बाइनरी सिस्टम में कौन से अंक होते हैं। बाइनरी नंबर सिस्टम क्या है? बाइनरी नंबर लिखने का सामान्य रूप

नोटेशन- एक निश्चित संख्या के आधार पर संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका पीवर्ण संख्या कहलाते हैं। वर्णों की संख्या के बराबर एक संख्या पी,प्रत्येक अंक की इकाइयों की संख्या को इंगित करने के लिए प्रयोग किया जाता है आधारसंख्या प्रणाली।

सबसे आम दशमलव प्रणाली की उत्पत्ति उंगलियों की गिनती से जुड़ी है। प्राचीन बेबीलोन में मौजूद सेक्सजेसिमल प्रणाली घंटे और कोण की डिग्री को 60 मिनट और मिनट को 60 सेकंड में विभाजित करने में बनी रही। 18 वीं शताब्दी तक रूस में। अक्षर के ऊपर एक बार के साथ वर्णमाला a, b, g ... के अक्षरों पर आधारित एक दशमलव संख्या प्रणाली थी (ग्रीक अक्षरों से: अल्फा, बीटा, गामा)।

आधुनिक दशमलव प्रणाली दस अंकों पर आधारित है, जिसके शिलालेख 0, 1, 2, ..., 9 का निर्माण भारत में 5वीं शताब्दी तक हुआ था। विज्ञापन और अरबी पांडुलिपियों ("अरबी अंक") के साथ यूरोप आए। बाइनरी सिस्टम दो अंकों का उपयोग करता है: 0 और 1. हेक्साडेसिमल सिस्टम 16 वर्णों का उपयोग करता है: 0, 1, 2, ..., 29, ए, बी, सी, डी, ई, एफ।इन संख्या प्रणालियों को कहा जाता है अवस्था का, चूंकि किसी संख्या के प्रत्येक अंक का मान इस संख्या को बनाने वाली संख्याओं की श्रृंखला में उसके स्थान (स्थिति, अंक) द्वारा निर्धारित किया जाता है। स्थिति को दाएं से बाएं गिना जाता है; इसलिए, दशमलव प्रणाली में: शून्य अंक इकाई अंक है, पहला अंक दहाई अंक है, दूसरा अंक सैकड़ों अंक है, फिर हजारों, आदि।

पर गैर स्थितीयसंख्या प्रणाली, संख्या में उनका स्थान बदलने पर संख्याएँ अपना मात्रात्मक मान नहीं बदलती हैं।

उदाहरण के लिए, 1 - I, 2 - II, 5 - IIIIII।

रोमन अंक प्रणाली (I, II, III, IV, V) मिश्रित है, क्योंकि प्रत्येक अंक का मान संख्या में उसके स्थान (स्थिति) पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, IV 4 = 5-1 है और VI 6 = 5 + 1 है।

पर दशमलवप्रणाली, प्रत्येक अंक 10 में से एक मान (संख्या 0, 1, 2, ..., 9) दिखा सकता है। दशमलव प्रणाली में नौ के बाद की संख्या लिखने के लिए, बाईं ओर एक नया अंक जोड़ें और संख्या 1 को उसके स्थान पर रखें, उसके बाद शून्य और 10 प्राप्त करें, अर्थात। दस। दशमलव प्रणाली में दो अंक आपको एक सौ संख्या लिखने की अनुमति देते हैं: 0 से 99 तक, फिर आपको संख्या 100 के लिए एक नया अंक जोड़ना होगा।

दशमलव संख्या के अंक संख्या प्रणाली के आधार और अंकों की संख्या के आधार पर संख्या निर्धारित करते हैं, उदाहरण के लिए, निम्न सूत्र: 256 \u003d 2 102 + 5 101 + 6 100, जहां अंक का मान "अंक अंक" की शक्ति से 10 से गुणा किया जाता है। संख्या 256 में संख्या 2 दूसरे अंक में है और इसका अर्थ दो सौ है, इसलिए इसे 102 से गुणा किया जाता है; संख्या 5 पहले अंक में है, जिसका अर्थ है 5 दहाई और 101 से गुणा किया जाता है; संख्या 6 शून्य अंक में है और इसे 1 से गुणा किया जाता है, अर्थात। 100 से

