वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता।

डार्बौक्स का प्रमेय . एकरसता का अंतराल.

महत्वपूर्ण बिंदु . चरम (न्यूनतम, अधिकतम)।

फ़ंक्शन अध्ययन डिज़ाइन.

किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता के बीच संबंध। यदि फ़ंक्शन f(एक्स)किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो उस बिंदु पर यह सतत है। इसका विपरीत सत्य नहीं है: सतत कार्यकोई व्युत्पन्न नहीं हो सकता.

चित्रण। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन बंद हो जाता है, तो इस बिंदु पर इसका कोई व्युत्पन्न नहीं है।

किसी फ़ंक्शन की एकरसता के पर्याप्त संकेत।

यदि एफ’(एक्स) > 0 अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर (ए, बी), फिर फ़ंक्शन एफ (एक्स)इस अंतराल में वृद्धि होती है।

यदि एफ’(एक्स) < 0 अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर (ए, बी) , फिर फ़ंक्शन एफ(एक्स)कम हो जाती है इस अंतराल पर.

डार्बौक्स का प्रमेय. वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 हैया अस्तित्व में नहीं है, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अंतरालों में विभाजित करें जिसके भीतर व्युत्पन्न अपना चिह्न बरकरार रखता है।

इन अंतरालों का उपयोग करके हम पा सकते हैं एकरसता के अंतरालकार्य, जो उनका अध्ययन करते समय बहुत महत्वपूर्ण है।

नतीजतन, फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है (- , 0) और (1, + ) और अंतराल पर घटता है ( 0, 1). डॉट एक्स= 0 फ़ंक्शन के परिभाषा डोमेन में शामिल नहीं है, लेकिन जैसे-जैसे हम करीब आते हैंएक्स k0 पद एक्स - 2 अनिश्चित काल तक बढ़ता है, इसलिए फलन भी अनिश्चित काल तक बढ़ता है। बिंदु परएक्स= 1 फ़ंक्शन का मान 3 है। इस विश्लेषण के अनुसार हम पोस्ट कर सकते हैंफ़ंक्शन को ग्राफ़ करें (चित्र.4 बी ) .

महत्वपूर्ण बिंदु. फ़ंक्शन डोमेन के आंतरिक बिंदु,जिसमें व्युत्पन्न के बराबर हैशून्य या अस्तित्व में नहीं है, कहा जाता है गंभीर डॉट्सयह फ़ंक्शन. किसी फ़ंक्शन का विश्लेषण करते समय और उसका ग्राफ़ बनाते समय ये बिंदु बहुत महत्वपूर्ण होते हैं, क्योंकि केवल इन्हीं बिंदुओं पर कोई फ़ंक्शन हो सकता है चरम (न्यूनतम या अधिकतम , चित्र.5 ए,बी).

बिंदुओं पर एक्स 1 , एक्स 2 (चित्र 5 ए) और एक्स 3 (चित्र 5 बी) व्युत्पन्न 0 है; बिंदुओं पर एक्स 1 , एक्स 2 (चित्र 5 बी) व्युत्पन्न मौजूद नहीं है. लेकिन वे सभी चरम बिंदु हैं।

चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त. अगर एक्स 0 - फ़ंक्शन का चरम बिंदुएफ(एक्स) और व्युत्पन्न f' इस बिंदु पर मौजूद है, फिर f'(एक्स 0)= 0.

यह प्रमेय है ज़रूरीचरम स्थिति. यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 है,इसका मतलब यह नहीं है इस बिंदु पर फ़ंक्शन का चरम है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएफ (एक्स) = एक्स 3 पर 0 के बराबर है एक्स= 0, लेकिन इस फ़ंक्शन का इस बिंदु पर कोई चरम नहीं है (चित्र 6)।

दूसरी ओर, समारोहय = | एक्स| , चित्र 3 में प्रस्तुत, बिंदु पर न्यूनतम हैएक्स= 0, लेकिन इस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

चरम सीमा के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ।

यदि बिंदु x से गुजरते समय व्युत्पन्न 0 फिर, अपना चिह्न प्लस से माइनस में बदल देता हैएक्स 0 - अधिकतम बिंदु.

यदि बिंदु x से गुजरते समय व्युत्पन्न 0 इसके चिन्ह को माइनस से प्लस में बदलता है, फिर x में 0 - न्यूनतम बिंदु.

फ़ंक्शन अध्ययन डिज़ाइन. किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए आपको चाहिए:

1) फ़ंक्शन की परिभाषा और मानों की सीमा का डोमेन ढूंढें,

2) निर्धारित करें कि फलन सम है या विषम,

3) निर्धारित करें कि फ़ंक्शन आवधिक है या नहीं,

4) फ़ंक्शन के शून्य और उसके मान ज्ञात करेंएक्स = 0,

5) अचर चिह्न के अंतराल ज्ञात करें,

6) एकरसता के अंतराल खोजें,

7) इन बिंदुओं पर चरम बिंदु और फ़ंक्शन मान खोजें,

8) "एकवचन" बिंदुओं के पास फ़ंक्शन के व्यवहार का विश्लेषण करें

और जब बड़े मूल्यमॉड्यूलएक्स .

उदाहरण सुविधा का अन्वेषण करेंएफ(एक्स) = एक्स 3 + 2 एक्स 2 - एक्स- 2 और एक ग्राफ बनाएं.

