भिन्नों के साथ अपरिमेय समीकरणों को हल करना। अपरिमेय समीकरण और उन्हें हल करने की विधियाँ

एक अपरिमेय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें मूल चिन्ह के नीचे एक फ़ंक्शन होता है। उदाहरण के लिए:

ऐसे समीकरण हमेशा 3 चरणों में हल किए जाते हैं:

1. जड़ को अलग करो. दूसरे शब्दों में, यदि समान चिह्न के बाईं ओर, मूल के अलावा, अन्य संख्याएँ या फ़ंक्शन हैं, तो चिह्न को बदलते हुए, इन सभी को दाईं ओर ले जाना होगा। इस मामले में, केवल मूलांक बाईं ओर रहना चाहिए - बिना किसी गुणांक के।
2. 2. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें। साथ ही, हमें याद है कि मूल के मानों की सीमा सभी गैर-नकारात्मक संख्याएँ हैं। इसलिए, दाईं ओर फ़ंक्शन आईआर तर्कसंगत समीकरण गैर-नकारात्मक भी होना चाहिए: g(x) ≥ 0.
3. तीसरा चरण तार्किक रूप से दूसरे से अनुसरण करता है: आपको एक जांच करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि दूसरे चरण में हमें अतिरिक्त जड़ें मिल सकती हैं। और उन्हें काटने के लिए, आपको परिणामी उम्मीदवार संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा और जांचना होगा: क्या वास्तव में सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हुई है?

एक अपरिमेय समीकरण को हल करना

आइए पाठ की शुरुआत में दिए गए हमारे अपरिमेय समीकरण को देखें। यहां जड़ पहले से ही अलग है: समान चिह्न के बाईं ओर जड़ के अलावा कुछ भी नहीं है। दोनों तरफ वर्गाकार:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

हम विवेचक के माध्यम से परिणामी द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

डी = बी 2 - 4एसी = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
एक्स 1 = 6; एक्स 2 = −2

जो कुछ बचा है वह इन संख्याओं को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना है, अर्थात। जाँच करें. लेकिन यहां भी आप अंतिम निर्णय को सरल बनाने के लिए सही काम कर सकते हैं।

समाधान को सरल कैसे बनायें

आइए सोचें: हम एक अपरिमेय समीकरण को हल करने के अंत में जाँच क्यों करते हैं? हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि जब हम अपनी जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो बराबर चिह्न के दाईं ओर एक गैर-नकारात्मक संख्या होगी। आख़िरकार, हम पहले से ही निश्चित रूप से जानते हैं कि बाईं ओर एक गैर-नकारात्मक संख्या है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार अंकगणितीय वर्गमूल (यही कारण है कि हमारे समीकरण को अपरिमेय कहा जाता है) शून्य से कम नहीं हो सकता है।

इसलिए, हमें बस यह जांचने की ज़रूरत है कि फ़ंक्शन g (x) = 5 - x, जो समान चिह्न के दाईं ओर है, गैर-नकारात्मक है:

जी(एक्स) ≥ 0

हम इस फ़ंक्शन में अपनी जड़ें प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

जी (एक्स 1) = जी (6) = 5 − 6 = −1< 0
जी (एक्स 2) = जी (−2) = 5 - (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

प्राप्त मूल्यों से यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल x 1 = 6 हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि मूल समीकरण के दाईं ओर प्रतिस्थापित करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। लेकिन मूल x 2 = −2 हमारे लिए काफी उपयुक्त है, क्योंकि:

1. यह जड़ ही समाधान है द्विघात समीकरण, दोनों पक्षों के निर्माण के परिणामस्वरूप प्राप्त हुआ अपरिमेय समीकरणएक वर्ग में.
2. मूल x 2 = −2 को प्रतिस्थापित करने पर, मूल अपरिमेय समीकरण का दाहिना पक्ष एक सकारात्मक संख्या में बदल जाता है, अर्थात। अंकगणित मूल के मानों की सीमा का उल्लंघन नहीं किया गया है।

यह संपूर्ण एल्गोरिथम है! जैसा कि आप देख सकते हैं, मूलांक वाले समीकरणों को हल करना उतना कठिन नहीं है। मुख्य बात यह है कि प्राप्त जड़ों की जांच करना न भूलें, अन्यथा अनावश्यक उत्तर प्राप्त होने की बहुत अधिक संभावना है।

