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ऑनलाइन ऊपरी सीमा। सीमाओं की गणना कैसे करें

सीमा सिद्धांत- गणितीय विश्लेषण के वर्गों में से एक, जिसे कोई मास्टर कर सकता है, अन्य शायद ही सीमाओं की गणना करते हैं। सीमा खोजने का सवाल काफी सामान्य है, क्योंकि दर्जनों तकनीकें हैं। समाधान सीमाकई तरह का। L'Hpital के नियम के अनुसार और इसके बिना दोनों में समान सीमाएँ पाई जा सकती हैं। ऐसा होता है कि असीम रूप से छोटे कार्यों की एक श्रृंखला में एक कार्यक्रम आपको वांछित परिणाम जल्दी से प्राप्त करने की अनुमति देता है। कई तरकीबें और तरकीबें हैं जो आपको किसी भी जटिलता के फ़ंक्शन की सीमा खोजने की अनुमति देती हैं। इस लेख में, हम उन मुख्य प्रकार की सीमाओं को समझने की कोशिश करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार सामने आती हैं। हम यहां सीमा का सिद्धांत और परिभाषा नहीं देंगे, इंटरनेट पर ऐसे कई संसाधन हैं जहां इसे चबाया जाता है। इसलिए, आइए व्यावहारिक गणनाओं के लिए नीचे उतरें, यह यहाँ है कि "मुझे नहीं पता! मुझे नहीं पता कि कैसे! हमें सिखाया नहीं गया था!"

प्रतिस्थापन का उपयोग कर कंप्यूटिंग सीमाएं

उदाहरण 1। किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x = 3)।
समाधान: इस प्रकार के उदाहरणों की सैद्धांतिक रूप से सामान्य प्रतिस्थापन द्वारा गणना की जाती है

सीमा 18/11 है।
ऐसी सीमाओं के भीतर जटिल और बुद्धिमान कुछ भी नहीं है - उन्होंने मूल्य को प्रतिस्थापित किया, गणना की, प्रतिक्रिया में सीमा लिखी। हालांकि, इस तरह की सीमाओं के आधार पर, सभी को सिखाया जाता है कि पहली बात यह है कि किसी फ़ंक्शन में मान को प्रतिस्थापित करना है। इसके अलावा, सीमाएं जटिल हैं, वे अनंत, अनिश्चितता और इसी तरह की अवधारणा का परिचय देती हैं।

अनंत के प्रकार की अनंतता के साथ सीमा को अनंत से विभाजित करें। अनिश्चितता प्रकटीकरण तकनीक

उदाहरण 2। किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x = अनंत)।
हल: एक बहुपद के रूप की एक सीमा निर्धारित की जाती है, एक बहुपद से विभाजित होती है, और चर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है

उस मान का एक सरल प्रतिस्थापन जिससे सीमा ज्ञात करने के लिए चर पाया जाना चाहिए, मदद नहीं करेगा, हमें अनंत से विभाजित रूप अनंत की अनिश्चितता मिलती है।
पसीना सीमा सिद्धांत सीमा की गणना के लिए एल्गोरिथ्म अंश या हर में "x" की सबसे बड़ी शक्ति का पता लगाना है। इसके अलावा, इसके द्वारा अंश और हर को सरल बनाया जाता है और फलन की सीमा पाई जाती है

चूंकि मान एक चर से अनंत तक शून्य हो जाता है, तो उन्हें उपेक्षित कर दिया जाता है, या शून्य के रूप में अंतिम अभिव्यक्ति में लिखा जाता है

अभ्यास से तुरंत, आप दो निष्कर्ष प्राप्त कर सकते हैं जो गणनाओं में एक संकेत हैं। यदि चर अनंत तक जाता है और अंश की डिग्री हर की डिग्री से अधिक है, तो सीमा अनंत के बराबर है। अन्यथा, यदि हर में बहुपद अंश की तुलना में उच्च क्रम का है, तो सीमा शून्य है।
सीमा को सूत्रों द्वारा इस प्रकार लिखा जा सकता है

यदि हमारे पास अंशों के बिना एक साधारण लॉग के रूप का कार्य है, तो इसकी सीमा अनंत के बराबर है

अगले प्रकार की सीमा शून्य के निकट कार्यों के व्यवहार से संबंधित है।

उदाहरण 3. किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x = 0)।
हल: यहाँ बहुपद का उच्चतम गुणनखंड निकालने की आवश्यकता नहीं है। ठीक इसके विपरीत, अंश और हर की सबसे छोटी डिग्री ज्ञात करना और सीमा की गणना करना आवश्यक है

एक्स मान ^ 2; x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है जब चर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है इसलिए, वे उपेक्षित हो जाते हैं, इस प्रकार हमें प्राप्त होता है

कि सीमा 2.5 है।

अब तुम जानते हो किसी फ़ंक्शन की सीमा का पता कैसे लगाएंबहुपद को बहुपद से विभाजित किया जाता है यदि चर अनंत या 0 की ओर जाता है। लेकिन यह उदाहरणों का केवल एक छोटा और आसान हिस्सा है। निम्नलिखित सामग्री से आप सीखेंगे किसी फ़ंक्शन की सीमाओं की अनिश्चितताओं का खुलासा कैसे करें.