समाधान आइए उपरोक्त योजना के अनुसार फ़ंक्शन का अध्ययन करें।

1) परिभाषा का क्षेत्रएक्सआर (एक्स– कोई वास्तविकसंख्या);

मूल्यों की सीमायआर , क्योंकि एफ (एक्स) – विषम बहुपद

डिग्री;

2) कार्य एफ (एक्स) न तो सम है और न ही विषम है

(कृपया समझाएँ);

3) एफ (एक्स) एक गैर-आवधिक कार्य है (इसे स्वयं सिद्ध करें);

4) फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को प्रतिच्छेद करता हैवाईबिंदु (0, - 2) पर,

क्योंकि एफ (0) = - 2 ; आपके लिए आवश्यक फ़ंक्शन के शून्य खोजने के लिए

प्रश्न हल करें:एक्स 3 + 2 एक्स 2 - एक्स - 2 = 0, जड़ों में से एक

कौन ( एक्स= 1) स्पष्ट है. अन्य जड़ें हैं

(यदि वे मौजूद हैं! ) द्विघात समीकरण को हल करने से:

एक्स 2 + 3 एक्स+2 = 0, जो बहुपद को विभाजित करने पर प्राप्त होता है

एक्स 3 + 2 एक्स 2 - एक्स- 2 प्रति द्विपद ( एक्स– 1). जांचना आसान है

अन्य दो जड़ें क्या हैं:एक्स 2=-2 और एक्स 3 = - 1. इस प्रकार,

फ़ंक्शन के शून्य हैं: - 2, - 1 और 1.

5) इसका मतलब यह है कि संख्या अक्ष को इन मूलों द्वारा विभाजित किया जाता है

संकेत की स्थिरता के चार अंतराल, जिसके भीतर

फ़ंक्शन अपना चिह्न बरकरार रखता है:

यह परिणाम विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है

कारकों में बहुपद:

एक्स 3 + 2 एक्स 2 - एक्स - 2 = (एक्स + 2) (एक्स + 1 (एक्स – 1)

और कार्य के लक्षण का आकलन .

6) व्युत्पन्न एफ' (एक्स) = 3 एक्स 2 + 4 एक्स- 1 पर कोई अंक नहीं है

इसका अस्तित्व नहीं है, इसलिए इसकी परिभाषा का क्षेत्र हैआर (सभी

वास्तविक संख्या); शून्यएफ' (एक्स) समीकरण की जड़ें हैं:

3 एक्स 2 + 4 एक्स- 1 = 0 .

प्राप्त परिणामों को तालिका में संक्षेपित किया गया है:

किसी फ़ंक्शन का उसके व्युत्पन्न का उपयोग करके अध्ययन करना। इस लेख में हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अध्ययन से संबंधित कुछ कार्यों का विश्लेषण करेंगे। ऐसी समस्याओं में, फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ दिया जाता है और उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करने से संबंधित प्रश्न उठाए जाते हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक (या नकारात्मक) होता है, साथ ही अन्य भी। इन्हें कार्यों के अध्ययन में डेरिवेटिव लागू करने के कार्यों के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

ऐसी समस्याओं को हल करना, और सामान्य तौर पर अनुसंधान से संबंधित समस्याओं को हल करना, कार्यों और व्युत्पन्न के ग्राफ का अध्ययन करने के लिए व्युत्पन्न के गुणों की पूरी समझ के साथ ही संभव है। इसलिए, मैं दृढ़तापूर्वक अनुशंसा करता हूं कि आप प्रासंगिक सिद्धांत का अध्ययन करें। आप अध्ययन भी कर सकते हैं और देख भी सकते हैं (लेकिन इसमें संक्षिप्त सारांश होता है)।

हम उन समस्याओं पर भी विचार करेंगे जहां भविष्य के लेखों में व्युत्पन्न ग्राफ़ दिया गया है, इसे देखने से न चूकें! तो, कार्य:

चित्र अंतराल (−6; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। परिभाषित करना:

1. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है;

2. उन बिंदुओं की संख्या जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 2 के समानांतर है;

1. किसी फलन का व्युत्पन्न उन अंतरालों पर ऋणात्मक होता है जिन पर फलन घटता है, अर्थात् अंतरालों (−6; -3), (0; 4.2), (6.9; 8) पर। उनमें पूर्णांक बिंदु −5, −4, 1, 2, 3, 4, और 7 हैं। हमें 7 अंक मिलते हैं।

2. प्रत्यक्ष य= 2 अक्ष के समानांतरओहय= 2 केवल चरम बिंदुओं पर (उन बिंदुओं पर जहां ग्राफ़ अपने व्यवहार को बढ़ने से घटने या इसके विपरीत बदलता है)। ऐसे चार बिंदु हैं:-3; 0; 4.2; 6.9

अपने लिए तय करें:

उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है।

चित्र अंतराल (−5; 5) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। परिभाषित करना:

2. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 3 के समानांतर है;

3. उन बिंदुओं की संख्या जिन पर व्युत्पन्न शून्य है;

1. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के गुणों से यह ज्ञात होता है कि यह उन अंतरालों पर सकारात्मक है जिन पर फ़ंक्शन बढ़ता है, अर्थात अंतरालों (1.4; 2.5) और (4.4; 5) पर। उनमें केवल एक पूर्णांक बिंदु x = 2 है।

