन सीधी रेखाएं जिस पर त्रिभुज की ऊंचाई `ABC` झूठ त्रिभुज के तीन पक्षों के लंबवत हैं A_1B_1C_1`; और ऐसे लम्ब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (प्रमेय 2)।
यदि त्रिभुज न्यूनकोण है, तो प्रत्येक ऊँचाई एक खंड है जो शीर्ष और विपरीत दिशा के किसी बिंदु को जोड़ता है। इस मामले में, बिंदु `बी` और` एन` सीधी रेखा `एएम` द्वारा गठित अलग-अलग आधे विमानों में स्थित हैं, इसलिए खंड `बीएन` सीधी रेखा `एएम` को काटता है, प्रतिच्छेदन बिंदु ऊंचाई पर स्थित है। BN`, यानी त्रिभुज के अंदर स्थित है...
एक समकोण त्रिभुज में, ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन समकोण का शीर्ष होता है।

प्रमेय 4

त्रिभुज की तीन माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से अनुपात में विभाजित होते हैं `2: 1`, शीर्ष से गिना जाता है... इस बिंदु को त्रिभुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र (या द्रव्यमान का केंद्र) कहा जाता है।
इस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण हैं। यहाँ थेल्स के प्रमेय पर आधारित एक है।

सबूत

माना `E`,` D` तथा `F` भुजाओं के मध्यबिंदु `AB`, `BC` तथा `AC` त्रिभुज `ABC` हैं।

आइए माध्यिका `AD` और बिंदुओं के माध्यम से `E` और `F` . बनाएं समानांतरउसका सीधा `EK` और` FL`। थेल्स प्रमेय द्वारा, `बीके = केडी` (/ _एबीसी`, ई के ए डी) ईके \ | एडी) और `डीएल = एलसी`` (/ _ACB`, ए डी ‖ एफ एल) एडी \ | एफएल)। लेकिन `बीडी = डीसी = ए // 2`, इसलिए `बीके = केडी = डीएल = एलसी = ए // 4`। इसी प्रमेय से, `बीएन = एनएम = एमएफ`, (/ _ एफबीसी`, एन के एम डी ‖ एफ एल) एनके \ | एमडी \ | FL), इसलिए `BM = 2MF`।

इसका मतलब है कि मध्यिका `BF` चौराहे बिंदु पर `M` माध्यिका `AD` अनुपात में विभाजित है `2: 1` ऊपर से गिनती है।

आइए हम सिद्ध करें कि माध्यिका `AD` बिंदु पर `M` समान रूप से विभाजित है। तर्क समान है।

यदि हम माध्यिका `BF` और` CE` पर विचार करें, तो हम यह भी दिखा सकते हैं कि वे उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जिस पर माध्यिका `BF` अनुपात में विभाजित होती है `2: 1`, अर्थात एक ही बिंदु ` एम`। और इस बिंदु तक, माध्यिका `CE` भी `2: 1` के अनुपात में विभाजित हो जाएगी, ऊपर से गिना जाएगा।

इस पाठ में, हम चार अद्भुत त्रिभुज बिंदुओं को देखेंगे। हम उनमें से दो पर विस्तार से ध्यान देंगे, महत्वपूर्ण प्रमेयों के प्रमाणों को याद करेंगे और समस्या का समाधान करेंगे। आइए हम अन्य दो को याद करें और उनका वर्णन करें।

थीम:ग्रेड 8 ज्यामिति पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति

पाठ: एक त्रिभुज के चार अद्भुत बिंदु

एक त्रिभुज, सबसे पहले, तीन रेखाएँ और तीन कोण होते हैं, इसलिए रेखाओं और कोणों के गुण मौलिक होते हैं।

खंड AB सेट है। किसी भी खंड में एक मध्य होता है, और इसके माध्यम से एक लंबवत खींचा जा सकता है - हम इसे पी द्वारा निरूपित करते हैं। इस प्रकार, p मध्यबिंदु लंबवत है।

प्रमेय (मतलब लंबवत का मुख्य गुण)

मध्य लम्ब पर स्थित कोई भी बिंदु रेखाखंड के सिरों से समान दूरी पर होता है।

साबित करो

सबूत:

त्रिभुजों पर विचार करें और (चित्र 1 देखें)। वे आयताकार और बराबर हैं, क्योंकि एक सामान्य पैर OM है, और पैर AO और OB स्थिति के बराबर हैं, इसलिए हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं जो दो पैरों में बराबर हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि त्रिभुजों के कर्ण भी बराबर होते हैं, अर्थात् आवश्यकतानुसार।

चावल। 1

विलोम प्रमेय सत्य है।

प्रमेय

एक रेखाखंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इस खंड के लंबवत मध्य बिंदु पर स्थित होता है।

एक खंड AB दिया गया है, इसका लंबवत p है, बिंदु M, खंड के सिरों से समान दूरी पर है (चित्र 2 देखें)।

सिद्ध कीजिए कि बिंदु M खंड के लंबवत मध्य बिंदु पर स्थित है।

चावल। 2

सबूत:

एक त्रिभुज पर विचार करें। वह समद्विबाहु है, जैसा कि शर्त के अनुसार है। त्रिभुज की माध्यिका पर विचार करें: बिंदु O आधार AB का मध्य है, OM माध्यिका है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के अनुसार, उसके आधार तक खींची गई माध्यिका ऊँचाई और समद्विभाजक दोनों होती है। इसलिए इसका पालन होता है। लेकिन रेखा p भी AB पर लंबवत है। हम जानते हैं कि खंड AB का एकमात्र लंबवत बिंदु O पर खींचा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ OM और p संपाती हैं, यह इस प्रकार है कि बिंदु M रेखा p से संबंधित है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

यदि एक रेखा खंड के बारे में एक वृत्त का वर्णन करना आवश्यक है, तो यह किया जा सकता है, और असीम रूप से ऐसे कई वृत्त हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक का केंद्र खंड के मध्य लंबवत पर स्थित होगा।

वे कहते हैं कि मध्यबिंदु लंबवत एक खंड के सिरों से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थान है।

त्रिभुज में तीन रेखाखंड होते हैं। आइए हम उनमें से दो पर लंब खींचते हैं और उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O प्राप्त करते हैं (देखिए आकृति 3)।

बिंदु O त्रिभुज की भुजा BC के मध्य लंबवत से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि यह अपने शीर्षों B और C से समान दूरी पर है, हम इस दूरी को R: के रूप में दर्शाते हैं।

इसके अलावा, बिंदु O खंड AB के मध्य लंबवत पर स्थित है, अर्थात। हालांकि, यहां से।

इस प्रकार, दो मध्यबिंदुओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु O

चावल। 3

त्रिभुज के लंबों की संख्या इसके शीर्षों से समान दूरी पर है, जिसका अर्थ है कि यह तीसरे माध्यिका लंब पर भी स्थित है।

हमने एक महत्वपूर्ण प्रमेय के प्रमाण को दोहराया है।

त्रिभुज के तीन लंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - परिबद्ध वृत्त का केंद्र।

इसलिए, हमने त्रिभुज के पहले उल्लेखनीय बिंदु पर विचार किया है - इसके मध्य-लंबवतों का प्रतिच्छेदन बिंदु।

आइए हम एक मनमाना कोण के गुण पर चलते हैं (चित्र 4 देखें)।

एक कोण दिया गया है, इसका समद्विभाजक AL है, बिंदु M समद्विभाजक पर स्थित है।

चावल। 4

यदि बिंदु M कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, तो यह कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है, अर्थात बिंदु M से AC तक की दूरी और कोण की भुजाओं की BC समान होती है।

सबूत:

त्रिकोण पर विचार करें और। ये समकोण त्रिभुज हैं, और ये बराबर हैं, क्योंकि एक उभयनिष्ठ कर्ण AM है, और कोण समान हैं, क्योंकि AL कोण का समद्विभाजक है। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और न्यून कोण में बराबर होते हैं, इसलिए यह आवश्यकता के अनुसार इसका अनुसरण करता है। इस प्रकार, किसी कोण के समद्विभाजक पर एक बिंदु इस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

विलोम प्रमेय सत्य है।

प्रमेय

यदि कोई बिंदु किसी अविकसित कोने की भुजाओं से समान दूरी पर है, तो वह अपने समद्विभाजक पर स्थित है (देखिए आकृति 5)।

एक अविकसित कोण दिया गया है, बिंदु M, इस प्रकार कि उससे कोण की भुजाओं की दूरी समान है।