0/0 प्रकार की अनिश्चितता और इसकी गणना के तरीकों के साथ सीमा

तुरंत सभी को वह नियम याद आ जाता है जिसके अनुसार शून्य से भाग देना असंभव है। हालांकि, इस संदर्भ में सीमा के सिद्धांत का अर्थ है इनफिनिटिमल फंक्शन।
आइए स्पष्टता के लिए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 4. किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x = -1)।
हल: चर x = -1 के मान को हर में प्रतिस्थापित करने पर, हमें शून्य मिलता है, वही हमें अंश में मिलता है। तो हमारे पास फॉर्म 0/0 की अनिश्चितता।
इस तरह की अनिश्चितता से निपटना सरल है: आपको बहुपद को कारक बनाने की आवश्यकता है, या यों कहें, उस कारक का चयन करें जो फ़ंक्शन को शून्य में बदल देता है।

अपघटन के बाद, फ़ंक्शन की सीमा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने के लिए यही पूरी तकनीक है। हम ऐसा ही करते हैं यदि एक बहुपद से विभाजित बहुपद के रूप की सीमा होती है।

उदाहरण 5. किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x = 2)।
समाधान: आगे प्रतिस्थापन दिखाता है
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
हमारे पास क्या है अनिश्चितता प्रकार 0/0.
हम बहुपदों को एक ऐसे गुणनखंड से विभाजित करते हैं जो विलक्षणता का परिचय देता है

ऐसे शिक्षक हैं जो सिखाते हैं कि दूसरे क्रम के बहुपद, यानी "द्विघात समीकरण" के रूप में विवेचक के माध्यम से हल किया जाना चाहिए। लेकिन वास्तविक अभ्यास से पता चलता है कि यह लंबा और अधिक भ्रमित करने वाला है, इसलिए निर्दिष्ट एल्गोरिथम के भीतर सुविधाओं से छुटकारा पाएं। इस प्रकार, हम फलन को अभाज्य गुणनखंडों के रूप में लिखते हैं और सीमा में गणना करते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसी सीमाओं की गणना करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। सीमाओं का अध्ययन करते समय, आप बहुपदों को विभाजित करना जानते हैं, कम से कम उस कार्यक्रम के अनुसार जो आपको पहले ही पास हो जाना चाहिए था।
कार्यों के बीच अनिश्चितता प्रकार 0/0ऐसे कुछ हैं जिनमें आपको संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करने की आवश्यकता है। लेकिन यदि आप उन्हें नहीं जानते हैं, तो एक बहुपद को एक एकपदी से विभाजित करके, आप वांछित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण 6. किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((x ^ 2-9) / (x-3), x = 3)।
हल: हमारे पास 0/0 प्रकार की अनिश्चितता है। अंश में, हम संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करते हैं

और आवश्यक सीमा की गणना करें

संयुग्म से गुणा करके अनिश्चितता प्रकट करने की विधि

विधि उन सीमाओं पर लागू होती है जिनमें अनिश्चितताएं तर्कहीन कार्य उत्पन्न करती हैं। गणना के बिंदु पर अंश या हर शून्य हो जाता है और यह नहीं पता होता है कि सीमा कैसे खोजें।

उदाहरण 7. किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((वर्ग (x + 2) -वर्ग (7x-10)) / (3x-6), x = 2)।
समाधान:हम सीमा सूत्र में चर का प्रतिनिधित्व करते हैं

प्रतिस्थापन 0/0 प्रकार की अनिश्चितता देता है।
सीमा के सिद्धांत के अनुसार, इस सुविधा को दरकिनार करने की योजना अपरिमेय अभिव्यक्ति को संयुग्म से गुणा करना है। व्यंजक को न बदलने के लिए, हर को उसी मान से विभाजित किया जाना चाहिए।

वर्गों के अंतर के नियम से, हम अंश को सरल करते हैं और फ़ंक्शन की सीमा की गणना करते हैं

हम उन शब्दों को सरल करते हैं जो सीमा में विलक्षणता पैदा करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं

उदाहरण 8. किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((वर्ग (x-2) -वर्ग (2x-5)) / (3-x), x = 3)।
समाधान: आगे प्रतिस्थापन दर्शाता है कि सीमा में 0/0 के रूप की एक विशेषता है।