2. प्रत्यक्ष य= 3 अक्ष के समानांतरओह. स्पर्शरेखा रेखा के समानांतर होगीय= 3 केवल चरम बिंदुओं पर (उन बिंदुओं पर जहां ग्राफ़ अपने व्यवहार को बढ़ने से घटने या इसके विपरीत बदलता है)।

ऐसे चार बिंदु हैं: -4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. व्युत्पन्न शून्य है चार अंक(चरम बिंदु पर), हम पहले ही उनका संकेत दे चुके हैं।

अपने लिए तय करें:

उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न ऋणात्मक है।

यह चित्र अंतराल (−2; 12) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। खोजो:

1. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है;

2. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है;

3. पूर्णांक बिंदुओं की संख्या जिस पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 2 के समानांतर है;

4. उन बिंदुओं की संख्या जिन पर व्युत्पन्न शून्य है।

1. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के गुणों से यह ज्ञात होता है कि यह उन अंतरालों पर सकारात्मक होता है जिन पर फ़ंक्शन बढ़ता है, अर्थात अंतराल (-2; 1), (2; 4), (7; 9) और ( 10; 11). उनमें पूर्णांक बिंदु हैं: -1, 0, 3, 8. ये कुल मिलाकर चार हैं।

2. किसी फलन का व्युत्पन्न उन अंतरालों पर ऋणात्मक होता है जिन पर फलन घटता है, अर्थात् अंतरालों (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12) पर। उनमें पूर्णांक अंक 5 और 6 हैं। हमें 2 अंक मिलते हैं।

3. प्रत्यक्ष य= 2 अक्ष के समानांतरओह. स्पर्शरेखा रेखा के समानांतर होगीय= 2 केवल चरम बिंदुओं पर (उन बिंदुओं पर जहां ग्राफ़ अपने व्यवहार को बढ़ने से घटने या इसके विपरीत बदलता है)। ऐसे सात बिंदु हैं: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11।

4. व्युत्पन्न सात बिंदुओं (चरम बिंदुओं पर) पर शून्य के बराबर है, हम उन्हें पहले ही इंगित कर चुके हैं।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कठिन विषयों में से एक है स्कूल के पाठ्यक्रम. प्रत्येक स्नातक इस प्रश्न का उत्तर नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।

यह लेख सरल और स्पष्ट तरीके से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रेजेंटेशन में गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात इसका अर्थ समझना है।

आइए परिभाषा याद रखें:

व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

यह चित्र तीन कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है। आपके अनुसार इनमें से कौन तेजी से बढ़ रहा है?

उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की दर सबसे अधिक है, यानी सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।

यहाँ एक और उदाहरण है.

कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:

ग्राफ़ सब कुछ एक ही बार में दिखाता है, है ना? कोस्त्या की आय छह महीने में दोगुनी से अधिक हो गई। और ग्रिशा की आय भी बढ़ी, लेकिन थोड़ी सी। और मैटवे की आय शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियाँ समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर समान है यौगिक, - अलग। जहां तक ​​मैटवे का सवाल है, उनका आय व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक है।

सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम यह कैसे करें?

हम वास्तव में यह देख रहे हैं कि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के बदलने पर y कितनी तेजी से बदलता है? जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही कार्य हो सकता है अलग अर्थव्युत्पन्न - अर्थात यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न दर्शाया गया है।

हम आपको दिखाएंगे कि ग्राफ़ का उपयोग करके इसे कैसे खोजा जाए।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ खींचा गया है. आइए एक बिंदु लें जिस पर भुज है। आइए इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम यह अनुमान लगाना चाहते हैं कि फ़ंक्शन ग्राफ़ कितनी तेज़ी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक सुविधाजनक मूल्य है स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा.

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींचे गए स्पर्शरेखा कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

कृपया ध्यान दें कि स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच के कोण को लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसका इस अनुभाग में ग्राफ़ के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु है, और जैसा कि हमारे चित्र में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्शरेखा की तरह दिखता है।

आइए इसे खोजें. हमें याद है कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर होती है। त्रिभुज से:

हमने फ़ंक्शन का सूत्र जाने बिना ही ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में संख्या के अंतर्गत ऐसी समस्याएँ अक्सर पाई जाती हैं।

एक और महत्वपूर्ण रिश्ता है. याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

.

हमें वह मिल गया

आइए इस सूत्र को याद रखें. यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फ़ंक्शन के अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग व्युत्पन्न हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।

आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस कार्य को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें और अन्य में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन में अधिकतम और न्यूनतम अंक होने दें।

एक बिंदु पर कार्य बढ़ जाता है। बिंदु पर खींचे गए ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बनती है तीव्र कोण; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ. इसका मतलब है कि बिंदु पर व्युत्पन्न सकारात्मक है।

इस बिंदु पर हमारा कार्य कम हो जाता है। इस बिंदु पर स्पर्श रेखा एक अधिक कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ. चूँकि अधिक कोण की स्पर्शरेखा ऋणात्मक होती है, बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।

यहाँ क्या होता है:

यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो उसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि बिंदुओं (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शज्या शून्य के बराबर, और व्युत्पन्न भी शून्य है.