सिद्ध कीजिए कि बिंदु M कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

चावल। 5

सबूत:

एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी एक लंब की लंबाई है। आइए बिंदु M से भुजा AB पर लंबवत MK और भुजा AC पर MP खींचते हैं।

त्रिकोण पर विचार करें और। ये समकोण त्रिभुज हैं, और ये बराबर हैं, क्योंकि एक सामान्य कर्ण AM है, पैर MK और MR स्थिति के बराबर हैं। इस प्रकार, समकोण त्रिभुज कर्ण और पाद में बराबर होते हैं। त्रिभुजों की समानता से, संगत तत्वों की समानता इस प्रकार है, समान पैरों के विरुद्ध समान कोण हैं, इस प्रकार, इसलिए, बिंदु M इस कोण के समद्विभाजक पर स्थित है।

यदि कोने में एक वृत्त लिखना आवश्यक है, तो यह किया जा सकता है, और ऐसे कई वृत्त हैं, लेकिन उनके केंद्र दिए गए कोण के द्विभाजक पर स्थित हैं।

वे कहते हैं कि समद्विभाजक एक कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिन्दुओं का बिन्दुपथ है।

त्रिभुज में तीन कोने होते हैं। आइए उनमें से दो के समद्विभाजक बनाते हैं, उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O प्राप्त करते हैं (देखिए आकृति 6)।

बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह अपनी भुजाओं AB और BC से समान दूरी पर है, हम दूरी को r: के रूप में निरूपित करते हैं। साथ ही, बिंदु O कोण के समद्विभाजक पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह अपनी भुजाओं AC और BC से समान दूरी पर है:, यहाँ से।

यह देखना आसान है कि द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरे कोने के किनारों से समान दूरी पर है, जिसका अर्थ है कि यह पर स्थित है

चावल। 6

कोण का द्विभाजक। इस प्रकार त्रिभुज के तीनों समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

तो, हमें एक और महत्वपूर्ण प्रमेय का प्रमाण याद आया।

त्रिभुज के कोणों के द्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र।

इसलिए, हमने त्रिभुज के दूसरे उल्लेखनीय बिंदु पर विचार किया है - द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु।

हमने कोण के द्विभाजक की जांच की और इसके महत्वपूर्ण गुणों को नोट किया: द्विभाजक के बिंदु कोण के किनारों से समान दूरी पर हैं, इसके अलावा, एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा के खंड समान हैं।

आइए कुछ संकेतन का परिचय दें (चित्र 7 देखें)।

आइए स्पर्श रेखाओं के समान खण्डों को x, y और z से निरूपित करें। भुजा BC, जो शीर्ष A के विपरीत स्थित है, को a से, उसी प्रकार AC को b से, AB को c से निरूपित किया जाता है।

चावल। 7

समस्या 1: त्रिभुज में अर्ध-परिधि और भुजा की लंबाई ज्ञात है। शीर्ष A - AK से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जिसे x द्वारा दर्शाया गया है।

जाहिर है, त्रिकोण पूरी तरह से परिभाषित नहीं है, और ऐसे कई त्रिकोण हैं, लेकिन यह पता चला है कि उनमें कुछ तत्व समान हैं।

जिन समस्याओं में हम एक उत्कीर्ण वृत्त के बारे में बात कर रहे हैं, उनके लिए निम्नलिखित समाधान तकनीक प्रस्तावित की जा सकती है:

1. समद्विभाजक खींचिए और उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र प्राप्त कीजिए।

2. केंद्र O से भुजाओं पर लंब खींचिए और स्पर्शरेखा के बिंदु प्राप्त कीजिए।

3. समान स्पर्श रेखाएँ अंकित करें।

4. त्रिभुज की भुजाओं और स्पर्श रेखाओं के बीच संबंध लिखिए।

त्रिभुज में तथाकथित चार उल्लेखनीय बिंदु हैं: माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु, ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु और मध्य-लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।

त्रिभुज माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 1

त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और शीर्ष से शुरू होकर $ 2: 1 $ के अनुपात में प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित होती हैं।

सबूत।

एक त्रिभुज $ ABC $ पर विचार करें, जहाँ $ (AA) _1, \ (BB) _1, \ (CC) _1 $ इसकी माध्यिका है। चूँकि माध्यिकाएँ भुजाओं को आधे में विभाजित करती हैं। आइए मध्य रेखा $ A_1B_1 $ (चित्र 1) पर विचार करें।