विस्तार करने के लिए, हम संयुग्म द्वारा अंश से गुणा और भाग करते हैं

वर्गों का अंतर लिखना

हम उन शब्दों को सरल करते हैं जो विलक्षणता का परिचय देते हैं और फ़ंक्शन की सीमा का पता लगाते हैं

उदाहरण 9. किसी फलन की सीमा ज्ञात कीजिए
लिम ((x ^ 2 + x-6) / (वर्ग (3x-2) -2), x = 2)।
हल: सूत्र में 2 को प्रतिस्थापित कीजिए

हम पाते हैं अनिश्चितता 0/0.
हर को संयुग्मी अभिव्यक्ति से गुणा किया जाना चाहिए, और द्विघात समीकरण को अंश में हल किया जाना चाहिए या विलक्षणता को ध्यान में रखते हुए गुणनखंडित किया जाना चाहिए। चूँकि यह ज्ञात है कि 2 एक मूल है, हम दूसरी जड़ को वियत के प्रमेय द्वारा ज्ञात करते हैं

इस प्रकार, हम अंश को रूप में लिखते हैं

और सीमा में स्थानापन्न करें

वर्गों के अंतर को कम करके, हम अंश और हर में एकवचन से छुटकारा पाते हैं

इस तरह, आप कई उदाहरणों में विलक्षणता से छुटकारा पा सकते हैं, और जहां भी दिया गया मूल अंतर प्रतिस्थापन पर शून्य हो जाता है, वहां आवेदन पर ध्यान दिया जाना चाहिए। अन्य प्रकार की सीमाएँ घातांकीय कार्यों, अतिसूक्ष्म कार्यों, लघुगणकों, विशेष सीमाओं और अन्य तकनीकों से संबंधित हैं। लेकिन आप इसके बारे में सीमा पर नीचे सूचीबद्ध लेखों में पढ़ सकते हैं।

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गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है कार्य सीमातथा अनुक्रम सीमाएक बिंदु पर और अनंत पर, सही ढंग से हल करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है सीमाएं... हमारी सेवा के साथ यह मुश्किल नहीं होगा। एक उपाय किया जाता है सीमा ऑनलाइनकुछ ही सेकंड में, उत्तर सटीक और पूर्ण है। पथरी का अध्ययन शुरू होता है सीमा के लिए मार्ग, सीमाएंउच्च गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है, इसलिए सर्वर को हाथ में रखना उपयोगी होता है समाधान ऑनलाइन सीमित करें, जो साइट है।

सीमा सिद्धांत गणितीय विश्लेषण की शाखाओं में से एक है। सीमाओं को हल करने की समस्या काफी व्यापक है, क्योंकि विभिन्न प्रकार की सीमाओं को हल करने के दर्जनों तरीके हैं। इस या उस सीमा को हल करने के लिए दर्जनों बारीकियां और तरकीबें हैं। फिर भी, हम अभी भी उन बुनियादी प्रकार की सीमाओं को समझने का प्रयास करेंगे जिनका व्यवहार में अक्सर सामना किया जाता है।

आइए एक सीमा की अवधारणा से शुरू करें। लेकिन पहले, एक संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। 19वीं शताब्दी में एक फ्रांसीसी ऑगस्टिन लुइस कॉची रहता था, जिसने मटन की कई अवधारणाओं को सख्त परिभाषा दी और इसकी नींव रखी। मुझे कहना होगा कि यह सम्मानित गणितज्ञ भौतिकी और गणित संकाय के सभी छात्रों के लिए सपने देखता है, सपने देखता है और सपने देखता है, क्योंकि उन्होंने गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों की एक बड़ी संख्या को साबित कर दिया है, और एक प्रमेय दूसरे की तुलना में अधिक घातक है। इस संबंध में, हम विचार नहीं करेंगे कॉची सीमा की परिभाषा, लेकिन आइए दो चीजें करने का प्रयास करें:

1. समझें कि एक सीमा क्या है।
2. बुनियादी प्रकार की सीमाओं से निपटना सीखें।

मैं कुछ अवैज्ञानिक स्पष्टीकरणों के लिए क्षमा चाहता हूं, यह महत्वपूर्ण है कि सामग्री एक चायदानी के लिए भी समझ में आती है, जो वास्तव में परियोजना का कार्य है।

तो सीमा क्या है?

और तुरंत एक उदाहरण, क्यों झबरा दादी…।

किसी भी सीमा के तीन भाग होते हैं:

1) प्रसिद्ध सीमा चिह्न।
2) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत प्रविष्टियां। प्रविष्टि में लिखा है "x एक की ओर जाता है।" सबसे अधिक बार - बिल्कुल, हालांकि व्यवहार में "x" के बजाय, अन्य चर भी हैं। व्यावहारिक अभ्यासों में, इकाई के स्थान पर बिल्कुल कोई भी संख्या हो सकती है, साथ ही अनंत ()।
3) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत कार्य।

रिकॉर्डिंग ही इस तरह पढ़ता है: "फ़ंक्शन की सीमा जब x एकता की ओर जाता है।"

आइए अगले महत्वपूर्ण प्रश्न का विश्लेषण करें - अभिव्यक्ति "x ." क्या है चाहता हैएक को "? और वैसे भी "प्रयास" क्या है?
एक सीमा की अवधारणा एक अवधारणा है, अगर मैं ऐसा कह सकता हूं, गतिशील... आइए एक क्रम बनाएँ: पहले, फिर, ..., , ….
अर्थात्, व्यंजक "x चाहता हैएक के लिए "निम्नानुसार समझा जाना चाहिए -" x "लगातार मान लेता है, जो असीम रूप से एकता के करीब हैं और व्यावहारिक रूप से इसके साथ मेल खाते हैं.

उपरोक्त उदाहरण को कैसे हल करें? उपरोक्त के आधार पर, आपको केवल सीमा चिह्न के तहत फ़ंक्शन में एक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

तो पहला नियम है: जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले हम केवल संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करने का प्रयास करते हैं.

हमने सबसे सरल सीमा पर विचार किया है, लेकिन ऐसे भी व्यवहार में पाए जाते हैं, और, इसके अलावा, शायद ही कभी!

अनंत के साथ उदाहरण:

आइए जानें कि यह क्या है? यह तब होता है जब यह अनिश्चित काल तक बढ़ता है, अर्थात्: पहले, फिर, फिर, फिर और इसी तरह अनंत तक।

इस समय समारोह का क्या होता है?
, , , …

तो: यदि, तो फ़ंक्शन शून्य से अनंत तक जाता है:

मोटे तौर पर, हमारे पहले नियम के अनुसार, "x" के बजाय हम फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

अनंत के साथ एक और उदाहरण:

फिर से, हम अनंत तक बढ़ना शुरू करते हैं और फ़ंक्शन के व्यवहार को देखते हैं:

निष्कर्ष: जब फलन अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है:

और उदाहरणों की एक और श्रृंखला:

कृपया निम्नलिखित का मानसिक रूप से विश्लेषण करने का प्रयास करें और सरलतम प्रकार की सीमाओं को याद रखें:

, , , , , , , , ,
यदि आपको कहीं भी संदेह है, तो आप एक कैलकुलेटर उठा सकते हैं और थोड़ा अभ्यास कर सकते हैं।
उस स्थिति में, अनुक्रम बनाने का प्रयास करें,,। तो अगर,,।

! ध्यान दें: कड़ाई से बोलते हुए, कई संख्याओं से अनुक्रमों के निर्माण के साथ यह दृष्टिकोण गलत है, लेकिन यह सरलतम उदाहरणों को समझने के लिए काफी उपयुक्त है।

निम्न बातों पर भी ध्यान दें। भले ही सबसे ऊपर बड़ी संख्या के साथ एक लिमिट दी हो, लेकिन एक लाख के साथ भी:, तो कोई बात नहीं , क्योंकि जल्दी या बाद में "एक्स" ऐसे विशाल मूल्यों को लेना शुरू कर देगा कि उनकी तुलना में एक लाख वास्तविक सूक्ष्म जीव होंगे।

ऊपर से आपको क्या याद रखने और समझने की आवश्यकता है?

1) जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले हम केवल संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करने का प्रयास करते हैं।

2) आपको सरलतम सीमाओं को समझना और तुरंत हल करना चाहिए, जैसे कि , , आदि।

इसके अलावा, सीमा का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ है। विषय की बेहतर समझ के लिए, मेरा सुझाव है कि आप शिक्षण सामग्री से खुद को परिचित कर लें प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण... इस लेख को पढ़ने के बाद, आप न केवल अंततः समझ पाएंगे कि एक सीमा क्या है, बल्कि दिलचस्प मामलों से भी परिचित होंगे जब किसी फ़ंक्शन की सीमा आम तौर पर होती है मौजूद नहीं होना!