बिंदु - अधिकतम बिंदु. इस बिंदु पर, फ़ंक्शन में वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का चिह्न बिंदु पर "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य है, लेकिन इसका चिह्न "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न का उपयोग करके, हम किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में वह सब कुछ पता लगा सकते हैं जिसमें हमारी रुचि है।

यदि व्युत्पन्न धनात्मक है, तो फलन बढ़ जाता है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट जाता है।

अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य होता है और चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है।

न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और चिह्न "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

आइए इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखें:

	बढ़ता है	अधिकतम बिंदु	कम हो जाती है	न्यूनतम बिंदु	बढ़ता है
+	0	-	0	+

आइए दो छोटे स्पष्टीकरण दें। समस्या का समाधान करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। दूसरा - पहले वर्ष में, फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

यह संभव है कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम। यह तथाकथित है :

एक बिंदु पर, ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्षैतिज है और व्युत्पन्न शून्य है। हालाँकि, बिंदु से पहले कार्य बढ़ता गया - और बिंदु के बाद यह बढ़ता ही जाता है। व्युत्पन्न का चिह्न नहीं बदलता - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक रहता है।

ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ़ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव होता है।

यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा नहीं, बल्कि सूत्र द्वारा दिया गया है तो व्युत्पन्न कैसे खोजें? इस मामले में यह लागू होता है

प्रवेश के स्तर पर

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

आइए एक पहाड़ी क्षेत्र से होकर गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर-नीचे तो जाता है, लेकिन दाएं-बाएं नहीं मुड़ता। यदि अक्ष को सड़क के साथ क्षैतिज और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर फ़ंक्शन के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है; जीवन में हम समुद्र तल का उपयोग इसके रूप में करते हैं।

जैसे-जैसे हम ऐसी सड़क पर आगे बढ़ते हैं, हम ऊपर या नीचे भी बढ़ते हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (एब्सिस्सा अक्ष के साथ गति), तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ गति)। आइए अब सोचें कि हमारी सड़क की "खड़ीपन" का निर्धारण कैसे किया जाए? यह किस प्रकार का मूल्य हो सकता है? यह बहुत सरल है: एक निश्चित दूरी आगे बढ़ने पर ऊँचाई कितनी बदल जाएगी। आख़िरकार, पर विभिन्न क्षेत्रसड़कें, एक किलोमीटर आगे (एक्स-अक्ष के साथ) आगे बढ़ने पर, हम समुद्र तल (वाई-अक्ष के साथ) के सापेक्ष अलग-अलग मीटर की संख्या में बढ़ेंगे या गिरेंगे।

आइए प्रगति को निरूपित करें ("डेल्टा x" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) का प्रयोग आमतौर पर गणित में उपसर्ग के रूप में किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। अर्थात्, यह मात्रा में परिवर्तन है, - परिवर्तन; ओर भला क्या? यह सही है, परिमाण में परिवर्तन।

महत्वपूर्ण: एक अभिव्यक्ति एक संपूर्ण, एक चर है। कभी भी "डेल्टा" को "x" या किसी अन्य अक्षर से अलग न करें!

यानी, उदाहरण के लिए, .

तो, हम क्षैतिज रूप से, आगे बढ़ गए हैं। यदि हम सड़क की रेखा की तुलना फ़ंक्शन के ग्राफ़ से करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे दर्शाते हैं? निश्चित रूप से, । अर्थात जैसे-जैसे हम आगे बढ़ते हैं, हम ऊंचे उठते जाते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हमने खुद को ऊंचाई पर पाया, तो। यदि अंतिम बिंदु प्रारंभ बिंदु से कम है, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम आरोही नहीं हैं, बल्कि अवरोही हैं।

आइए "खड़ीपन" पर लौटें: यह एक मान है जो दर्शाता है कि दूरी की एक इकाई आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तेज) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि सड़क के किसी हिस्से पर एक किलोमीटर आगे बढ़ने पर सड़क एक किलोमीटर ऊपर उठ जाती है। तब इस स्थान पर ढलान बराबर होती है। और यदि सड़क मी से आगे बढ़ते समय किमी से नीचे चली जाए तो? तब ढलान बराबर है.

आइए अब एक पहाड़ी की चोटी को देखें। यदि आप खंड की शुरुआत शिखर से आधा किलोमीटर पहले और अंत आधा किलोमीटर बाद लेते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

अर्थात् हमारे तर्क के अनुसार यह पता चलता है कि यहाँ ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सत्य नहीं है। कुछ ही किलोमीटर की दूरी पर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक आकलन के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर आगे बढ़ने पर ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उसे पार कर सकते हैं। तो फिर हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? थोड़ा ही काफी है! मेंवास्तविक जीवन निकटतम मिलीमीटर तक दूरियाँ मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, इस अवधारणा का आविष्कार किया गया थाबहुत छोता , अर्थात्, निरपेक्ष मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरबवां! कितना कम? और आप इस संख्या को विभाजित करें - और यह और भी कम होगी। और इसी तरह। यदि हम यह लिखना चाहते हैं कि कोई मात्रा अतिसूक्ष्म है, तो हम इस प्रकार लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है")। इसे समझना बहुत जरूरी हैकि यह संख्या शून्य नहीं है!

