आधार और कोण को जानकर त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। त्रिभुज की सबसे बड़ी ऊँचाई ज्ञात कीजिए। हमने क्या सीखा

त्रिभुज) या त्रिभुज के बाहर एक अधिक त्रिभुज पर गुजरें।

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माध्यिका बिस्कुस्ट्रल त्रिभुज की ऊँचाई ग्रेड 7

समद्विभाजक, माध्यिका, त्रिभुज की ऊँचाई। ज्यामिति ग्रेड 7

✪ ग्रेड 7, पाठ 17, त्रिभुज की माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और ऊँचाई

माध्यिका, समद्विभाजक, त्रिभुज की ऊँचाई | ज्यामिति

समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई की लंबाई कैसे ज्ञात करें? | मेरे साथ बोटाई # 031 | बोरिस ट्रुशिन

उपशीर्षक

त्रिभुज की तीन ऊँचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु के गुण (ऑर्थोसेंटर)

EA → BC → + EB → CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ overrightarrow (CA)) + (\ overrightarrow (EC)) \ cdot (\ overrightarrow (AB)) = 0)

(पहचान सिद्ध करने के लिए सूत्रों का प्रयोग करना चाहिए

बिंदु E त्रिभुज की दो ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन होना चाहिए।)

• ऑर्थोसेंटरकेंद्र से समकोणीय रूप से संयुग्मित परिबद्ध वृत्त .
• ऑर्थोसेंटरकेन्द्रक के साथ एक सीधी रेखा पर स्थित है, केंद्र परिबद्ध वृत्तऔर नौ बिंदुओं के एक वृत्त का केंद्र (यूलर की रेखा देखें)।
• ऑर्थोसेंटरएक न्यूनकोण त्रिभुज एक वृत्त का केंद्र होता है जो उसके लंबकोण में अंकित होता है।
• इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं पर शीर्षों के साथ ऑर्थोसेंटर द्वारा परिचालित त्रिभुज का केंद्र। प्रथम त्रिभुज के संबंध में अंतिम त्रिभुज को पूरक त्रिभुज कहा जाता है।
• अंतिम गुण इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: एक त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का केंद्र इस प्रकार कार्य करता है ऑर्थोसेंटरअतिरिक्त त्रिकोण।
• अंक सममित ऑर्थोसेंटरएक त्रिभुज की भुजाओं के सन्दर्भ में, परिबद्ध वृत्त पर स्थित है।
• अंक सममित ऑर्थोसेंटरएक त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं के संबंध में, परिवृत्त पर भी स्थित होते हैं और संगत शीर्षों के व्यास के विपरीत बिंदुओं के साथ मेल खाते हैं।
• यदि O परिबद्ध वृत्त ABC का केंद्र है, तो O H → = O A → + O B → + O C → (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
• त्रिभुज के शीर्ष से लंबकेन्द्र तक की दूरी, परिबद्ध वृत्त के केंद्र से विपरीत भुजा की दूरी की दुगुनी है।
• से लिया गया कोई भी खंड ऑर्थोसेंटरपरिवृत्त को पार करने से पहले, इसे हमेशा यूलर के वृत्त से आधा कर दिया जाता है। ऑर्थोसेंटरइन दो मंडलियों की समरूपता का केंद्र है।
• हैमिल्टन का प्रमेय... एक न्यूनकोण त्रिभुज के शीर्षों के साथ ओर्थोसेंटर को जोड़ने वाले तीन रेखा खंड इसे तीन त्रिभुजों में विभाजित करते हैं जिनमें मूल न्यूनकोण त्रिभुज के समान यूलर सर्कल (नौ बिंदुओं का एक चक्र) होता है।
• हैमिल्टन के प्रमेय के परिणाम:
  • एक न्यूनकोण त्रिभुज के शीर्षों के साथ ओर्थोसेंटर को जोड़ने वाले तीन रेखा खंड इसे तीन में विभाजित करते हैं हैमिल्टन का त्रिभुजपरिचालित वृत्तों की समान त्रिज्याएँ होना।
  • तीन . के परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ हैमिल्टन के त्रिकोणमूल न्यूनकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या के बराबर हैं।
• एक न्यूनकोण त्रिभुज में, लंबकेन्द्र त्रिभुज के अंदर स्थित होता है; कुंठित में - त्रिभुज के बाहर; एक आयताकार में - एक समकोण के शीर्ष पर।