व्यवहार में, दुर्भाग्य से, कुछ उपहार हैं। इसलिए, हम अधिक जटिल सीमाओं के विचार की ओर मुड़ते हैं। वैसे, इस विषय पर है गहन पाठ्यक्रमपीडीएफ प्रारूप में, जो विशेष रूप से उपयोगी है यदि आपके पास तैयारी के लिए बहुत कम समय है। लेकिन साइट की सामग्री, निश्चित रूप से, बदतर नहीं हैं:

अब हम सीमाओं के एक समूह पर विचार करेंगे, जब और फलन एक भिन्न हो, जिसके अंश और हर में बहुपद हों

उदाहरण:

सीमा की गणना करें

हमारे नियम के अनुसार, हम फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करेंगे। हमें सबसे ऊपर क्या मिलता है? अनंतता। और नीचे क्या होता है? अनंत भी। तो हमारे पास प्रजातियों की तथाकथित अनिश्चितता है। कोई ऐसा सोचेगा, और उत्तर तैयार है, लेकिन सामान्य स्थिति में ऐसा बिल्कुल नहीं है, और आपको कुछ समाधान तकनीक लागू करने की आवश्यकता है, जिस पर अब हम विचार करेंगे।

किसी दिए गए प्रकार की सीमाओं को कैसे हल करें?

सबसे पहले, हम अंश को देखते हैं और उच्चतम घात में पाते हैं:

अंश में उच्चतम डिग्री दो है।

अब हम हर को देखते हैं और उच्चतम घात में भी पाते हैं:

हर की उच्चतम शक्ति दो है।

फिर हम अंश और हर की उच्चतम शक्ति चुनते हैं: इस उदाहरण में, वे समान हैं और दो के बराबर हैं।

तो, समाधान विधि इस प्रकार है: अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को उच्चतम शक्ति से विभाजित करना आवश्यक है।

ऐसा ही है, उत्तर, अनंत नहीं।

समाधान के डिजाइन में मौलिक रूप से क्या महत्वपूर्ण है?

सबसे पहले, हम अनिश्चितता का संकेत देते हैं, यदि कोई हो।

दूसरा, मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करना उचित है। मैं आमतौर पर एक संकेत का उपयोग करता हूं, इसका कोई गणितीय अर्थ नहीं होता है, लेकिन इसका मतलब है कि मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान बाधित किया गया था।

तीसरा, सीमा में यह चिह्नित करना वांछनीय है कि क्या प्रयास कर रहा है और कहाँ। जब काम हाथ से पूरा हो जाता है, तो इसे इस तरह करना अधिक सुविधाजनक होता है:

चिह्नित करने के लिए एक साधारण पेंसिल का उपयोग करना सबसे अच्छा है।

बेशक, आप इसमें से कुछ नहीं कर सकते हैं, लेकिन फिर, शायद, शिक्षक समाधान में कमियों को नोट करेगा या असाइनमेंट पर अतिरिक्त प्रश्न पूछना शुरू कर देगा। क्या तुम्हें यह चाहिये?

उदाहरण 2

सीमा का पता लगाएं
फिर से, अंश और हर में, हम उच्चतम घात में पाते हैं:

अंश में अधिकतम डिग्री: 3
हर में अधिकतम डिग्री: 4
हम चुनते हैं महानतममूल्य, इस मामले में एक चार।
हमारे एल्गोरिथ्म के अनुसार, अनिश्चितता का खुलासा करने के लिए, हम अंश और हर को विभाजित करते हैं।
असाइनमेंट का पूरा डिज़ाइन इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को से भाग दें

उदाहरण 3

सीमा का पता लगाएं
अंश में "x" की अधिकतम डिग्री: 2
हर में "x" की अधिकतम डिग्री: 1 (इस रूप में लिखा जा सकता है)
अनिश्चितता प्रकट करने के लिए, अंश और हर को विभाजित करें। एक साफ समाधान इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को से भाग दें

रिकॉर्डिंग का मतलब शून्य से विभाजन नहीं है (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं), लेकिन एक अतिसूक्ष्म संख्या से विभाजन।

इस प्रकार, प्रजातियों की अनिश्चितता का खुलासा करते समय, हम प्राप्त कर सकते हैं सीमित संख्या, शून्य या अनंत।

एक प्रकार की अनिश्चितता के साथ सीमाएं और उनके समाधान के लिए एक विधि

सीमाओं का अगला समूह कुछ हद तक अभी मानी गई सीमाओं के समान है: अंश और हर में बहुपद हैं, लेकिन "x" अब अनंत की ओर नहीं जाता है, लेकिन सीमित संख्या.

उदाहरण 4

सीमा को हल करें
सबसे पहले, आइए भिन्न में -1 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

इस मामले में, तथाकथित अनिश्चितता प्राप्त की जाती है।

सामान्य नियम: यदि अंश और हर में बहुपद हैं, और प्रपत्र की अनिश्चितताएं हैं, तो इसके प्रकटीकरण के लिए आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा.

ऐसा करने के लिए, सबसे अधिक बार आपको द्विघात समीकरण को हल करने और / या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। अगर ये बातें भूल जाते हैं, तो पेज पर जाएं गणितीय सूत्र और टेबलऔर शिक्षण सामग्री पढ़ें हॉट फॉर्मूला स्कूल गणित पाठ्यक्रम... वैसे, इसे प्रिंट करना सबसे अच्छा है, इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है, और कागज से जानकारी को बेहतर ढंग से आत्मसात किया जाता है।

तो, हम अपनी सीमा तय करते हैं

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें

अंश का गुणनखंड करने के लिए, आपको द्विघात समीकरण को हल करना होगा:

सबसे पहले, हम विवेचक पाते हैं:

और इसका वर्गमूल:.

यदि विभेदक बड़ा है, उदाहरण के लिए 361, हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, वर्गमूल फ़ंक्शन सबसे सरल कैलकुलेटर पर उपलब्ध है।

! यदि रूट पूरी तरह से निकाला नहीं गया है (अल्पविराम के साथ एक भिन्नात्मक संख्या प्राप्त की जाती है), तो यह बहुत संभावना है कि विवेचक की गणना गलत तरीके से की गई है या नौकरी में कोई टाइपो है।

अगला, हम जड़ें पाते हैं:

इस प्रकार:

हर चीज़। अंश का विस्तार किया गया है।

हर। भाजक पहले से ही सबसे सरल कारक है, और इसे सरल बनाने का कोई तरीका नहीं है।

जाहिर है इसे संक्षिप्त किया जा सकता है:

अब हम व्यंजक में -1 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो सीमा चिन्ह के अंतर्गत रहता है:

स्वाभाविक रूप से, परीक्षण में, परीक्षण में, परीक्षा में, निर्णय को इतने विस्तार से वर्णित नहीं किया जाता है। अंतिम संस्करण में, डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

अंश का गुणनखंड करें।

उदाहरण 5

सीमा की गणना करें

सबसे पहले, एक "साफ" समाधान

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें।

अंश:
हर:

,

इस उदाहरण में क्या महत्वपूर्ण है?
सबसे पहले, आपको अच्छी तरह से समझना चाहिए कि अंश का खुलासा कैसे किया जाता है, पहले हमने ब्रैकेट के बाहर 2 निकाले, और फिर हमने वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग किया। यह वह सूत्र है जिसे आपको जानना और देखना है।

अनुशंसा: यदि सीमा में (लगभग किसी भी प्रकार का) कोष्ठक से एक संख्या निकालना संभव है, तो हम हमेशा ऐसा करते हैं।
इसके अलावा, ऐसी संख्याओं को सीमा चिह्न के बाहर रखने की सलाह दी जाती है... किस लिए? हां, बस इसलिए कि वे बीच में न आएं। मुख्य बात यह है कि समाधान के दौरान बाद में इन नंबरों को खोना नहीं है।

कृपया ध्यान दें कि समाधान के अंतिम चरण में, मैंने सीमा चिह्न के बाहर दो बनाए, और फिर - एक ऋण।

! जरूरी
समाधान के दौरान, प्रकार का टुकड़ा बहुत बार होता है। ऐसे अंश को कम करेंयह निषिद्ध है ... सबसे पहले, आपको अंश या हर का चिह्न बदलना होगा (कोष्ठक में से -1 निकालें)।
, अर्थात्, एक ऋण चिह्न दिखाई देता है, जिसे सीमा की गणना करते समय ध्यान में रखा जाता है और आपको इसे खोने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं होती है।

सामान्य तौर पर, मैंने देखा है कि अक्सर इस प्रकार की सीमाएं खोजने में, आपको दो द्विघात समीकरणों को हल करना होता है, अर्थात अंश और हर दोनों में द्विघात त्रिपद होते हैं।

संयुग्मी व्यंजक द्वारा अंश और हर को गुणा करने की विधि

हम फॉर्म की अनिश्चितता पर विचार करना जारी रखते हैं

अगले प्रकार की सीमाएँ पिछले प्रकार के समान हैं। केवल एक चीज, बहुपदों के अलावा, हम जड़ें जोड़ेंगे।

उदाहरण 6

सीमा का पता लगाएं

हम फैसला करना शुरू करते हैं।

सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत व्यंजक में 3 स्थानापन्न करने का प्रयास करते हैं
मैं फिर दोहराता हूं - किसी भी सीमा के लिए यह पहला काम है... यह क्रिया आमतौर पर मानसिक रूप से या मसौदे पर की जाती है।

प्रजातियों की अनिश्चितता प्राप्त होती है, जिसे समाप्त करने की आवश्यकता है।

जैसा कि आपने शायद देखा होगा, हमारे पास अंश में जड़ों का अंतर है। और गणित में, जब भी संभव हो जड़ों से छुटकारा पाने का रिवाज है। किस लिए? और उनके बिना जीवन आसान है।