चित्र 1. त्रिभुज की माध्यिकाएँ

प्रमेय 1, $ AB || A_1B_1 $ और $ AB = 2A_1B_1 $ से, इसलिए, $ \ कोण ABB_1 = \ कोण BB_1A_1, \ \ कोण BAA_1 = \ कोण AA_1B_1 $। इसका अर्थ यह है कि त्रिभुज $ABM $ और $ A_1B_1M $ त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न के समान हैं। फिर

इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि

प्रमेय सिद्ध होता है।

त्रिभुज समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय २

त्रिभुज के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर: त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

एक त्रिभुज $ ABC $ पर विचार करें, जहाँ $ AM, \ BP, \ CK $ इसका समद्विभाजक है। मान लीजिए कि बिंदु $ O $ द्विभाजक $ AM \ और \ BP $ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए हम इस बिंदु से त्रिभुज की भुजाओं पर लंब खींचते हैं (चित्र 2)।

चित्र 2. त्रिभुज के समद्विभाजक

प्रमेय 3

एक खुले कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इसके पक्षों से समान दूरी पर होता है।

प्रमेय 3 से, हमारे पास है: $OX = OZ, \ OX = OY $। इसलिए, $ ओए = ओजेड $। इसका मतलब यह है कि बिंदु $ O $ कोण $ ACB $ के किनारों से समान दूरी पर है और इसलिए, इसके द्विभाजक $ CK $ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध होता है।

त्रिभुज की माध्यिका लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 4

त्रिभुज की भुजाओं की माध्यिका लंबवत एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

सबूत।

मान लीजिए एक त्रिभुज $ ABC $ दिया गया है, $ n, \ m, \ p $ इसके लंबवत हैं। मान लीजिए कि बिंदु $ O $ माध्यिका लंबवत $ n \ और \ m $ का प्रतिच्छेदन बिंदु है (चित्र 3)।

चित्र 3. त्रिभुज के मध्य लंबवत

प्रमाण के लिए हमें निम्नलिखित प्रमेय की आवश्यकता है।

प्रमेय 5

रेखाखंड के लंबवत मध्यबिंदु का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है।

प्रमेय 3 से, हमारे पास है: $OB = OC, \ OB = OA $। इसलिए, $ OA = OC $। इसका मतलब यह है कि बिंदु $ O $ खंड $ AC $ के सिरों से समान दूरी पर है और इसलिए, इसके मध्य बिंदु लंबवत $ p $ पर स्थित है।

प्रमेय सिद्ध होता है।

त्रिभुज ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रमेय 6

त्रिभुज की ऊँचाइयाँ या उनके विस्तार एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सबूत।

एक त्रिभुज $ ABC $ पर विचार करें, जहां $ (AA) _1, \ (BB) _1, \ (CC) _1 $ इसकी ऊंचाई है। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से एक सीधी रेखा खींचिए, जो शीर्ष के विपरीत भुजा के समानांतर हो। हमें एक नया त्रिभुज $ A_2B_2C_2 $ मिलता है (चित्र 4)।

चित्र 4. त्रिभुज की ऊँचाई

चूँकि $ AC_2BC $ और $ B_2ABC $ एक उभयनिष्ठ भुजा वाले समांतर चतुर्भुज हैं, तो $ AC_2 = AB_2 $, अर्थात् बिंदु $ A $ भुजा के बीच में $ C_2B_2 $ है। इसी तरह, हम पाते हैं कि बिंदु $ B $ पक्ष $ C_2A_2 $ का मध्य है, और बिंदु $ C $ पक्ष $ A_2B_2 $ का मध्य है। निर्माण से हमारे पास वह $ (CC) _1 \ bot A_2B_2, \ (BB) _1 \ bot A_2C_2, \ (AA) _1 \ bot C_2B_2 $ है। इसलिए, $ (AA) _1, \ (BB) _1, \ (CC) _1 $ त्रिभुज $ A_2B_2C_2 $ के लंबवत हैं। फिर, प्रमेय 4 से, हमारे पास यह है कि ऊँचाई $ (AA) _1, \ (BB) _1, \ (CC) _1 $ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।