इनफिनिटिमल के विपरीत अवधारणा अपरिमित रूप से बड़ी है ()। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे तो संभवत: आपको इसका सामना पहले ही हो चुका होगा: यह संख्या आपके द्वारा सोची जा सकने वाली किसी भी संख्या से कहीं अधिक है। यदि आपको सबसे बड़ी संख्या मिलती है, तो बस उसे दो से गुणा करें और आपको और भी बड़ी संख्या प्राप्त होगी। और अनंत जो घटित होता है उससे भी बड़ा है। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के विपरीत हैं, यानी, और इसके विपरीत: पर।

अब चलिए अपनी सड़क पर वापस आते हैं। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक अत्यंत छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि अतिसूक्ष्म विस्थापन के साथ ऊंचाई में परिवर्तन भी अतिसूक्ष्म होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि अतिसूक्ष्म का मतलब शून्य के बराबर नहीं है। यदि आप अनंत संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप एक पूरी तरह से सामान्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। अर्थात्, एक छोटा मान दूसरे से बिल्कुल गुना बड़ा हो सकता है।

यह सब किस लिए है? सड़क, ढलान... हम कार रैली में नहीं जा रहे हैं, बल्कि हम गणित पढ़ा रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, केवल अलग-अलग कहा जाता है।

व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क की अनंत वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात है।

संवर्द्धितगणित में वे परिवर्तन कहते हैं। धुरी के साथ चलते समय तर्क () जिस सीमा तक बदलता है, उसे कहा जाता है तर्क वृद्धिऔर निर्दिष्ट किया जाता है। अक्ष के अनुदिश दूरी तक आगे बढ़ने पर फलन (ऊंचाई) में कितना परिवर्तन हुआ है, इसे कहते हैं कार्य वृद्धिऔर नामित किया गया है.

तो, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कब का अनुपात है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल शीर्ष दाईं ओर एक अभाज्य के साथ: या बस। तो, आइए इन नोटेशनों का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के अनुरूप है, यहां जब फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह नकारात्मक होता है।

क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो सकता है? निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। और यह सच है, ऊँचाई बिल्कुल नहीं बदलती। तो यह व्युत्पन्न के साथ है: एक स्थिर फ़ंक्शन (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूँकि ऐसे फ़ंक्शन की वृद्धि किसी के लिए शून्य के बराबर है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण याद रखें। यह पता चला कि खंड के सिरों को साथ में व्यवस्थित करना संभव था अलग-अलग पक्षऊपर से, ताकि सिरों पर ऊंचाई समान हो, यानी खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े खंड गलत माप का संकेत हैं। हम अपने खण्ड को समानान्तर ऊपर उठायेंगे तो उसकी लम्बाई कम हो जायेगी।

अंततः, जब हम शीर्ष के असीम रूप से करीब होंगे, तो खंड की लंबाई अनंत हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह अक्ष के समानांतर रहा, यानी इसके सिरों पर ऊंचाई का अंतर शून्य के बराबर है (यह प्रवृत्ति नहीं करता है, लेकिन बराबर है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस तरह समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर यह घटता है। जैसा कि हमने पहले पाया, जब कोई फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह नकारात्मक होता है। लेकिन यह बिना किसी छलांग के आसानी से बदलता है (क्योंकि सड़क कहीं भी अपनी ढलान को तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और के बीच सकारात्मक मूल्यजरूर होना चाहिए. यह वह जगह होगी जहां फ़ंक्शन न तो बढ़ता है और न ही घटता है - शीर्ष बिंदु पर।

गर्त के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहां बाईं ओर का कार्य घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वेतन वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को परिमाण में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? अब यह (तर्क) क्या हो गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं और अब हम उससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें. इसमें फ़ंक्शन का मान बराबर होता है. फिर हम वही वृद्धि करते हैं: हम समन्वय को बढ़ाते हैं। अब क्या है तर्क? बहुत आसान: . अब फ़ंक्शन का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, वहां फ़ंक्शन भी जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिससे फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. उस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें जब तर्क की वृद्धि बराबर हो।
2. यही बात एक बिंदु पर फ़ंक्शन के लिए भी लागू होती है।

समाधान:

समान तर्क वृद्धि के साथ विभिन्न बिंदुओं पर, फ़ंक्शन वृद्धि भिन्न होगी। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न अलग है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम कोई व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें यह अवश्य बताना चाहिए कि किस बिंदु पर:

शक्ति समारोह.

पावर फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जहां तर्क कुछ हद तक (तार्किक, सही?) होता है।

इसके अलावा - किसी भी हद तक: .

सबसे सरल मामला तब होता है जब घातांक है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। आइए व्युत्पन्न की परिभाषा को याद करें:

तो तर्क से बदल जाता है. फ़ंक्शन की वृद्धि क्या है?

वेतन वृद्धि यह है. लेकिन किसी भी बिंदु पर एक फ़ंक्शन अपने तर्क के बराबर होता है। इसीलिए:

व्युत्पन्न इसके बराबर है:

का व्युत्पन्न इसके बराबर है:

ख) अब विचार करें द्विघात कार्य (): .

अब आइए इसे याद करें. इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य को नजरअंदाज किया जा सकता है, क्योंकि यह असीम है, और इसलिए अन्य पद की पृष्ठभूमि के मुकाबले महत्वहीन है:

तो, हम एक और नियम लेकर आए:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं:।

इस अभिव्यक्ति को अलग-अलग तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके पहला ब्रैकेट खोलें, या क्यूब्स के अंतर सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण अभिव्यक्ति का गुणनखंड करें। सुझाए गए किसी भी तरीके का उपयोग करके इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और फिर से उसे याद करते हैं. इसका मतलब यह है कि हम इसमें शामिल सभी शर्तों की उपेक्षा कर सकते हैं:

हम पाते हैं: ।

घ) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाना घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, यहां तक ​​कि एक पूर्णांक भी नहीं:

(2)