आइए एक सीमा की अवधारणा से शुरू करें। लेकिन पहले, एक संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। 19वीं शताब्दी में फ्रांसीसी ऑगस्टिन लुई कॉची रहते थे, जिन्होंने गणितीय विश्लेषण की नींव रखी और कठोर परिभाषाएँ दीं, विशेष रूप से सीमा की परिभाषा। मुझे कहना होगा कि यह वही कॉची सपने देखता है, सपने देखता है और सपने में सपने देखता है, भौतिकी और गणित संकाय के सभी छात्रों के लिए, क्योंकि उन्होंने गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों की एक बड़ी संख्या को साबित कर दिया है, और एक प्रमेय दूसरे की तुलना में अधिक घृणित है। इस संबंध में, हम सीमा की एक सख्त परिभाषा पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन दो चीजें करने की कोशिश करेंगे:

1. समझें कि एक सीमा क्या है।
2. बुनियादी प्रकार की सीमाओं से निपटना सीखें।

तो सीमा क्या है?

और तुरंत एक उदाहरण, क्यों झबरा दादी…।

किसी भी सीमा के तीन भाग होते हैं:

रिकॉर्डिंग ही इस तरह पढ़ता है: "फ़ंक्शन की सीमा जब x एकता की ओर जाता है।"

अनंत के साथ उदाहरण:

इस समय समारोह का क्या होता है?
, , , …

तो: यदि, तो फ़ंक्शन शून्य से अनंत तक जाता है:

अनंत के साथ एक और उदाहरण:

फिर से, हम अनंत तक बढ़ने लगते हैं, और हम फ़ंक्शन के व्यवहार को देखते हैं:

निष्कर्ष: जब फलन अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है:

और उदाहरणों की एक और श्रृंखला:

नोट: कड़ाई से बोलते हुए, कई संख्याओं से अनुक्रमों के निर्माण के साथ यह दृष्टिकोण गलत है, लेकिन यह सबसे सरल उदाहरणों को समझने के लिए काफी उपयुक्त है।

निम्न बातों पर भी ध्यान दें। भले ही सबसे ऊपर बड़ी संख्या के साथ एक लिमिट दी हो, लेकिन एक लाख के साथ भी:, तो कोई बात नहीं , क्योंकि जल्दी या बाद में "एक्स" ऐसे विशाल मूल्यों पर ले जाएगा कि उनकी तुलना में एक लाख वास्तविक सूक्ष्म जीव होंगे।

ऊपर से आपको क्या याद रखने और समझने की आवश्यकता है?

2) आपको सरलतम सीमाओं को समझना और तुरंत हल करना चाहिए, जैसे कि , , आदि।

उदाहरण:

सीमा की गणना करें

किसी दिए गए प्रकार की सीमाओं को कैसे हल करें?

अब हम हर को देखते हैं और उच्चतम घात में भी पाते हैं:

हर की उच्चतम शक्ति दो है।

ऐसा ही है, उत्तर, अनंत नहीं।

समाधान के डिजाइन में मौलिक रूप से क्या महत्वपूर्ण है?

सबसे पहले, हम अनिश्चितता का संकेत देते हैं, यदि कोई हो।

उदाहरण 2

अंश और हर को से भाग दें

उदाहरण 3

अंश और हर को से भाग दें

एक प्रकार की अनिश्चितता के साथ सीमाएं और उनके समाधान के लिए एक विधि

उदाहरण 4

तो, हम अपनी सीमा तय करते हैं

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें

अगला, हम जड़ें पाते हैं:

इस प्रकार:

हर चीज़। अंश का विस्तार किया गया है।

हर। भाजक पहले से ही सबसे सरल कारक है, और इसे सरल बनाने का कोई तरीका नहीं है।

जाहिर है इसे संक्षिप्त किया जा सकता है:

अब हम व्यंजक में -1 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो सीमा चिन्ह के अंतर्गत रहता है:

अंश का गुणनखंड करें।

उदाहरण 5

सीमा की गणना करें

सबसे पहले, एक "साफ" समाधान

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें।

अंश:
हर:

,

जरूरत पड़ने पर यह ऑनलाइन गणित कैलकुलेटर आपकी मदद करेगा फ़ंक्शन की सीमा की गणना करें... कार्यक्रम समाधान सीमाकेवल समस्या का उत्तर नहीं देता, यह देता है स्पष्टीकरण के साथ विस्तृत समाधान, अर्थात। सीमा की गणना की प्रक्रिया प्रदर्शित करता है।

गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए माता-पिता के लिए परीक्षा से पहले ज्ञान की जाँच करते समय, परीक्षा और परीक्षा की तैयारी में माध्यमिक विद्यालयों के वरिष्ठ छात्रों के लिए यह कार्यक्रम उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार आप अपने छोटे भाई-बहनों के अध्यापन और/या शिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

फ़ंक्शन अभिव्यक्ति दर्ज करें
सीमा की गणना करें

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
शायद आपके पास एडब्लॉक सक्षम है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउजर में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए, आपको जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने की आवश्यकता है।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने के निर्देश यहां दिए गए हैं।

चूंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या को हल करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड ...