बाइनरी नंबर सिस्टम

बाइनरी सिस्टम में, एक बिट में केवल दो मान लिखे जाते हैं: 0 या 1, और बस - बिट की संभावनाएँ समाप्त हो जाती हैं। एक द्विआधारी संख्या में दो अंक आपको चार अलग-अलग संख्याएँ लिखने की अनुमति देते हैं, और तीन अंक - आठ संख्याएँ। किसी संख्या में अंकों की संख्या को तक बढ़ाना एनअंक, बाइनरी सिस्टम में वर्णन करना संभव है 2 एक्स अलग संख्या, गिनती 2 एक्स ऑब्जेक्ट्स।

आधार के साथ संख्या प्रणाली में चलो आरलिखित चार अंकों की संख्या एक्स, वे संख्याएँ जिनमें हम नीचे एक सूचकांक के साथ संकेतों द्वारा निरूपित करते हैं α 3α 2α 1α 0. यहाँ ए 0 - शून्य अंक के लिए चिह्न (अंक), ए 1 - पहले अंक के लिए, आदि।

संख्या को व्यंजक द्वारा दर्शाया जा सकता है

एक्स = ए 3आर 3 + ए 2आर 2 + ए 1आर 1 + ए 0आर 0.

आइए दशमलव संख्या 1946 = 1 103 + 9 102 + 4 101 + 6 100 और बाइनरी 1010 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20 के अंकन की तुलना करें। वह घातांक जिसके आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए आरमूल संख्या प्रणाली, संबंधित स्थिति की संख्या के साथ मेल खाती है।

चूंकि कंप्यूटर एक द्विआधारी संख्या प्रणाली का उपयोग करता है, संख्याएं जो 2 की शक्ति के रूप में कार्य करती हैं, एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं और अक्सर उल्लेख किया जाता है, उदाहरण के लिए: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28)। आठ बाइनरी वाले 11111111 = 1 27 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 के साथ सबसे बड़ी 8-बिट संख्या दशमलव संख्या 128 + 64 + 32 + 16 + 8 के बराबर है + 4 + 2 + 1 = 255। शून्य के साथ, आपको बिल्कुल 256 पूर्णांक मिलते हैं, जो कि 28 के बराबर है।

हेक्साडेसिमलप्रणाली - आधार 16 में संख्याओं की एक प्रणाली, 0 से 9 तक की संख्याओं और लैटिन वर्णमाला के अपरकेस या लोअरकेस अक्षरों का उपयोग करके लेकिन(दशमलव 10 के बराबर) से एफ(दशमलव 15 के बराबर)। अर्थात् षोडश आधारी संख्या प्रणाली में चिह्न-अंक 0, 1, 2, 9 होते हैं। ए, बी, सी, डी, ई, एफ।बाइनरी सिस्टम में एक संख्या को चार बाइनरी अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है। एक समूह 24 = 16 संयोजन देता है। दशमलव संख्या 396 बाइनरी में 110001100 और हेक्साडेसिमल में 18C है। दशमलव, बाइनरी और हेक्साडेसिमल संख्याओं का पत्राचार तालिका में दिखाया गया है। 1.1.

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली का उपयोग कंप्यूटर रैम कोशिकाओं, रंग रंगों के पते को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है और संख्याओं की इतनी लंबी पंक्तियाँ नहीं देता है,

तालिका 1.1

संख्या मिलान: दशमलव, बाइनरी, हेक्साडेसिमल

जैसा कि बाइनरी सिस्टम देगा। कभी-कभी हेक्साडेसिमल संख्या के बाद एक अक्षर लिखा जाता है एच(हेक्सामल)। उदाहरण के लिए, 321 /g दशमलव 801 = 3162 + 2161 + 1160 से मेल खाती है, a एफसीएचदशमलव संख्या 252 = 15161 + 12160 है।

पैराग्राफ के मुख्य विषय:

♦ दशमलव और द्विआधारी संख्या प्रणाली;
♦ संख्या का विस्तारित रूप;
द्विआधारी संख्या का दशमलव प्रणाली में रूपांतरण;
दशमलव संख्याओं का बाइनरी सिस्टम में रूपांतरण;
बाइनरी अंकगणित।

यह अध्याय कंप्यूटर पर कंप्यूटिंग के संगठन पर केंद्रित है। कंप्यूटिंग संख्याओं को संग्रहीत और संसाधित करने के बारे में है।