समद्विबाहु त्रिभुज उन्नयन गुण

• यदि किसी त्रिभुज की दो ऊँचाइयाँ समान हों, तो त्रिभुज समद्विबाहु (स्टेनर - लेमस प्रमेय) होता है, और तीसरी ऊँचाई उस कोण की माध्यिका और समद्विभाजक होती है जिससे वह निकलता है।
• विलोम भी सत्य है: एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो ऊँचाइयाँ बराबर होती हैं, और तीसरी ऊँचाई माध्यिका और द्विभाजक दोनों होती है।
• एक समबाहु त्रिभुज में तीनों ऊँचाइयाँ बराबर होती हैं।

त्रिभुज के आधार उन्नयन गुण

• नींवहाइट्स तथाकथित ऑर्थोट्राएंगल बनाते हैं, जिसके अपने गुण होते हैं।
• लंबकोण के चारों ओर परिचालित वृत्त यूलर का वृत्त है। इस वृत्त में त्रिभुज की भुजाओं के तीन मध्यबिंदु भी होते हैं और तीन खंडों के तीन मध्यबिंदु होते हैं जो त्रिभुज के शीर्षों के साथ ओर्थोसेंटर को जोड़ते हैं।
• अंतिम संपत्ति का एक और सूत्रीकरण:
  • नौ बिंदुओं के वृत्त के लिए यूलर का प्रमेय. नींवतीन ऊंचाइयोंएक मनमाना त्रिभुज, इसकी तीन भुजाओं के मध्य ( इसके आंतरिक की नींवमाध्यिकाएं) और तीन खंडों के मध्य बिंदु जो इसके शीर्षों को लंबकेन्द्र से जोड़ते हैं, सभी एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं (पर नौ बिंदुओं का चक्र).
• प्रमेय... किसी भी त्रिभुज में, जोड़ने वाला एक खंड मैदानदो ऊंचाइयोंत्रिभुज, इस तरह एक त्रिभुज को काटता है।
• प्रमेय... एक त्रिभुज में, जोड़ने वाला एक खंड मैदानदो ऊंचाइयोंदो भुजाओं पर स्थित त्रिभुज, antiparallelकिसी तीसरे पक्ष के लिए जिसके साथ उसके पास कोई सामान्य बिंदु नहीं है। इसके दो सिरों के माध्यम से, साथ ही साथ तीसरे पक्ष के दो शीर्षों के माध्यम से, आप हमेशा एक वृत्त खींच सकते हैं।

अन्य त्रिभुज उन्नयन गुण

• यदि त्रिभुज बहुमुखी (विषम भुज तथ कोण वाला), फिर इसके अंदर काकिसी भी शीर्ष से खींचे गए द्विभाजक के बीच स्थित है अंदर काएक ही चोटी से खींची गई माध्यिका और ऊँचाई।
• त्रिभुज की ऊंचाई समकोणीय रूप से व्यास (त्रिज्या) से संयुग्मित होती है परिबद्ध वृत्तएक ही शीर्ष से खींचा गया।
• एक न्यूनकोण त्रिभुज में, इसके दो ऊंचाइयोंइसमें से ऐसे त्रिभुजों को काट लें।
• एक समकोण त्रिभुज में ऊंचाईएक समकोण के शीर्ष से खींचा गया यह मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित होता है।

त्रिभुज की न्यूनतम ऊँचाइयों के गुण

त्रिभुज की सबसे छोटी ऊँचाइयों में कई चरम गुण होते हैं। उदाहरण के लिए:

• त्रिभुज के तल में पड़ी सीधी रेखाओं पर त्रिभुज के न्यूनतम ओर्थोगोनल प्रक्षेपण की लंबाई इसकी सबसे छोटी ऊंचाई के बराबर होती है।
• तल में न्यूनतम सीधी कटौती जिसके माध्यम से एक गैर-बेंडेबल त्रिकोणीय प्लेट को खींचा जा सकता है, उसकी लंबाई इस प्लेट की सबसे छोटी ऊंचाई के बराबर होनी चाहिए।
• एक दूसरे की ओर त्रिभुज की परिधि के साथ दो बिंदुओं की निरंतर गति के साथ, पहली बैठक से दूसरी बैठक तक की गति के दौरान उनके बीच की अधिकतम दूरी त्रिभुज की सबसे छोटी ऊंचाई की लंबाई से कम नहीं हो सकती है।
• किसी त्रिभुज की न्यूनतम ऊँचाई हमेशा उस त्रिभुज के भीतर होती है।