अगर तुम निर्णय में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप तय करें और क्या खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

x-> x 0 . पर फलन की सीमा

मान लें कि फ़ंक्शन f (x) को किसी सेट X पर परिभाषित किया गया है और बिंदु \ (x_0 \ in X \) या \ (x_0 \ notin X \)

X से x 0 के अलावा अन्य बिंदुओं का एक क्रम लें:
एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ..., एक्स एन, ... (1)
एक्स * में परिवर्तित करना। इस अनुक्रम के बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान भी एक संख्यात्मक अनुक्रम बनाते हैं
एफ (एक्स 1), एफ (एक्स 2), एफ (एक्स 3), ..., एफ (एक्स एन), ... (2)
और इसकी सीमा के अस्तित्व पर सवाल उठाया जा सकता है।

परिभाषा... संख्या ए को बिंदु x = x 0 (या x -> x 0) पर फ़ंक्शन f (x) की सीमा कहा जाता है यदि किसी अनुक्रम के लिए (1) तर्क x के मानों के x 0 में परिवर्तित होता है x 0 के अलावा अन्य मान फ़ंक्शन का संगत अनुक्रम (2) A में परिवर्तित हो जाता है।

$$ \ lim_ (x \ से x_0) (f (x)) = A $$

फलन f (x) की बिंदु x 0 पर केवल एक सीमा हो सकती है। यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि अनुक्रम
(f (x n)) की केवल एक सीमा है।

फ़ंक्शन सीमा की एक और परिभाषा है।

परिभाषासंख्या ए को बिंदु x = x 0 पर फ़ंक्शन f (x) की सीमा कहा जाता है यदि किसी संख्या \ (\ varepsilon> 0 \) के लिए एक संख्या \ (\ डेल्टा> 0 \) मौजूद है जैसे कि सभी के लिए \ (x \ में X, \; x \ neq x_0 \) असमानता को संतुष्ट करना \ (| x-x_0 | तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके, इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है
\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ मौजूद \ डेल्टा> 0) (\ forall x \ में X, \; x \ neq x_0, \; | x-x_0 | ध्यान दें कि असमानताएं \ (x \ neq x_0) , \; | x-x_0 | पहली परिभाषा एक संख्या अनुक्रम सीमा की धारणा पर आधारित है, इसलिए इसे अक्सर "अनुक्रम भाषा" कहा जाता है। दूसरी परिभाषा को "\ (\ varepsilon - \ delta \)" कहा जाता है। परिभाषा।
किसी फ़ंक्शन की सीमा की ये दो परिभाषाएं समतुल्य हैं और आप उनमें से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं, जिसके आधार पर किसी विशेष समस्या को हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक है।

ध्यान दें कि "अनुक्रमों की भाषा में" फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को हाइन के अनुसार फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा भी कहा जाता है, और फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा "भाषा में \ (\ varepsilon - \ डेल्टा \)" को कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा कहा जाता है।

x-> x 0 - और x-> x 0 + . पर फलन की सीमा

निम्नलिखित में, हम एकतरफा फ़ंक्शन सीमाओं की अवधारणा का उपयोग करेंगे, जिन्हें निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

परिभाषासंख्या A को बिंदु x 0 पर फलन f (x) की दायां (बाएं) सीमा कहा जाता है, यदि किसी अनुक्रम (1) के लिए x 0 में अभिसरण किया जाता है, जिसके अवयव xn अधिक (कम) x 0 हैं, तो संगत अनुक्रम ( 2) ए में परिवर्तित हो जाता है।

यह प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार लिखा गया है:
$$ \ lim_ (x \ से x_0 +) f (x) = A \; \ बाएँ (\ lim_ (x \ से x_0-) f (x) = A \ दाएँ) $$

आप "भाषा \ (\ varepsilon - \ delta \)" में फ़ंक्शन की एक-तरफ़ा सीमाओं की एक समान परिभाषा दे सकते हैं:

परिभाषासंख्या ए को बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f (x) की दाहिनी (बाएं) सीमा कहा जाता है यदि किसी \ (\ varepsilon> 0 \) के लिए \ (\ delta> 0 \) मौजूद है जैसे कि सभी x संतोषजनक असमानताएँ \ (x_0 प्रतीकात्मक प्रविष्टियाँ:

\ ((\ forall \ varepsilon> 0) (\ मौजूद \ डेल्टा> 0) (\ forall x, \; x_0

प्रकार