वे समीकरण जिनमें मूल चिन्ह के नीचे एक चर समाहित होता है, अपरिमेय कहलाते हैं।

समाधान के तरीके तर्कहीन समीकरण, एक नियम के रूप में, एक अपरिमेय समीकरण को एक तर्कसंगत समीकरण के साथ (कुछ परिवर्तनों की सहायता से) प्रतिस्थापित करने की संभावना पर आधारित होते हैं, जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या उसका परिणाम होता है। प्रायः, समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ा दिया जाता है। इससे एक समीकरण उत्पन्न होता है जो मूल समीकरण का परिणाम है।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

1) यदि मूल सूचक है सम संख्या, तो मूल अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक होनी चाहिए; इस मामले में, मूल का मान भी गैर-नकारात्मक है (सम घातांक वाले मूल की परिभाषा);

2) यदि मूल सूचक है विषम संख्या, तो मूल अभिव्यक्ति कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है; इस मामले में, मूल का चिह्न मूल अभिव्यक्ति के चिह्न से मेल खाता है।

उदाहरण 1.प्रश्न हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें।
एक्स 2 - 3 = 1;
आइए -3 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं और समान पदों की कमी करें।
एक्स 2 = 4;
परिणामी अपूर्ण द्विघात समीकरण के दो मूल हैं -2 और 2।

आइए मूल समीकरण में चर x के मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त जड़ों की जाँच करें।
परीक्षा.
जब x 1 = -2 - सत्य:
जब x 2 = -2- सत्य।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल अपरिमेय समीकरण के दो मूल हैं -2 और 2।

उदाहरण 2.प्रश्न हल करें .

इस समीकरण को पहले उदाहरण की तरह उसी विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन हम इसे अलग तरीके से करेंगे।

आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। परिभाषा से वर्गमूलइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस समीकरण में दो शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए:

इस यूरेनियम का ODZ: x.

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

उदाहरण 3.प्रश्न हल करें =+ 2.

इस समीकरण में ODZ ढूँढना एक कठिन कार्य है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
एक्स 3 + 4एक्स - 1 - 8= एक्स 3 - 1 + 4+ 4एक्स;
=0;
एक्स 1 =1; एक्स 2 =0.
जाँच करने के बाद, हम स्थापित करते हैं कि x 2 =0 एक अतिरिक्त मूल है।
उत्तर: x 1 =1.

उदाहरण 4.समीकरण x = हल करें.

इस उदाहरण में, ODZ को ढूंढना आसान है। इस समीकरण का ODZ: x[-1;).

आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें, और परिणामस्वरूप हमें समीकरण x 2 = x + 1 प्राप्त होता है। इस समीकरण के मूल हैं:

पाई गई जड़ों को सत्यापित करना कठिन है। लेकिन, इस तथ्य के बावजूद कि दोनों जड़ें ODZ से संबंधित हैं, यह दावा करना असंभव है कि दोनों जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं। इसके परिणामस्वरूप त्रुटि होगी. में इस मामले मेंएक अपरिमेय समीकरण दो असमानताओं और एक समीकरण के संयोजन के बराबर है:

x+10 और X 0 और x 2 = x + 1, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है नकारात्मक जड़क्योंकि एक अपरिमेय समीकरण अप्रासंगिक है और इसे त्याग दिया जाना चाहिए।

उदाहरण 5.समीकरण += 7 हल करें.

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें और समान पदों को घटाएँ, पदों को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करें और दोनों पक्षों को 0.5 से गुणा करें। परिणामस्वरूप, हमें समीकरण प्राप्त होता है
= 12, (*) जो मूल का परिणाम है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का फिर से वर्ग करें। हमें समीकरण (x + 5)(20 - x) = 144 प्राप्त होता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। परिणामी समीकरण को x 2 - 15x + 44 =0 के रूप में घटाया जाता है।

इस समीकरण (मूल समीकरण का परिणाम भी) के मूल x 1 = 4, x 2 = 11 हैं। जैसा कि सत्यापन से पता चलता है, दोनों मूल मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

प्रतिनिधि. एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 11.