कंप्यूटर बाइनरी सिस्टम में नंबरों के साथ काम करता है।

यह विचार जॉन वॉन न्यूमैन का है, जिन्होंने 1946 में कंप्यूटर के डिजाइन और संचालन के सिद्धांतों को तैयार किया था। आइए जानें कि संख्या प्रणाली क्या है।

दशमलव और बाइनरी नंबर सिस्टम

संख्या प्रणाली संख्या लिखने के कुछ नियमों और गणना करने के लिए संबंधित विधियों को संदर्भित करती है।

हम द्विआधारी और दशमलव संख्या प्रणालियों में रुचि लेंगे।

हम सभी जिस संख्या प्रणाली के आदी हैं, उसे दशमलव कहते हैं। यह नाम इस तथ्य से समझाया गया है कि यह दस अंकों का उपयोग करता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। अंकों की संख्या संख्या प्रणाली का आधार निर्धारित करती है। यदि अंकों की संख्या दस है, तो संख्या प्रणाली का आधार दस है। बाइनरी सिस्टम में केवल दो अंक होते हैं: 0 और 1. आधार दो होते हैं। प्रश्न यह उठता है कि क्या किसी मान को केवल दो अंकों से निरूपित करना संभव है। यह पता चला है कि आप कर सकते हैं!

संख्या लिखने का विस्तारित रूप

दशमलव संख्या प्रणाली में संख्या लिखने के सिद्धांत को याद करें। संख्या प्रविष्टि में अंक का मान न केवल अंक पर निर्भर करता है, बल्कि संख्या में इस अंक के स्थान पर भी निर्भर करता है (वे कहते हैं: अंक की स्थिति पर)। उदाहरण के लिए, संख्या 333 में, दाईं ओर के पहले अंक का अर्थ है: तीन इकाइयाँ, अगला - तीन दहाई, अगला - तीन सौ। इस तथ्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

333 10 = 3 10 2 + 3 10 1 + 3 10 0 = 300 + 30 + 3।

इस समानता में, "बराबर" चिह्न के दाईं ओर के व्यंजक को बहु-मूल्यवान संख्या का विस्तारित रूप कहा जाता है। बहु-अंकीय दशमलव संख्या के विस्तारित रूप का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

8257 10 = 8 10 3 + 2 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 = 8000 + 200 + 50 + 7।

इस प्रकार, अंक से अंक तक दाएं से बाएं की ओर बढ़ने के साथ, प्रत्येक अंक का "भार" 10 गुना बढ़ जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि संख्या प्रणाली का आधार दस है।

बाइनरी नंबरों को दशमलव में बदलना

और यहाँ एक बहु-अंकीय बाइनरी संख्या का एक उदाहरण है:

नीचे दाईं ओर दो संख्या प्रणाली के आधार को इंगित करते हैं। यह एक बाइनरी संख्या को दशमलव के साथ भ्रमित न करने के लिए आवश्यक है। आखिर एक दशमलव संख्या 110101 है! एक द्विआधारी संख्या में प्रत्येक अगले अंक का भार दाएं से बाएं जाने पर 2 गुना बढ़ जाता है। इस बाइनरी नंबर का विस्तारित रूप इस तरह दिखता है:

110101 2 = 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 53 10।

इस तरह, हमने बाइनरी नंबर को दशमलव प्रणाली में बदल दिया।

आइए कुछ और बाइनरी संख्याओं को दशमलव प्रणाली में बदलें।

10 2 = 2 1 = 2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;
10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 आदि।

इस प्रकार, यह पता चला कि दो अंकों की दशमलव संख्या छह अंकों की बाइनरी से मेल खाती है! और यह द्विआधारी प्रणाली के लिए विशिष्ट है: संख्या के मूल्य में वृद्धि के साथ अंकों की संख्या में तेजी से वृद्धि।

दशमलव (ए 10) और बाइनरी (ए 2) संख्या प्रणालियों में संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला की शुरुआत इस तरह दिखती है:

दशमलव संख्या को बाइनरी में बदलना

एक द्विआधारी संख्या को उसके बराबर दशमलव संख्या में कैसे अनुवाद करें, यह आपको ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों से स्पष्ट होना चाहिए। और रिवर्स ट्रांसलेशन कैसे करें: दशमलव प्रणाली से बाइनरी तक? ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव संख्या को शब्दों में विघटित करने में सक्षम होना चाहिए, जो कि दो की घात हैं। उदाहरण के लिए:

15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 1111 2।

यह जटिल है। एक और तरीका है, जिसके बारे में अब हम जानेंगे।

एक प्रक्रिया है जो आपको एक दशमलव संख्या को आसानी से एक बाइनरी सिस्टम में बदलने की अनुमति देती है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दी गई दशमलव संख्या 2 से विभाज्य है। परिणामी शेष वांछित संख्या का सबसे छोटा महत्वपूर्ण अंक है। परिणामी भागफल को फिर से 2 से विभाजित किया जाता है, परिणामी शेष वांछित संख्या का अगला अंक होता है। यह तब तक जारी रहता है जब तक कि भागफल दो (सिस्टम का आधार) से कम न हो जाए। यह भागफल वांछित संख्या का उच्चतम अंक है।

विभाजन को 2 से लिखने के दो तरीके हैं। आइए 37 को बाइनरी में बदलने के उदाहरण का उपयोग करके इसे प्रदर्शित करें।

यहाँ एक 5, 4, 3, ए 2, ए 1, और 0 बायें से दायें क्रम में द्विआधारी संख्या के अंकन में अंकों के पदनाम हैं। अनुवाद के परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: 37 10 \u003d 100101 2।

बाइनरी अंकगणित

द्विआधारी अंकगणित के नियम दशमलव अंकगणित के नियमों की तुलना में बहुत सरल हैं। यहां सिंगल-डिजिट बाइनरी नंबरों को जोड़ने और गुणा करने के सभी संभावित विकल्प दिए गए हैं।

0 + 0 = 0 0 x 0 = 0
0 + 1 = 10 x 1 = 0
1 + 0 = 1 1 x 0 = 0
1 + 1 = 10 1 x 1 = 1

कंप्यूटर मेमोरी की बिट संरचना के साथ इसकी सादगी और स्थिरता के साथ, बाइनरी नंबर सिस्टम ने कंप्यूटर के आविष्कारकों को आकर्षित किया। दशमलव प्रणाली की तुलना में तकनीकी साधनों द्वारा कार्यान्वित करना बहुत आसान है।

यहां दो बहु-मूल्यवान बाइनरी संख्याओं के कॉलम जोड़ का एक उदाहरण दिया गया है:

1011011101
+111010110
10010110011

अब बहु-मूल्यवान बाइनरी संख्याओं को गुणा करने के निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान से देखें:

1101101
एक्स 101
1101101
1101101
1000100001

थोड़े से प्रशिक्षण के बाद, आप में से कोई भी स्वचालित रूप से ऐसी गणना करेगा।

संक्षेप में मुख्य . के बारे में

संख्या प्रणाली - संख्या लिखने के कुछ नियम और इन नियमों से जुड़ी गणना करने के तरीके।

संख्या प्रणाली का आधार इसमें प्रयुक्त अंकों की संख्या के बराबर होता है।

बाइनरी नंबर बाइनरी नंबर सिस्टम में नंबर होते हैं। वे दो अंकों का उपयोग करते हैं: 0 और 1.

एक द्विआधारी संख्या लिखने का एक विस्तारित रूप इसका प्रतिनिधित्व है जो दो की शक्तियों के योग को 0 या 1 से गुणा करता है।

कंप्यूटर में बाइनरी नंबरों का उपयोग कंप्यूटर मेमोरी की बिट संरचना और बाइनरी अंकगणित की सरलता के कारण होता है।

प्रश्न और कार्य

1. दशमलव की तुलना में बाइनरी नंबर सिस्टम के फायदे और नुकसान क्या हैं।
2. कौन सी बाइनरी संख्याएं निम्नलिखित दशमलव संख्याओं से मेल खाती हैं:
128; 256; 512; 1024?
3. दशमलव में निम्नलिखित बाइनरी संख्याएं क्या हैं:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. निम्नलिखित बाइनरी संख्याओं को दशमलव में बदलें:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. निम्नलिखित दशमलव संख्याओं को बाइनरी में बदलें:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. द्विआधारी जोड़ करें:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. द्विआधारी गुणन करें:
111 10; 111 11; 1101 101; 1101 1000.