बुनियादी संबंध

• h a = b ⋅ sin = c ⋅ sin β, (\ displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ बीटा,)
• h a = 2 ⋅ S a, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),)कहां एस (\ डिस्प्लेस्टाइल एस)- एक त्रिभुज का क्षेत्रफल, ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)- त्रिभुज की भुजा की लंबाई, जिससे ऊँचाई कम हो।
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),)कहां b ⋅ c (\ डिस्प्लेस्टाइल b (\ cdot) c)- पक्षों का उत्पाद, आर - (\ डिस्प्लेस्टाइल आर-)परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या
• एच ए: एच बी: एच सी = 1 ए: 1 बी: 1 सी = (बी ⋅ सी): (ए ⋅ सी): (ए ⋅ बी)। (\ डिस्प्लेस्टाइल एच_ (ए): एच_ (बी): एच_ (सी) = (\ फ्रैक (1) (ए)): (\ फ्रैक (1) (बी)): (\ फ्रैक (1) (सी)) = (बी (\ cdot) ग) :( एक (\ cdot) ग) :( एक (\ cdot) ख)।)
• 1 हे + 1 एचबी + 1 एचसी = 1 आर (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ फ्रैक (1) (एच_ (ए))) + (\ फ्रैक (1) (एच_ (बी))) + (\ फ्रैक (1) (एच_ (सी))) = (\ फ्रैक (1) (आर))), कहां आर (\ डिस्प्लेस्टाइल आर)उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है।
• एस = 1 (1 हेक्टेयर + 1 एचबी + 1 एचसी) ⋅ (1 हेक्टेयर + 1 एचबी - 1 एचसी) ⋅ (1 हेक्टेयर + 1 एचसी -1 एचबी) ⋅ (1 एचबी + 1 एचसी - 1 हेक्टेयर) (\ डिस्प्लेस्टाइल एस = (\ फ्रैक (1) (\ sqrt (((\ फ्रैक (1) (एच_ (ए))) + (\ फ्रैक (1) (एच_ (बी))) + (\ फ्रैक (1) (एच_ (सी) )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))), कहां एस (\ डिस्प्लेस्टाइल एस)- एक त्रिभुज का क्षेत्रफल।
• a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ डिस्प्लेस्टाइल a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ फ़्रैक (1) (h_ (c))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1 ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (ए))))))))), ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)- त्रिभुज की वह भुजा जिससे ऊँचाई गिरती है एच ए (\ डिस्प्लेस्टाइल एच_ (ए)).
• एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, आधार तक कम: एचसी = 1 2 ⋅ 4 ए 2 - सी 2, (\ डिस्प्लेस्टाइल एच_ (सी) = (\ फ्रैक (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ),)

एक समकोण त्रिभुज के लिए ऊँचाई प्रमेय

यदि एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई ABC है जिसकी लंबाई है एच (\ डिस्प्लेस्टाइल एच)समकोण के शीर्ष से खींचे गए कर्ण को लंबाई से विभाजित करते हैं सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)खंडों के लिए एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम)तथा n (\ डिस्प्लेस्टाइल n)पैरों के अनुरूप बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)तथा ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), तो निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं।

त्रिभुज।

बुनियादी अवधारणाओं।

त्रिकोणएक आकृति है जिसमें तीन रेखाखंड और तीन बिंदु होते हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं।

खंडों को कहा जाता है दलों, और अंक - चोटियों.

कोणों का योगत्रिभुज का 180º है।

त्रिभुज की ऊँचाई।

त्रिभुज की ऊँचाईऊपर से विपरीत दिशा में खींचा गया लंबवत है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, ऊँचाई त्रिभुज के भीतर समाहित होती है (चित्र 1)।

एक समकोण त्रिभुज में, पैर त्रिभुज की ऊँचाई हैं (चित्र 2)।

एक अधिक त्रिभुज में, ऊँचाई त्रिभुज के बाहर होती है (चित्र 3)।

त्रिभुज ऊँचाई गुण:

एक त्रिभुज का समद्विभाजक।

त्रिभुज का समद्विभाजकएक खंड है जो शीर्ष के कोने को आधा में विभाजित करता है और शीर्ष को विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ता है (चित्र 5)।

द्विभाजक गुण:

त्रिभुज की माध्यिका।

त्रिभुज की माध्यिकाएक खंड है जो शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य से जोड़ता है (चित्र 9a)।

त्रिभुज की मध्य रेखा।

त्रिभुज की मध्य रेखाइसकी दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है (चित्र 10)।

त्रिभुज की मध्य रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है और उसके आधे के बराबर होती है

त्रिभुज का बाहरी कोना।

बाहर का कोनात्रिभुज दो गैर-आसन्न आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है (चित्र 11)।

त्रिभुज का बाहरी कोना किसी भी गैर-आसन्न कोण से बड़ा होता है।

सही त्रिकोण।

सही त्रिकोणएक समकोण वाला त्रिभुज है (चित्र 12)।

समकोण के सम्मुख समकोण त्रिभुज की भुजा कहलाती है कर्ण.