टिप्पणी. समीकरणों का वर्ग करते समय, छात्र अक्सर (*) जैसे समीकरणों में मूल अभिव्यक्तियों को गुणा करते हैं, यानी, समीकरण = 12 के बजाय, वे समीकरण लिखते हैं = 12. इससे त्रुटियाँ नहीं होती हैं, क्योंकि समीकरण, समीकरणों के परिणाम हैं। हालाँकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य स्थिति में, मूल अभिव्यक्तियों का ऐसा गुणन असमान समीकरण देता है।

ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, कोई पहले मूलांकों में से किसी एक को समीकरण के दाईं ओर ले जा सकता है। तब समीकरण के बायीं ओर एक मूलांक बचेगा और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर समीकरण के बायीं ओर एक परिमेय फलन प्राप्त होगा। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय इस तकनीक (रेडिकल का अलगाव) का उपयोग अक्सर किया जाता है।

उदाहरण 6. समीकरण हल करें-=3.

पहले रेडिकल को अलग करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है
=+ 3, मूल के बराबर।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, समीकरण के बराबर

4x - 5 = 3(*). यह समीकरण मूल समीकरण का परिणाम है. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके, हम समीकरण पर पहुंचते हैं
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), या

7x 2 - 13x - 2 = 0.

यह समीकरण समीकरण (*) (और इसलिए मूल समीकरण) का परिणाम है और इसकी जड़ें हैं। पहला मूल x 1 = 2 मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन दूसरा x 2 = नहीं।

उत्तर: एक्स = 2.

ध्यान दें कि यदि हम तुरंत, मूलांकों में से किसी एक को अलग किए बिना, मूल समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गित करते हैं, तो हमें बल्कि बोझिल परिवर्तन करने होंगे।

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय मूलांकों को अलग करने के अलावा अन्य विधियों का भी उपयोग किया जाता है। आइए अज्ञात को प्रतिस्थापित करने की विधि (सहायक चर पेश करने की विधि) का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

अपरिमेय समीकरणों को हल करना.

इस लेख में हम समाधान के बारे में बात करेंगे सबसे सरल अपरिमेय समीकरण.

अपरिमेय समीकरणएक समीकरण है जिसमें मूल चिन्ह के नीचे एक अज्ञात होता है।

आइए दो प्रकार देखें तर्कहीन समीकरण, जो पहली नज़र में बहुत समान हैं, लेकिन संक्षेप में एक दूसरे से बहुत अलग हैं।

(1)

(2)

पहले समीकरण में हम देखते हैं कि अज्ञात तीसरी डिग्री की जड़ के संकेत के अंतर्गत है। हम किसी ऋणात्मक संख्या का विषम मूल ले सकते हैं, इसलिए इस समीकरण में मूल चिह्न के नीचे के भाव या समीकरण के दाईं ओर के भाव पर कोई प्रतिबंध नहीं है। मूल से छुटकारा पाने के लिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी घात तक बढ़ा सकते हैं। हमें एक समतुल्य समीकरण मिलता है:

समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों को एक विषम घात तक बढ़ाने पर, हम बाहरी जड़ें प्राप्त करने से नहीं डर सकते।

उदाहरण 1. आइए समीकरण हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी घात तक बढ़ाएं। हमें एक समतुल्य समीकरण मिलता है:

आइए सभी पदों को एक तरफ ले जाएं और x को कोष्ठक से बाहर रखें:

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है:

उत्तर: (0;1;2)

आइए दूसरे समीकरण को करीब से देखें: . समीकरण के बाईं ओर वर्गमूल है, जो केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है। इसलिए, समीकरण के समाधान के लिए दाहिना पक्ष भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए। इसलिए, शर्त समीकरण के दाईं ओर लगाई गई है:

शीर्षक='g(x)>=0"> - это !} जड़ों के अस्तित्व के लिए शर्त.

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना होगा:

(3)

वर्ग करने से बाहरी जड़ें प्रकट हो सकती हैं, इसलिए हमें समीकरणों की आवश्यकता है:

शीर्षक='f(x)>=0"> (4)!}

हालाँकि, असमानता (4) शर्त (3) से अनुसरण करती है: यदि समानता के दाहिने पक्ष में कुछ अभिव्यक्ति का वर्ग होता है, और किसी भी अभिव्यक्ति का वर्ग केवल गैर-नकारात्मक मान ले सकता है, इसलिए बाईं ओर भी गैर- होना चाहिए नकारात्मक। इसलिए, स्थिति (4) स्वचालित रूप से स्थिति (3) और हमारे से अनुसरण करती है समीकरण सिस्टम के बराबर है:

शीर्षक='delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

उदाहरण 2.आइए समीकरण हल करें:

.