नियम को इन शब्दों में तैयार किया जा सकता है: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर कम किया जाता है।"

हम इस नियम को बाद में (लगभग बिल्कुल अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें. कार्यों का व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. . विश्वास करें या न करें, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके पास "यह कैसा है?" जैसे प्रश्न हैं। डिग्री कहाँ है?”, विषय “” याद रखें!
   हाँ, हाँ, मूल भी एक डिग्री है, केवल भिन्नात्मक:।
   तो हमारा वर्गमूल- यह सिर्फ एक संकेतक के साथ एक डिग्री है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश करते हैं:

   यदि इस बिंदु पर यह फिर से अस्पष्ट हो जाता है, तो विषय को दोहराएं ""!!! (एक नकारात्मक घातांक वाली डिग्री के बारे में)

2. . अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम इस शब्द की उपेक्षा करते हैं:
   .

3. . पिछले मामलों का संयोजन: .

त्रिकोणमितीय कार्य।

यहां हम उच्च गणित से एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

अभिव्यक्ति के साथ.

आप संस्थान के पहले वर्ष में प्रमाण सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको एकीकृत राज्य परीक्षा अच्छी तरह से उत्तीर्ण करनी होगी)। अब मैं इसे ग्राफ़िक रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - तो ग्राफ़ पर बिंदु काट दिया जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब होगा, फ़ंक्शन उतना ही करीब होगा। यही "लक्ष्य" है।

इसके अतिरिक्त, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके इस नियम की जांच कर सकते हैं। हाँ, हाँ, शरमाओ मत, कैलकुलेटर ले लो, हम अभी तक एकीकृत राज्य परीक्षा में नहीं हैं।

तो, आइए कोशिश करें: ;

अपने कैलकुलेटर को रेडियंस मोड पर स्विच करना न भूलें!

वगैरह। हम देखते हैं कि अनुपात का मान जितना छोटा होगा, अनुपात का मान उतना ही करीब होगा।

ए) फ़ंक्शन पर विचार करें. हमेशा की तरह, आइए इसकी वृद्धि ज्ञात करें:

आइए साइन के अंतर को एक उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें): .

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर अतिसूक्ष्म के लिए यह अतिसूक्ष्म भी है: . के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम उसे अभिव्यक्ति के साथ याद करते हैं। और साथ ही, क्या होगा यदि योग में एक अतिसूक्ष्म मात्रा की उपेक्षा की जा सकती है (अर्थात, पर)।

तो, हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है:

ये बुनियादी ("सारणीबद्ध") व्युत्पन्न हैं। यहां वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनका उपयोग सबसे अधिक बार किया जाता है।

अभ्यास:

1. किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें;
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

1. सबसे पहले, आइए व्युत्पन्न खोजें सामान्य रूप से देखें, और फिर उसका मान प्रतिस्थापित करें:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास कुछ ऐसा ही है शक्ति समारोह. आइए उसे लाने का प्रयास करें
   सामान्य दृश्य:
   .
   बढ़िया, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. . ईईईईईईईईईईईईईईईईईईईई...यह क्या है????

ठीक है, आप सही हैं, हम अभी तक नहीं जानते कि ऐसे डेरिवेटिव कैसे खोजें। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक.

गणित में एक फ़ंक्शन होता है जिसका किसी भी मान का व्युत्पन्न उसी समय फ़ंक्शन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातांकीय फलन है

इस फ़ंक्शन का आधार एक स्थिरांक है - यह अनंत है दशमलव, यानी एक अपरिमेय संख्या (जैसे)। इसे "यूलर संख्या" कहा जाता है, यही कारण है कि इसे एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

तो, नियम:

याद रखना बहुत आसान है.

ठीक है, आइए ज्यादा दूर न जाएं, आइए तुरंत व्युत्क्रम फलन पर विचार करें। कौन सा फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है घातांक प्रकार्य? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार संख्या है:

ऐसे लघुगणक (अर्थात, आधार वाला लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

यह किसके बराबर है? बिल्कुल।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: व्युत्पन्न परिप्रेक्ष्य से घातांकीय और प्राकृतिक लघुगणक विशिष्ट रूप से सरल कार्य हैं। किसी भी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका विश्लेषण हम बाद में, विभेदन के नियमों से गुजरने के बाद करेंगे।

विभेदीकरण के नियम

किस चीज़ के नियम? फिर से एक नया शब्द, फिर?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है.

बस इतना ही। इस प्रक्रिया को एक शब्द में आप और क्या कह सकते हैं? व्युत्पन्न नहीं... गणितज्ञ अंतर को किसी फ़ंक्शन की समान वृद्धि कहते हैं। यह शब्द लैटिन के डिफरेंशिया - अंतर से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल मिलाकर 5 नियम हैं.

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है।

यदि - कोई अचर संख्या (स्थिर), तो.

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें. इसे रहने दो, या सरल।

उदाहरण.

फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

1. एक बिंदु पर;
2. एक बिंदु पर;
3. एक बिंदु पर;
4. बिंदु पर.

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: आइए एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसकी वृद्धि ढूंढें:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि केवल घातांक ही नहीं, बल्कि किसी भी घातीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए (क्या आप अभी तक भूल गए हैं कि वह क्या है?)।

तो, कुछ संख्या कहां है.

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर कम करने का प्रयास करें:

इसके लिए हम प्रयोग करेंगे सरल नियम: . तब:

ख़ैर, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फ़ंक्शन जटिल है।

काम किया?