अन्य दो दलों को कहा जाता है पैर.

समकोण त्रिभुज में आनुपातिक रेखा खंड।

1) एक समकोण त्रिभुज में, समकोण से खींची गई ऊँचाई तीन समरूप त्रिभुज बनाती है: ABC, ACH और HCB (चित्र 14a)। तदनुसार, ऊँचाई से बनने वाले कोण कोण A और B के बराबर होते हैं।

अंजीर। 14a

समद्विबाहु त्रिकोण।

समद्विबाहु त्रिकोणएक त्रिभुज है जिसकी दो भुजाएँ बराबर हैं (चित्र 13)।

ये समान भुजाएँ कहलाती हैं पार्श्व पक्षऔर तीसरा है आधारत्रिकोण।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं। (हमारे त्रिभुज में कोण A कोण C के बराबर है)।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींची गई माध्यिका त्रिभुज का समद्विभाजक और ऊँचाई दोनों होती है।

समान भुजाओं वाला त्रिकोण।

एक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें सभी भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 14)।

समबाहु त्रिभुज गुण:

त्रिभुजों के उल्लेखनीय गुण।

त्रिभुजों में मूल गुण होते हैं जो इन आकृतियों के साथ समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने में आपकी सहायता करेंगे। इनमें से कुछ गुणों का उल्लेख ऊपर किया गया है। लेकिन हम उन्हें एक बार फिर दोहराते हैं, उनमें कुछ और बेहतरीन विशेषताएं जोड़ते हैं:

त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण.

समानता की पहली निशानी: यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हो, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं।

समानता का दूसरा संकेत: यदि एक त्रिभुज की भुजा और उसके समीप के कोण दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज समान होते हैं।

समानता का तीसरा संकेत: यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं।

असमानित त्रिकोण।

किसी भी त्रिभुज में, प्रत्येक भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है।

पाइथागोरस प्रमेय।

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:

सी 2 = ए 2 + बी 2 .

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल।

1) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल इस भुजा की ओर खींची गई ऊँचाई के गुणनफल के आधे के बराबर होता है:

एएच
एस = ——
2

2) किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी किन्हीं दो भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के आधे के बराबर होता है:

1
एस = — अब एसी · पाप ए
2

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित त्रिभुज।

एक त्रिभुज में एक वृत्त खुदा हुआ कहलाता है यदि वह अपनी सभी भुजाओं को स्पर्श करता है (चित्र 16 .) ए).

एक वृत्त में अंकित त्रिभुज।

एक त्रिभुज को एक वृत्त में उत्कीर्ण कहा जाता है यदि वह इसे अपने सभी शीर्षों से स्पर्श करता है (चित्र 17 .) ए).

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा, कोटैन्जेंट (चित्र 18)।

साइनसतीव्र कोण एक्स विरोध करनेकर्ण को पैर।
इसे इस तरह दर्शाया गया है: पापएक्स.

कोज्यातीव्र कोण एक्ससमकोण त्रिभुज का अनुपात है सटा हुआकर्ण को पैर।
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: cos एक्स.

स्पर्शरेखातीव्र कोण एक्सविपरीत पैर का आसन्न पैर का अनुपात है।
इसे इस तरह दर्शाया गया है: tgएक्स.

कोटैंजेंटतीव्र कोण एक्सआसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात है।
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: ctgएक्स.

नियम:

कोने के विपरीत पैर एक्स, कर्ण और पाप के गुणनफल के बराबर है एक्स:

बी = सीपाप एक्स

कोने से सटे पैर एक्स, कर्ण के गुणनफल के बराबर है और cos एक्स:

ए = सीक्योंकि एक्स

कोने के विपरीत पैर एक्स, दूसरे चरण और tg . के गुणनफल के बराबर है एक्स:

बी = एटीजी एक्स

कोने से सटे पैर एक्स, दूसरे चरण और ctg . के गुणनफल के बराबर है एक्स:

ए = बीसीटीजी एक्स.

किसी भी नुकीले कोण के लिए एक्स:

पाप (90 डिग्री - एक्स) = कोस एक्स

कॉस (90 डिग्री - एक्स) = पाप एक्स

सबसे पहले, एक त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन बिंदुओं से बनी होती है जो एक सीधी रेखा पर नहीं होती हैं, जो तीन खंडों से जुड़ी होती हैं। किसी त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको पहले उसके प्रकार का निर्धारण करना होगा। त्रिभुज कोणों के आकार और समान कोणों की संख्या में भिन्न होते हैं। कोणों के संदर्भ में, एक त्रिभुज न्यूनकोण, अधिक कोण वाला और आयताकार हो सकता है। समान भुजाओं की संख्या से, समद्विबाहु, समबाहु और बहुमुखी त्रिभुज प्रतिष्ठित हैं। ऊँचाई वह लम्ब है जो त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया जाता है। मैं एक त्रिभुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात करूँ?

समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

एक समद्विबाहु त्रिभुज को इसके आधार पर भुजाओं और कोणों की समानता की विशेषता होती है, इसलिए, पार्श्व पक्षों की ओर खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई हमेशा एक दूसरे के बराबर होती है। साथ ही, इस त्रिभुज की ऊँचाई माध्यिका और समद्विभाजक दोनों है। तदनुसार, ऊंचाई आधार को आधे में विभाजित करती है। परिणामी समकोण त्रिभुज पर विचार करें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए भुजा ज्ञात करें, जो समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है। निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके, हम ऊंचाई की गणना करते हैं: एच = 1/2 * 4 * ए 2 - बी 2, जहां: ए इस समद्विबाहु त्रिभुज का पक्ष है, बी इस समद्विबाहु त्रिभुज का आधार है।

समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

समान भुजाओं वाला त्रिभुज समबाहु कहलाता है। ऐसे त्रिभुज की ऊँचाई समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई के सूत्र से निकाली जाती है। यह पता चला है: एच = 3 / 2 * ए, जहां ए इस समबाहु त्रिभुज की भुजा है।

एक बहुमुखी त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

एक बहुमुखी त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें कोई भी दो भुजाएँ एक दूसरे के बराबर नहीं होती हैं। ऐसे त्रिभुज में तीनों ऊँचाइयाँ भिन्न-भिन्न होंगी। आप सूत्र का उपयोग करके ऊँचाई की लंबाई की गणना कर सकते हैं: H = sin60 * a = a * (sgrt3) / 2, जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, या पहले बगुला के सूत्र का उपयोग करके किसी विशेष त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें, जो ऐसा दिखता है: एस = (पी * (पीसी) * (पीबी) * (पीए)) ^ 1/2, जहां ए, बी, सी एक बहुमुखी त्रिभुज के पक्ष हैं, और पी इसका अर्धवृत्ताकार है। प्रत्येक ऊँचाई = 2 * वर्ग / भुजा

समकोण त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण होता है। एक पैर की ऊंचाई उसी समय दूसरे पैर तक जाती है। इसलिए, पैरों पर पड़ी ऊंचाई को खोजने के लिए, आपको संशोधित पायथागॉरियन सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है: ए = (सी 2 - बी 2), जहां ए, बी पैर हैं (ए पाया जाने वाला पैर है), सी है कर्ण की लंबाई। दूसरी ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको परिणामी मान a को स्थान b पर रखना होगा। तीसरे को खोजने के लिए, त्रिभुज के अंदर की ऊँचाई, निम्न सूत्र लागू किया जाता है: h = 2s / a, जहाँ h समकोण त्रिभुज की ऊँचाई है, s इसका क्षेत्रफल है, a भुजा की लंबाई है जिसकी ऊंचाई लंबवत होगी।

त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके सभी कोने न्यूनकोण हों। इस मामले में, तीनों ऊंचाइयां एक न्यूनकोण त्रिभुज के अंदर स्थित हैं। एक अधिक कोण होने पर त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है। एक अधिक त्रिभुज की दो ऊँचाइयाँ त्रिभुज के बाहर होती हैं और भुजाओं की निरंतरता पर पड़ती हैं। तीसरी भुजा त्रिभुज के अंदर है। उसी पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ऊँचाई निर्धारित की जाती है।

त्रिभुज की ऊंचाई की गणना जैसे सामान्य सूत्र

• भुजाओं के माध्यम से त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने का सूत्र: H = 2 / a p * (pc) * (pb) * (pb), जहाँ h ऊँचाई ज्ञात करने के लिए है, a, b और c भुजाएँ हैं इस त्रिभुज का p इसका अर्ध-परिधि है।
• कोण और भुजा से त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने का सूत्र: H = b sin y = c sin
• क्षेत्रफल और भुजा के माध्यम से त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने का सूत्र: h = 2S / a, जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, और h ऊँचाई है जो भुजा a की ओर खींची गई है।
• त्रिज्या और भुजाओं के संदर्भ में त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने का सूत्र: H = bc / 2R।

त्रिभुज की ऊंचाई की गणना स्वयं आकृति (समद्विबाहु, समबाहु, बहुमुखी, आयताकार) पर निर्भर करती है। व्यावहारिक ज्यामिति में, जटिल सूत्र, एक नियम के रूप में, नहीं होते हैं। गणना के सामान्य सिद्धांत को जानना पर्याप्त है ताकि यह सभी त्रिभुजों पर सार्वभौमिक रूप से लागू हो सके। आज हम आपको एक आकृति की ऊंचाई की गणना के मूल सिद्धांतों से परिचित कराएंगे, त्रिकोण की ऊंचाई के गुणों के आधार पर गणना सूत्र।

ऊंचाई क्या है?

ऊंचाई में कई विशिष्ट गुण होते हैं

1. वह बिंदु जहां सभी ऊंचाइयां मिलती हैं, ऑर्थोसेंटर कहलाता है। यदि त्रिभुज नुकीला है, तो लंबकेन्द्र आकृति के अंदर है; यदि कोनों में से एक अधिक है, तो लंबकेन्द्र आमतौर पर बाहर है।
2. एक त्रिभुज में जहाँ एक कोण 90° का होता है, लंबकेन्द्र और शीर्ष समान होते हैं।
3. त्रिभुज के प्रकार के आधार पर, त्रिभुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात की जाए, इसके लिए कई सूत्र हैं।

पारंपरिक कंप्यूटिंग

1. यदि p आधा परिमाप है, तो a, b, c आवश्यक आकृति की भुजाओं के पदनाम हैं, h ऊँचाई है, तो पहला और सरल सूत्र इस तरह दिखेगा: h = 2 / a p (pa) (पीबी) (पीसी) ...
2. स्कूली पाठ्यपुस्तकों में, आप अक्सर ऐसी समस्याएँ पा सकते हैं जिनमें त्रिभुज की किसी एक भुजा का मान और इस भुजा और आधार के बीच के कोण का मान ज्ञात हो। फिर ऊंचाई की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β।
3. जब त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया जाता है - एस, साथ ही आधार की लंबाई - ए, गणना यथासंभव सरल होगी। ऊँचाई सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है: h = 2S / a।
4. जब किसी आकृति के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या दी जाती है, तो हम पहले इसकी दो भुजाओं की लंबाई की गणना करते हैं, और फिर त्रिभुज की दी गई ऊंचाई की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: h = b ∙ c / 2R, जहाँ b और c त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं जो आधार नहीं हैं, और R त्रिज्या है।

इस आकृति की सभी भुजाएँ समान हैं, उनकी लंबाई समान है, इसलिए आधार पर कोण भी समान होंगे। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि हम आधारों पर जो ऊँचाईयाँ खींचते हैं, वे भी समान होंगी, वे एक ही समय में माध्यिकाएँ और समद्विभाजक भी हैं। सरल शब्दों में, एक समद्विबाहु त्रिभुज में ऊँचाई आधार को दो भागों में विभाजित करती है। एक समकोण त्रिभुज, जो ऊँचाई खींचने के बाद निकला है, को पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर विचार किया जाएगा। आइए पार्श्व पक्ष को a के रूप में और आधार को b के रूप में निरूपित करें, फिर ऊँचाई h = ½ 4 a2 - b2।

समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

पिछली गणनाओं के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज का सूत्र (ऐसी आकृतियाँ जहाँ सभी भुजाएँ समान हैं) पाई जा सकती हैं। केवल त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई को मापना और इसे एक के रूप में नामित करना आवश्यक है। फिर ऊँचाई को सूत्र द्वारा घटाया जाता है: h = 3 / 2 a।

मैं एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई कैसे ज्ञात करूँ?

जैसा कि आप जानते हैं, समकोण त्रिभुज में कोण 90° का होता है। एक पैर से कम की गई ऊंचाई उसी समय दूसरे पैर की होती है। उन पर एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाइयाँ होंगी। ऊंचाई पर डेटा प्राप्त करने के लिए, आपको मौजूदा पायथागॉरियन सूत्र को थोड़ा बदलना होगा, पैरों को निरूपित करना - ए और बी, और कर्ण की लंबाई को भी मापना - सी।

पैर की लंबाई (जिस तरफ ऊंचाई लंबवत है) का पता लगाएं: a = (c2 - b2)। दूसरे पैर की लंबाई बिल्कुल उसी सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है: b = (c2 - b2)। उसके बाद, आप एक समकोण के साथ एक त्रिभुज की ऊंचाई की गणना करना शुरू कर सकते हैं, पहले आकृति के क्षेत्र की गणना करके - s। ऊँचाई मान h = 2s / a।

एक बहुमुखी त्रिभुज के साथ गणना

जब एक बहुमुखी त्रिभुज में नुकीले कोने होते हैं, तो आधार पर गिराई गई ऊँचाई दिखाई देती है। यदि त्रिभुज एक अधिक कोण के साथ है, तो ऊँचाई आकृति के बाहर हो सकती है, और त्रिभुज की ऊँचाई और आधार का जंक्शन बिंदु प्राप्त करने के लिए आपको इसे मानसिक रूप से जारी रखने की आवश्यकता है। ऊंचाई को मापने का सबसे आसान तरीका यह है कि इसकी गणना किसी एक भुजा और कोणों के परिमाण से की जाए। सूत्र इस तरह दिखता है: h = b sin y + c sin ।

एक त्रिभुज की ऊँचाई एक त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया गया लंबवत है, या इसकी निरंतरता (जिस पक्ष पर लंबवत गिरता है, इस मामले में त्रिभुज का आधार कहा जाता है)।

एक अधिक त्रिभुज में, दो ऊँचाइयाँ भुजाओं के विस्तार पर पड़ती हैं और त्रिभुज के बाहर स्थित होती हैं। तीसरा त्रिभुज के अंदर है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, तीनों ऊँचाइयाँ त्रिभुज के भीतर होती हैं।

समकोण त्रिभुज में, पैर ऊंचाई के रूप में कार्य करते हैं।

आधार और क्षेत्रफल के आधार पर ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

आइए एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र को याद करें। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: ए = 1/2 बीएच.

• A त्रिभुज का क्षेत्रफल है
• b त्रिभुज की वह भुजा है जिससे ऊँचाई कम की जाती है।
• एच - त्रिभुज की ऊंचाई

त्रिभुज को देखें और सोचें कि आप पहले से कौन से मूल्य जानते हैं। यदि आपको एक क्षेत्र दिया गया है, तो इसे "ए" या "एस" अक्षर से नामित करें। आपको पक्ष का अर्थ भी दिया जाना चाहिए, इसे "बी" अक्षर से चिह्नित करें। यदि आपको एक क्षेत्र और एक पक्ष नहीं दिया गया है, तो दूसरी विधि का उपयोग करें।

ध्यान रखें कि त्रिभुज का आधार कोई भी भुजा हो सकती है जिससे ऊँचाई कम हो (चाहे त्रिभुज कैसे भी स्थित हो)। इसे और अच्छे से समझने के लिए कल्पना कीजिए कि आप इस त्रिभुज को घुमा सकते हैं। इसे इस तरह मोड़ें कि जिस तरफ आप जानते हैं वह नीचे की ओर हो।

उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 20 है, और इसकी एक भुजा 4 है। इस स्थिति में, "'A = 20 ',' 'b = 4 "।

क्षेत्रफल (ए = 1/2 बीएच) की गणना के लिए दिए गए मानों को सूत्र में प्लग करें और ऊंचाई पाएं। पहले भुजा (b) को 1/2 से गुणा करें और फिर क्षेत्रफल (A) को उस मान से भाग दें। इस तरह आप त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करेंगे।

हमारे उदाहरण में: 20 = 1/2 (4) एच

20 = 2h
10 = एच

एक समबाहु त्रिभुज के गुण याद रखें। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर होते हैं (प्रत्येक कोण 60˚ है)। यदि आप ऐसे त्रिभुज में ऊँचाई खींचते हैं, तो आपको दो समान समकोण त्रिभुज प्राप्त होते हैं।
उदाहरण के लिए, 8 भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज पर विचार करें।

पाइथागोरस प्रमेय याद रखें। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि पैरों "ए" और "बी" के साथ किसी भी समकोण त्रिभुज में कर्ण "सी" बराबर होता है: ए 2 + बी 2 = सी 2। इस प्रमेय का उपयोग समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है!

एक समबाहु त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करें (इसके लिए ऊँचाई खींचिए)। फिर समकोण त्रिभुजों में से किसी एक की भुजाएँ चिह्नित करें। एक समबाहु त्रिभुज की भुजा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण "c" है। पैर "ए" एक समबाहु त्रिभुज की भुजा के 1/2 के बराबर है, और पैर "बी" एक समबाहु त्रिभुज की वांछित ऊंचाई है।

तो, हमारे उदाहरण में 8 के ज्ञात पक्ष के साथ एक समबाहु त्रिभुज के साथ: c = 8 और a = 4।

इन मानों को पाइथागोरस प्रमेय में प्लग करें और b2 की गणना करें। सबसे पहले, वर्ग "सी" और "ए" (प्रत्येक मान को स्वयं से गुणा करें)। फिर c2 में से a2 घटाएं।

42 + बी2 = 82
16 + बी2 = 64
बी2 = 48

त्रिभुज की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए b2 का वर्गमूल लें। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर का उपयोग करें। परिणामी मान आपके समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई होगी!

बी = 48 = 6.93

कोनों और भुजाओं का उपयोग करके ऊँचाई कैसे ज्ञात करें

इस बारे में सोचें कि आप किन मूल्यों को जानते हैं। यदि आप भुजाओं और कोणों का मान जानते हैं तो आप त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप आधार और भुजा के बीच के कोण को जानते हैं। या यदि तीनों पक्षों का मान ज्ञात हो। तो, आइए त्रिभुज के पक्षों को नामित करें: "ए", "बी", "सी", त्रिभुज के कोने: "ए", "बी", "सी", और क्षेत्र - अक्षर "एस"।

यदि आप तीनों भुजाओं को जानते हैं, तो आपको त्रिभुज का क्षेत्रफल और बगुला का सूत्र चाहिए।

यदि आप दोनों पक्षों और उनके बीच के कोण को जानते हैं, तो आप क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: S = 1/2ab (sinC)।

यदि आपको तीनों पक्षों के लिए मान दिए गए हैं, तो हीरोन के सूत्र का उपयोग करें। इस सूत्र को कई क्रियाएँ करनी होंगी। सबसे पहले आपको चर "s" को खोजने की आवश्यकता है (हम इस अक्षर द्वारा त्रिभुज की परिधि के आधे हिस्से को निरूपित करेंगे)। ऐसा करने के लिए, ज्ञात मानों को इस सूत्र में प्लग करें: s = (a + b + c) / 2।

भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए a = 4, b = 3, c = 5, s = (4 + 3 + 5)/2। परिणाम है: s = 12/2, जहाँ s = 6।

फिर, दूसरी क्रिया से, हम क्षेत्रफल (बगुला के सूत्र का दूसरा भाग) पाते हैं। क्षेत्र = √ (एस (एस-ए) (एस-बी) (एस-सी))। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए "क्षेत्र" शब्द को समतुल्य सूत्र से बदलें: 1/2bh (या 1 / 2ah, या 1/2ch)।

अब ऊँचाई (h) के लिए तुल्य व्यंजक ज्ञात कीजिए। हमारे त्रिभुज के लिए, निम्न समीकरण मान्य होगा: 1/2 (3) h = (6 (6-4) (6-3) (6-5))। जहाँ 3/2h = (6 (2 (3 (1)))। तो 3/2h = √ (36)। वर्गमूल की गणना के लिए अपने कैलकुलेटर का उपयोग करें। हमारे उदाहरण में, 3/2h = 6. तो ऊँचाई (एच) 4 है, पक्ष बी आधार है।

यदि समस्या की स्थिति से आप दो पक्षों और एक कोण को जानते हैं, तो आप एक अलग सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। सूत्र में क्षेत्रफल को समतुल्य व्यंजक से बदलें: 1/2bh। इस प्रकार, आपको निम्न सूत्र प्राप्त होता है: 1/2bh = 1/2ab (sinC)। इसे निम्न रूप में सरल बनाया जा सकता है: h = a (sin C) एक अज्ञात चर को हटाने के लिए।

अब परिणामी समीकरण को हल करना बाकी है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए "a" = 3, "C" = 40 डिग्री। तब समीकरण इस तरह दिखेगा: "एच" = 3 (पाप 40)। "एच" के मान की गणना करने के लिए कैलकुलेटर और साइन टेबल का उपयोग करें। हमारे उदाहरण में, एच = 1.928।