आइए समतुल्य प्रणाली पर चलते हैं:

शीर्षक='delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

आइए सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और जांचें कि कौन से मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं।

असमानता शीर्षक='1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

उत्तर: x=1

ध्यान!यदि हल करने की प्रक्रिया में हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, तो हमें याद रखना चाहिए कि बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इसलिए, आपको या तो एक समतुल्य प्रणाली पर आगे बढ़ना होगा, या समाधान के अंत में, एक जांच करें: जड़ों को ढूंढें और उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण 3. आइए समीकरण हल करें:

इस समीकरण को हल करने के लिए हमें दोनों पक्षों का वर्ग करना भी आवश्यक है। आइए इस समीकरण में ODZ और जड़ों के अस्तित्व की स्थिति के बारे में चिंता न करें, बल्कि समाधान के अंत में जाँच करें।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

नगर शिक्षण संस्थान

"क्यूडिनो सेकेंडरी स्कूल नंबर 2"

अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

द्वारा पूर्ण: ओल्गा एगोरोवा,

पर्यवेक्षक:

अध्यापक

अंक शास्त्र,

उच्चतम योग्यता

परिचय....……………………………………………………………………………………… 3

धारा 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ…………………………………6

1.1 भाग सी के अपरिमेय समीकरणों को हल करना………………………………21

धारा 2. व्यक्तिगत कार्य…………………………………………….....………...24

जवाब………………………………………………………………………………………….25

सन्दर्भ सूची…….…………………………………………………………………….26

परिचय

गणित की शिक्षा एक समग्र विद्यालय में प्राप्त होती है आवश्यक घटक सामान्य शिक्षाऔर सामान्य संस्कृति आधुनिक आदमी. आधुनिक मनुष्य को घेरने वाली लगभग हर चीज़ किसी न किसी तरह गणित से जुड़ी हुई है। और भौतिकी, प्रौद्योगिकी आदि में नवीनतम उपलब्धियाँ सूचान प्रौद्योगिकीइसमें कोई संदेह नहीं कि भविष्य में भी स्थिति ऐसी ही रहेगी। इसलिए, कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान समाधान तक ही सीमित रहता है विभिन्न प्रकारसमीकरण जिन्हें हल करना आपको सीखना होगा। इनमें से एक प्रकार अपरिमेय समीकरण है।

अपरिमेय समीकरण

मूल चिह्न के अंतर्गत अज्ञात (या किसी अज्ञात के लिए तर्कसंगत बीजगणितीय अभिव्यक्ति) वाले समीकरण को कहा जाता है अपरिमेय समीकरण. प्रारंभिक गणित में, अपरिमेय समीकरणों के समाधान वास्तविक संख्याओं के सेट में पाए जाते हैं।

किसी भी अपरिमेय समीकरण को प्राथमिक बीजीय संक्रियाओं (गुणा, भाग, समीकरण के दोनों पक्षों को एक पूर्णांक घात तक बढ़ाना) का उपयोग करके एक तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण में घटाया जा सकता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि परिणामी तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर नहीं हो सकता है, अर्थात्, इसमें "अतिरिक्त" जड़ें शामिल हो सकती हैं जो मूल अपरिमेय समीकरण की जड़ें नहीं होंगी। इसलिए, परिणामी तर्कसंगत की जड़ों को ढूंढना बीजगणितीय समीकरण, यह जाँचना आवश्यक है कि क्या परिमेय समीकरण के सभी मूल अपरिमेय समीकरण के मूल हैं।

सामान्य स्थिति में, किसी भी अपरिमेय समीकरण को हल करने के लिए किसी सार्वभौमिक विधि को इंगित करना मुश्किल है, क्योंकि यह वांछनीय है कि, मूल अपरिमेय समीकरण के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, परिणाम केवल कुछ तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण नहीं है, की जड़ों के बीच जिसमें दिए गए अपरिमेय समीकरण के मूल होंगे, लेकिन संभव न्यूनतम डिग्री के बहुपदों से बना एक तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण। यथासंभव छोटी डिग्री के बहुपदों से बने उस तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण को प्राप्त करने की इच्छा काफी स्वाभाविक है, क्योंकि तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण की सभी जड़ों को ढूंढना अपने आप में एक कठिन कार्य साबित हो सकता है, जिसे हम पूरी तरह से केवल हल कर सकते हैं बहुत ही सीमित संख्या में मामलों में.

अपरिमेय समीकरणों के प्रकार

सम डिग्री के अपरिमेय समीकरणों को हल करने से हमेशा विषम डिग्री के अपरिमेय समीकरणों को हल करने की तुलना में अधिक समस्याएं पैदा होती हैं। विषम डिग्री के अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, OD नहीं बदलता है। इसलिए, नीचे हम उन अपरिमेय समीकरणों पर विचार करेंगे जिनकी डिग्री सम है। अपरिमेय समीकरण दो प्रकार के होते हैं:

2..

आइए उनमें से पहले पर विचार करें।

ODZ समीकरण: एफ(एक्स)≥ 0. ODZ में, समीकरण का बायां पक्ष हमेशा गैर-नकारात्मक होता है - इसलिए, कोई समाधान तभी मौजूद हो सकता है जब जी(एक्स)≥ 0. इस मामले में, समीकरण के दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हैं, और घातांक 2 एनएक समतुल्य समीकरण देता है. हमें वह मिल गया

आइये इस बात पर ध्यान दें कि इस मामले में ODZ स्वचालित रूप से निष्पादित होता है, और आपको इसे लिखना नहीं है, बल्कि शर्त लिखनी हैजी(x) ≥ 0 की जाँच होनी चाहिए।

टिप्पणी: ये बहुत महत्वपूर्ण शर्तसमतुल्यता सबसे पहले, यह छात्र को जांच करने की आवश्यकता से मुक्त करता है, और समाधान खोजने के बाद, स्थिति f(x) ≥ 0 - मूल अभिव्यक्ति की गैर-नकारात्मकता की जांच करता है। दूसरे, यह स्थिति की जाँच पर ध्यान केंद्रित करता हैजी(x) ≥ 0 - दाहिनी ओर की गैर-नकारात्मकता। आख़िरकार, वर्ग करने के बाद समीकरण हल हो जाता है यानी, दो समीकरण एक ही बार में हल हो जाते हैं (लेकिन... अलग-अलग अंतराल परसंख्या अक्ष!):

1. - कहाँ जी(एक्स)≥ 0 और

2. - जहाँ g(x) ≤ 0.

इस बीच, ओडीजेड खोजने की स्कूली आदत से बाहर कई लोग ऐसे समीकरणों को हल करते समय बिल्कुल विपरीत कार्य करते हैं:

ए) समाधान खोजने के बाद, वे अंकगणितीय त्रुटियां करते हुए और गलत परिणाम प्राप्त करते हुए, स्थिति एफ (एक्स) ≥ 0 (जो स्वचालित रूप से संतुष्ट है) की जांच करते हैं;

बी) स्थिति पर ध्यान न देंजी(x) ≥ 0 - और फिर से उत्तर गलत हो सकता है।

टिप्पणी: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय समतुल्यता की स्थिति विशेष रूप से उपयोगी होती है, जिसमें ODZ को हल करने से संबंधित है त्रिकोणमितीय असमानताएँ, जो त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से कहीं अधिक कठिन है। चेक इन त्रिकोणमितीय समीकरणयहां तक ​​कि शर्तें भी जी(एक्स)≥ 0 करना हमेशा आसान नहीं होता है।

आइए दूसरे प्रकार के अपरिमेय समीकरणों पर विचार करें।

. आइए समीकरण दिया जाए . उनका ODZ:

ODZ में दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं, और वर्ग करने से समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है एफ(एक्स)=जी(एक्स)।इसलिए, ODZ में या

समाधान की इस पद्धति के साथ, किसी एक फ़ंक्शन की गैर-नकारात्मकता की जांच करना पर्याप्त है - आप एक सरल विकल्प चुन सकते हैं।

धारा 1. अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

1 विधि. समीकरण के दोनों पक्षों को क्रमिक रूप से बढ़ाकर रेडिकल से छुटकारा पाना प्राकृतिक डिग्री

अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि समीकरण के दोनों पक्षों को क्रमिक रूप से उचित प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाकर रेडिकल को खत्म करने की विधि है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि जब समीकरण के दोनों पक्षों को एक विषम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो परिणामी समीकरण मूल समीकरण के बराबर होता है, और जब समीकरण के दोनों पक्षों को एक सम शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो परिणामी समीकरण, आम तौर पर होगा बोलना, मूल समीकरण के समकक्ष न होना। इसे समीकरण के दोनों पक्षों को किसी भी सम घात तक बढ़ाकर आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। इस ऑपरेशन का परिणाम समीकरण है , जिसके समाधानों का सेट समाधानों के सेटों का एक संघ है: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" ऊंचाई="21 src=">. हालाँकि इस खामी के बावजूद, यह समीकरण के दोनों पक्षों को कुछ (अक्सर सम) घात तक बढ़ाने की प्रक्रिया है जो एक अपरिमेय समीकरण को तर्कसंगत समीकरण में कम करने की सबसे आम प्रक्रिया है।

प्रश्न हल करें:

कहाँ - कुछ बहुपद. वास्तविक संख्याओं के सेट में रूट निष्कर्षण ऑपरेशन की परिभाषा के कारण, अज्ञात के अनुमेय मान https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 ऊंचाई हैं =21" ऊँचाई = "21">..gif " चौड़ाई = "243" ऊँचाई = "28 src = ">।

चूँकि समीकरण 1 के दोनों पक्ष वर्गित थे, इसलिए यह पता चल सकता है कि समीकरण 2 के सभी मूल मूल समीकरण के समाधान नहीं होंगे; मूलों की जाँच करना आवश्यक है।

प्रश्न हल करें:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width=”137” ऊंचाई=”25”>

समीकरण के दोनों ओर के घन, हमें प्राप्त होते हैं

यह ध्यान में रखते हुए कि https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width=”195″ ऊंचाई=”27″>(अंतिम समीकरण की जड़ें हो सकती हैं, जो आम तौर पर बोलती हैं, की जड़ें नहीं हैं) समीकरण ).

हम इस समीकरण के दोनों पक्षों को घन करते हैं:। हम समीकरण को x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1 के रूप में फिर से लिखते हैं। जाँच करके हम स्थापित करते हैं कि x1 = 0 समीकरण (-2 ≠ 1) का एक बाह्य मूल है, और x2 = 1 मूल को संतुष्ट करता है। समीकरण.

उत्तर:एक्स = 1.

विधि 2. स्थितियों की आसन्न प्रणाली को बदलना

सम क्रम के मूलांक वाले अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उत्तरों में बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें पहचानना हमेशा आसान नहीं होता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय बाहरी जड़ों को पहचानना और त्यागना आसान बनाने के लिए, इसे तुरंत स्थितियों की एक आसन्न प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। सिस्टम में अतिरिक्त असमानताएँ वास्तव में हल किए जा रहे समीकरण के ODZ को ध्यान में रखती हैं। आप ओडीजेड को अलग से पा सकते हैं और बाद में इसे ध्यान में रख सकते हैं, लेकिन स्थितियों की मिश्रित प्रणालियों का उपयोग करना बेहतर है: समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में कुछ भूलने या इसे ध्यान में न रखने का खतरा कम होता है। इसलिए, कुछ मामलों में मिश्रित प्रणालियों में संक्रमण की विधि का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है।

प्रश्न हल करें:

उत्तर: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width=”109 ऊंचाई=27” ऊंचाई=”27”>

यह समीकरण सिस्टम के समतुल्य है

उत्तर:समीकरण का कोई हल नहीं है.

विधि 3. nवें मूल गुणों का उपयोग करना

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय nवें मूल के गुणों का उपयोग किया जाता है। अंकगणित मूल एन-वांबीच से डिग्री एकिसी गैर-नकारात्मक नंबर पर कॉल करें एन-मैं जिसकी शक्ति के बराबर है ए. अगर एन -यहां तक ​​की( 2एन), फिर a ≥ 0, अन्यथा मूल मौजूद नहीं है। अगर एन -विषम( 2 एन+1), तो a कोई है और = - ..gif" width=”45” ऊँचाई=”19”> फिर:

2.

3.

4.

5.

इनमें से किसी भी फॉर्मूले को औपचारिक रूप से (निर्दिष्ट प्रतिबंधों को ध्यान में रखे बिना) लागू करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि उनमें से प्रत्येक के बाएँ और दाएँ भागों का VA भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति को परिभाषित किया गया है च ≥ 0और जी ≥ 0, और अभिव्यक्ति ऐसी है जैसे च ≥ 0और जी ≥ 0, और साथ में च ≤ 0और जी ≤ 0.

प्रत्येक सूत्र 1-5 के लिए (निर्दिष्ट प्रतिबंधों को ध्यान में रखे बिना), इसके दाईं ओर का ODZ बाईं ओर के ODZ से अधिक चौड़ा हो सकता है। यह इस प्रकार है कि सूत्र 1-5 के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरण के परिवर्तन "बाएं से दाएं" (जैसा कि वे लिखे गए हैं) एक समीकरण की ओर ले जाते हैं जो मूल का परिणाम है। इस मामले में, मूल समीकरण की बाहरी जड़ें प्रकट हो सकती हैं, इसलिए मूल समीकरण को हल करने में सत्यापन एक अनिवार्य कदम है।

सूत्र 1-5 के औपचारिक उपयोग के साथ समीकरणों का परिवर्तन "दाएं से बाएं" अस्वीकार्य है, क्योंकि मूल समीकरण के ओडी का न्याय करना संभव है, और परिणामस्वरूप, जड़ों का नुकसान।

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width=”247” ऊंचाई=”61 src=”>,

जो मूल का परिणाम है। इस समीकरण को हल करने से समीकरणों के एक सेट को हल करना कम हो जाता है .

इस सेट के पहले समीकरण से हम https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif' width='89' ऊंचाई='27'> पाते हैं जहां से हम पाते हैं। इस प्रकार, की जड़ें यह समीकरण केवल संख्याएँ (-1) और (-2) हो सकता है। जाँच से पता चलता है कि दोनों पाए गए मूल इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उत्तर: -1,-2.

प्रश्न हल करें: ।

समाधान: सर्वसमिकाओं के आधार पर, पहले पद को से बदलें। ध्यान दें कि बाईं ओर दो गैर-नकारात्मक संख्याओं का योग है। मॉड्यूल को "हटाएं" और, समान पद लाने के बाद, समीकरण को हल करें। चूँकि, हमें समीकरण मिलता है। तब से , फिर https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width=”89” ऊंचाई=”27 src=”>.gif” width=”39” ऊंचाई=”19 src= “ >.gif" चौड़ाई = "145" ऊँचाई = "21 src = ">

उत्तर:एक्स = 4.25.

विधि 4 नये चरों का परिचय

अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक अन्य उदाहरण नए चर पेश करने की विधि है, जिसके संबंध में या तो एक सरल अपरिमेय समीकरण या एक तर्कसंगत समीकरण प्राप्त होता है।

समीकरण को उसके परिणाम से प्रतिस्थापित करके (मूलों की जाँच करके) अपरिमेय समीकरणों को हल करना निम्नानुसार किया जा सकता है:

1. मूल समीकरण का ODZ ज्ञात कीजिए।

2. समीकरण से उसके परिणाम तक जाएं.

3. परिणामी समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

4. जांचें कि क्या पाए गए मूल मूल समीकरण के मूल हैं।

जाँच इस प्रकार है:

ए) प्रत्येक पाए गए मूल की मूल समीकरण से संबद्धता की जाँच की जाती है। वे जड़ें जो ODZ से संबंधित नहीं हैं, मूल समीकरण से बाहर हैं।

बी) मूल समीकरण के ODZ में शामिल प्रत्येक मूल के लिए, यह जाँच की जाती है कि क्या मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होने वाले और सम घात तक बढ़ाए गए प्रत्येक समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में समान चिह्न हैं। वे मूल जिनके लिए किसी भी समीकरण के भागों को एक सम घात तक बढ़ाया जाता है विभिन्न संकेत, मूल समीकरण से अप्रासंगिक हैं।

सी) केवल वे मूल जो मूल समीकरण के ओडीजेड से संबंधित हैं और जिनके लिए मूल समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में उत्पन्न होने वाले प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों और एक सम घात तक उठाए गए समान चिह्नों को सीधे प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाता है। मूल समीकरण.

निर्दिष्ट सत्यापन विधि के साथ यह समाधान विधि अंतिम समीकरण की प्रत्येक पाई गई जड़ों को मूल में सीधे प्रतिस्थापित करने के मामले में बोझिल गणनाओं से बचने की अनुमति देती है।

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

.

इस समीकरण के लिए मान्य मानों का सेट है:

रखने पर, प्रतिस्थापन के बाद हमें समीकरण प्राप्त होता है

या समतुल्य समीकरण

जिसे के संबंध में एक द्विघात समीकरण माना जा सकता है। इस समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है

.

इसलिए, मूल अपरिमेय समीकरण का समाधान सेट निम्नलिखित दो समीकरणों के समाधान सेट का मिलन है:

, .

इनमें से प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को एक घन में बढ़ाने पर, हमें दो तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण प्राप्त होते हैं:

, .

इन समीकरणों को हल करने पर, हम पाते हैं कि इस अपरिमेय समीकरण का एक ही मूल x = 2 है (कोई सत्यापन आवश्यक नहीं है, क्योंकि सभी परिवर्तन समतुल्य हैं)।

उत्तर:एक्स = 2.

अपरिमेय समीकरण को हल करें:

आइए 2x2 + 5x – 2 = t को निरूपित करें। तब मूल समीकरण आकार लेगा . परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने और समान पद लाने पर, हमें एक समीकरण प्राप्त होता है जो पिछले समीकरण का परिणाम है। इससे हम पाते हैं टी=16.

अज्ञात x पर लौटने पर, हमें समीकरण 2x2 + 5x - 2 = 16 प्राप्त होता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। जाँच करके हम आश्वस्त हैं कि इसके मूल x1 = 2 और x2 = - 9/2 मूल समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 विधि. समीकरण का समान परिवर्तन

अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, आपको समीकरणों के दोनों पक्षों को प्राकृतिक घात तक बढ़ाकर समीकरण को हल करना शुरू नहीं करना चाहिए, अपरिमेय समीकरण के समाधान को तर्कसंगत बीजगणितीय समीकरण के समाधान तक कम करने का प्रयास नहीं करना चाहिए। सबसे पहले हमें यह देखना होगा कि क्या समीकरण का कुछ समान परिवर्तन करना संभव है जो इसके समाधान को काफी सरल बना सकता है।

प्रश्न हल करें:

इस समीकरण के लिए स्वीकार्य मानों का सेट: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif' width='292' ऊंचाई='45'> आइए इस समीकरण को विभाजित करें।

.

हम पाते हैं:

जब a = 0, समीकरण का कोई हल नहीं होगा; जब समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

क्योंकि इस समीकरण का कोई हल नहीं है, किसी के लिए भी नहीं एक्स, समीकरण के स्वीकार्य मूल्यों के सेट से संबंधित, समीकरण के बाईं ओर की अभिव्यक्ति सकारात्मक है;

जब समीकरण का कोई हल हो

इतने को ध्यान में रखते हुए स्वीकार्य समाधानसमीकरण स्थिति द्वारा निर्धारित होता है, हम अंततः प्राप्त करते हैं:

इस अपरिमेय समीकरण को हल करते समय, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif' width='60' ऊंचाई='19'> समीकरण का समाधान होगा। अन्य सभी मानों के लिए एक्ससमीकरण का कोई हल नहीं है.

उदाहरण 10:

अपरिमेय समीकरण को हल करें: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width=”381” ऊंचाई=”51”>

सिस्टम के द्विघात समीकरण को हल करने पर दो मूल मिलते हैं: x1 = 1 और x2 = 4. परिणामी जड़ों में से पहला सिस्टम की असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए x = 4.

टिप्पणियाँ

1) समान परिवर्तन करने से आप बिना जांचे कार्य कर सकते हैं।

2) असमानता x – 3 ≥0 को संदर्भित करती है समान परिवर्तन, और समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र में नहीं।

3) समीकरण के बाईं ओर एक घटता हुआ फलन है, और इस समीकरण के दाईं ओर एक बढ़ता हुआ फलन है। परिभाषा के अपने डोमेन के प्रतिच्छेदन पर घटते और बढ़ते कार्यों के ग्राफ़ में एक से अधिक सामान्य बिंदु नहीं हो सकते हैं। जाहिर है, हमारे मामले में x = 4 ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है।

उत्तर:एक्स = 4.

6 विधि. समीकरणों को हल करने के लिए फ़ंक्शंस के डोमेन का उपयोग करना

यह विधि समीकरणों को हल करते समय सबसे प्रभावी होती है जिसमें फ़ंक्शन शामिल होते हैं https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width='36' ऊंचाई='21 src='> और इसकी क्षेत्र परिभाषाएँ ढूँढना (एफ)..gif' width='53' ऊंचाई='21'> .gif' width='88' ऊंचाई='21 src='>, तो आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या अंतराल के अंत में समीकरण सही है, और यदि a< 0, а b >0 है, तो अंतराल पर जाँच करना आवश्यक है (ए;0)और . E(y) में सबसे छोटा पूर्णांक 3 है।