यहां, स्वयं जांचें:

सूत्र एक घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहता है, केवल एक कारक दिखाई देता है, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन चर नहीं।

उदाहरण:
फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह मात्र एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती अर्थात इसे और अधिक लिखा नहीं जा सकता सरल रूप में. इसलिए, हम इसे उत्तर में इसी रूप में छोड़ते हैं।

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यह यहाँ समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ एक मनमाना लघुगणक खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार तक कम करने की आवश्यकता है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

केवल अब हम इसके बजाय लिखेंगे:

हर केवल एक अचर है (एक अचर संख्या, बिना किसी चर के)। व्युत्पन्न बहुत सरलता से प्राप्त किया जाता है:

यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

"जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चापस्पर्शज्या भी नहीं है। इन फ़ंक्शंस को समझना मुश्किल हो सकता है (हालाँकि यदि आपको लघुगणक कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और आप ठीक हो जाएंगे), लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर बेल्ट की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा उसे रिबन से बांधता है। परिणाम एक समग्र वस्तु है: एक चॉकलेट बार लपेटा हुआ और रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको उल्टे क्रम में उल्टे कदम उठाने होंगे।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, हमें एक नंबर (चॉकलेट) दिया जाता है, मैं उसका कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला उसका आप वर्ग कर देते हैं (इसे रिबन से बांध देते हैं)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया पहली क्रिया के परिणाम के साथ करते हैं।

हम समान चरणों को उल्टे क्रम में आसानी से कर सकते हैं: पहले आप इसका वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोज्या ढूंढता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। महत्वपूर्ण विशेषताजटिल कार्य: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका तर्क एक अन्य फ़ंक्शन है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही बात)। .

जो क्रिया हम अंतिम बार करेंगे वही कहलाएगी "बाहरी" फ़ंक्शन, और कार्रवाई पहले की गई - तदनुसार "आंतरिक" कार्य(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूँ)।

स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों को अलग करना चर बदलने के समान है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन में

1. हम पहले कौन सा कार्य करेंगे? सबसे पहले, आइए साइन की गणना करें, और उसके बाद ही इसे घन करें। इसका मतलब यह है कि यह एक आंतरिक कार्य है, लेकिन एक बाहरी कार्य है।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   परीक्षा: .

हम वेरिएबल बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपना चॉकलेट बार निकालेंगे और व्युत्पन्न की तलाश करेंगे। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

एक अन्य उदाहरण:

तो, आइए अंततः आधिकारिक नियम बनाएं:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

यह सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों से जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक इसे काटने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकलता है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम इसमें से जड़ भी निकालते हैं, यानी हम तीसरी क्रिया करते हैं (हम चॉकलेट को एक में डालते हैं) रैपर और ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: हम अभी भी इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोज्या में, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक में। और फिर हम इसे सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। अर्थात्, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रियाएं करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

कार्रवाई जितनी देर से की जाएगी, संबंधित कार्य उतना ही अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम पहले जैसा ही है:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तरीय होता है। आइये कार्रवाई की दिशा तय करें.

1. उग्र अभिव्यक्ति. .

2. जड़. .

3. ज्या. .

4. चौकोर. .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न- तर्क की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

विभेदीकरण के नियम:

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

उत्पाद का व्युत्पन्न:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
3. हम पहले और दूसरे बिंदु के परिणामों को गुणा करते हैं।

यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं, तो किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है Δ यतर्क वृद्धि के लिए Δ एक्स:

सब कुछ साफ नजर आ रहा है. लेकिन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करें एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+3) · ई एक्सपाप एक्स. यदि आप सब कुछ परिभाषा के अनुसार करते हैं, तो गणना के कुछ पृष्ठों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।

आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि कार्यों की संपूर्ण विविधता से हम तथाकथित प्राथमिक कार्यों को अलग कर सकते हैं। ये अपेक्षाकृत सरल अभिव्यक्तियाँ हैं, जिनके व्युत्पन्नों की गणना और सारणीबद्धता लंबे समय से की गई है। ऐसे कार्यों को याद रखना काफी आसान है - उनके डेरिवेटिव के साथ।

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

प्राथमिक कार्य नीचे सूचीबद्ध सभी हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्न को हृदय से जानना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है - यही कारण है कि वे प्राथमिक हैं।

तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:

नाम	समारोह	यौगिक
स्थिर	एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर	0 (हाँ, शून्य!)
तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति	एफ(एक्स) = एक्स एन	एन · एक्स एन − 1
साइनस	एफ(एक्स) = पाप एक्स	ओल एक्स
कोज्या	एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स	−पाप एक्स(शून्य से साइन)
स्पर्शरेखा	एफ(एक्स) = टीजी एक्स	1/cos 2 एक्स
कोटैंजेंट	एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स	− 1/पाप 2 एक्स
प्राकृतिक	एफ(एक्स) = लॉग एक्स	1/एक्स
मनमाना लघुगणक	एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स	1/(एक्सएल.एन ए)
घातांक प्रकार्य	एफ(एक्स) = ई एक्स	ई एक्स(कुछ नहीं बदला है)

यदि किसी प्राथमिक फ़ंक्शन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना भी आसानी से की जाती है:

(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.

सामान्य तौर पर, स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए:

(2एक्स 3)' = 2 · ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .

जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक-दूसरे से जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है - और भी बहुत कुछ। इस प्रकार नए कार्य प्रकट होंगे, जो अब विशेष रूप से प्राथमिक नहीं होंगे, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार विभेदित भी होंगे। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।

योग और अंतर का व्युत्पन्न

फ़ंक्शंस दिए जाएं एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिसके व्युत्पन्न हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। फिर आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

1. (एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
2. (एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं. उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.

कड़ाई से कहें तो, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की एक अवधारणा है। इसलिए अंतर है एफ − जीयोग के रूप में पुनः लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र बचता है - योग का व्युत्पन्न।

एफ(एक्स) = एक्स 2 + पाप एक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 2 + पाप एक्स)’ = (एक्स 2)' + (पाप) एक्स)’ = 2एक्स+ क्योंकि x;

हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क करते हैं जी(एक्स). केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):

जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ क्योंकि x;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्पाद का व्युत्पन्न

गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि किसी योग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न हड़ताल">डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन भाड़ में जाओ! किसी उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:

(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’

सूत्र सरल है, लेकिन इसे अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 क्योंकि x; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स− 7) · ई एक्स .

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' क्योंकि एक्स + एक्स 3 (कोस एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (−पाप) एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)

समारोह जी(एक्स) पहला कारक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजनायह नहीं बदलता. जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला कारक जी(एक्स) एक बहुपद है और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स− 7) · ई एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)' · ई एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7)( ई एक्स)’ = (2एक्स+7) · ई एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7) · ई एक्स = ई एक्स· (2 एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · ई एक्स = एक्स(एक्स+9) · ई एक्स .

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+9) · ई एक्स .

कृपया ध्यान दें कि अंतिम चरण में व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन की जांच करने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर किया जाएगा, इसके संकेत निर्धारित किए जाएंगे, इत्यादि। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना बेहतर है।

यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) ≠ 0 जिस सेट में हमारी रुचि है, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स). ऐसे फ़ंक्शन के लिए आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:

कमज़ोर नहीं, हुह? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? इसलिए! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर में प्रारंभिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें भागफल के व्युत्पन्न के लिए केवल सूत्र की आवश्यकता होती है:

परंपरा के अनुसार, आइए अंश का गुणनखंड करें - इससे उत्तर बहुत सरल हो जाएगा:

एक जटिल फ़ंक्शन आवश्यक रूप से आधा किलोमीटर लंबा सूत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर वेरिएबल को बदलें एक्स, कहो, पर एक्स 2 + एल.एन एक्स. हो जाएगा एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) - यह एक जटिल कार्य है। इसका एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन ऊपर चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके इसे ढूंढना संभव नहीं होगा।

मुझे क्या करना चाहिए? ऐसे मामलों में, किसी जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए एक चर और सूत्र को बदलने से मदद मिलती है:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).

एक नियम के रूप में, इस सूत्र को समझने की स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, इसे विशिष्ट उदाहरणों के साथ समझाना भी बेहतर है विस्तृत विवरणहर कदम.

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = ई 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)

ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 के स्थान पर एक्स+3 आसान होगा एक्स, तो यह काम करेगा प्राथमिक कार्य एफ(एक्स) = ई एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = ई टी. हम सूत्र का उपयोग करके एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (ई टी)’ · टी ’ = ई टी · टी ’

और अब - ध्यान! हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं: टी = 2एक्स+3. हमें मिलता है:

एफ ’(एक्स) = ई टी · टी ’ = ई 2एक्स+3(2 एक्स + 3)’ = ई 2एक्स+ 3 2 = 2 ई 2एक्स + 3

अब आइए फ़ंक्शन पर नजर डालें जी(एक्स). जाहिर है इसे बदलने की जरूरत है एक्स 2 + एल.एन एक्स = टी. हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी'= (पाप टी)’ · टी' = क्योंकि टी · टी ’

उलटा प्रतिस्थापन: टी = एक्स 2 + एल.एन एक्स. तब:

जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · (2 एक्स + 1/एक्स).

इतना ही! जैसा कि देखा जा सकता है अंतिम अभिव्यक्ति, पूरी समस्या व्युत्पन्न योग की गणना करने के लिए कम हो गई थी।

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2· ई 2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स).

मैं अक्सर अपने पाठों में "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय "प्राइम" शब्द का उपयोग करता हूँ। उदाहरण के लिए, राशि से एक अभाज्य योग के बराबरआघात. क्या यह अधिक स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।

इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार व्युत्पन्न की गणना इन्हीं स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर वापस लौटें:

(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1

इस भूमिका के बारे में कम ही लोग जानते हैं एनयह एक भिन्नात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. अगर जड़ के नीचे कुछ फैंसी हो तो क्या होगा? फिर, परिणाम एक जटिल कार्य होगा - वे परीक्षणों और परीक्षाओं में ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं।

काम। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

सबसे पहले, आइए मूल को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक घात के रूप में फिर से लिखें:

एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .

अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न पाते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' · टी' = 0.5 · टी−0.5 · टी ’.

आइए उलटा प्रतिस्थापन करें: टी = एक्स 2 + 8एक्स− 7. हमारे पास है:

एफ ’(एक्स) = 0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7) −0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7)' = 0.5 (2 एक्स+8)( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .

अंत में, जड़ों की ओर वापस जाएँ: