doma » Beton » Kako rešiti enačbe višjih stopenj. Enačbe višjih stopenj

Kako rešiti enačbe višjih stopenj. Enačbe višjih stopenj

Razmislite rešitve enačb z eno spremenljivko stopnje višje od druge.

Stopnja enačbe P (x) = 0 je stopnja polinoma P (x), tj. največja od stopenj njenih členov s koeficientom, ki ni enak nič.

Tako ima na primer enačba (x 3 - 1) 2 + x 5 = x 6 - 2 peto stopnjo, saj po operacijah odpiranja oklepajev in približevanja podobnih dobimo enakovredno enačbo x 5 - 2x 3 + 3 = 0 pete stopnje.

Spomnimo se pravil, ki bodo potrebna za reševanje enačb stopnje višje od dve.

Izjave o koreninah polinoma in njegovih deliteljev:

1. Polinom n. stopnje ima število korenov največ n, koreni večkratnosti m pa se pojavijo natanko m-krat.

2. Polinom lihe stopnje ima vsaj en pravi koren.

3. Če je α koren od P (x), potem je P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), kjer je Q n - 1 (x) polinom stopnje (n - 1).

5. Reducirani polinom s celimi koeficienti ne more imeti ulomnih racionalnih korenov.

6. Za polinom stopnje 3

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d je možna ena od dveh stvari: bodisi se razgradi v produkt treh binomov

Р 3 (x) = а (х - α) (х - β) (х - γ), lahko pa ga razstavimo na zmnožek binoma in kvadratnega trinoma Р 3 (x) = а (х - α) (х 2 + βх + γ ).

7. Vsak polinom četrte stopnje lahko razstavimo v zmnožek dveh kvadratnih trinomov.

8. Polinom f (x) je deljiv s polinomom g (x) brez ostanka, če obstaja tak polinom q (x), da je f (x) = g (x) q (x). Za deljenje polinomov se uporablja pravilo "kotne delitve".

9. Za deljivost polinoma P (x) na binom (x - c) je potrebno in zadostno, da je število c koren od P (x) (posledica Bezoutovega izreka).

10. Vietin izrek: Če so x 1, x 2, ..., x n realne korenine polinoma

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, potem veljajo naslednje enakosti:

x 1 + x 2 + ... + x n = -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n / a 0.

Primeri rešitev

Primer 1.

Poiščite preostanek deljenja P (x) = x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 z (x - 1/3).

Rešitev.

Kot posledica Bezoutovega izreka: "Preostanek deljenja polinoma z binomom (x - c) je enak vrednosti polinoma v c". Najdimo Р (1/3) = 0. Zato je ostanek 0 in število 1/3 je koren polinoma.

Odgovor: R = 0.

Primer 2.

Z vogalom delite 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 za (x + 2). Poiščite preostanek in nepopolni količnik.

rešitev:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

Odgovor: R = 3; zasebno: 2x 2 - x.

Osnovne metode reševanja enačb višje stopnje

1. Predstavitev nove spremenljivke

Način vnosa nove spremenljivke je že poznan na primeru bi kvadratne enačbe... Sestoji iz dejstva, da se za rešitev enačbe f (x) = 0 uvede nova spremenljivka (substitucija) t = xn ali t = g (x) in se f (x) izrazi v smislu t, pri čemer dobimo novo enačba r (t). Nato z reševanjem enačbe r (t) najdemo korenine:

(t 1, t 2, ..., t n). Po tem dobimo niz n enačb q (x) = t 1, q (x) = t 2, ..., q (x) = t n, iz katerih najdemo korenine prvotne enačbe.

Primer 1.

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

rešitev:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Zamenjava (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Povratna zamenjava:

x 2 + x + 1 = 2 ali x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 ali x 2 + x = 0;

Odgovor: Iz prve enačbe: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, iz druge: 0 in -1.

2. Faktorizacija z združevanjem in reduciranimi formulami za množenje

Osnova te metode tudi ni nova in je sestavljena iz razvrščanja izrazov na način, da vsaka skupina vsebuje skupni faktor. Če želite to narediti, morate včasih uporabiti nekatere umetne metode.

Primer 1.

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Rešitev.

Predstavljajte si - 3x 2 = -2x 2 - x 2 in skupina:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 = 0 ali x 2 + x - 3 = 0.

Odgovor: V prvi enačbi ni korenin, iz druge: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Faktoring po metodi nedefiniranih koeficientov

Bistvo metode je, da se izvirni polinom razloži na faktorje z neznanimi koeficienti. Z uporabo lastnosti, da so polinomi enaki, če so njihovi koeficienti enaki na enakih stopnjah, najdemo neznane ekspanzijske koeficiente.

Primer 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Rešitev.

Polinom 3. stopnje lahko razširimo v produkt linearnega in kvadratnega faktorja.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Po rešitvi sistema:

(b - a = 4,
(c - ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, tj.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Korenine enačbe (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 je enostavno najti.

Odgovor: -1; -2.

4. Način izbire korena po najvišjem in prostem koeficientu

Metoda temelji na uporabi izrekov:

1) Vsak celoštevilski koren polinoma s celimi koeficienti je delilec preseka.

2) Da je nereducibilni ulomek p / q (p je celo število, q je naravno) koren enačbe s celimi koeficienti, je potrebno, da je število p celoštevilski delilec prostega člena a 0, in q - naravni delilec vodilnega koeficienta.

Primer 1.

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

rešitev:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Zato je p / q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.

Ko najdemo en koren, na primer - 2, najdemo druge korene z deljenjem s kotom, metodo nedefiniranih koeficientov ali Hornerjevo shemo.

Odgovor: -2; 1/2; 1/3.

Še imate vprašanja? Niste prepričani, kako rešiti enačbe?
Če želite dobiti pomoč od mentorja - registrirajte se.
Prva lekcija je brezplačna!

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

Osnovni cilji:

Utrditi koncept celotne racionalne enačbe th stopnje.
Formulirajte glavne metode za reševanje enačb višjih stopenj (n > 3).
Naučiti osnovne metode reševanja enačb višjih stopenj.
Učiti po vrsti enačbe za določitev največ učinkovita metoda njegove odločitve.

Oblike, metode in pedagoške tehnike, ki jih učitelj uporablja pri pouku:

Sistem predavanj in seminarjev (predavanja - razlaga novega gradiva, seminarji - reševanje problemov).
Informacijske in komunikacijske tehnologije (frontalna anketa, ustno delo z razredom).
Diferenciran pouk, skupinske in individualne oblike.
Uporaba raziskovalne metode pri poučevanju, ki je namenjena razvoju matematičnega aparata in miselnih sposobnosti vsakega posameznega študenta.
Tiskovina - individualno kratek povzetek lekcija (osnovni pojmi, formule, izjave, gradivo predavanj je stisnjeno v obliki diagramov ali tabel).

Učni načrt:

Organiziranje časa.
Cilj odra: vključiti učence v učne dejavnosti, določijo smiselni okvir pouka.
Posodabljanje znanja učencev.
Namen etape: posodobiti znanje študentov o predhodno preučenih sorodnih temah
Študija o nova tema(predavanje). Namen faze: oblikovati glavne metode za reševanje enačb višjih stopenj (n > 3)
Povzetek.
Namen odra: še enkrat poudariti Ključne točke v snov, naučeno v lekciji.
Domača naloga.
Namen odra: oblikovati domačo nalogo za učence.

Povzetek lekcije

1. Organizacijski trenutek.

Oblikovanje teme lekcije: »Enačbe najvišjih stopenj. Metode za njihovo rešitev."

2. Aktualizacija znanja učencev.

Teoretični pregled - pogovor. Ponavljanje nekaterih predhodno preučenih informacij iz teorije. Študentje oblikujejo osnovne definicije in oblikujejo potrebne izreke. Navedeni so primeri, ki dokazujejo raven predhodno pridobljenega znanja.

Koncept enačbe v eni spremenljivki.
Pojem korena enačbe, rešitev enačbe.
Pojem linearne enačbe v eni spremenljivki, pojem kvadratne enačbe v eni spremenljivki.
Koncept enakovrednosti enačb, enačba-posledica (koncept tujih korenin), prehod ne po sledi (primer izgube korenin).
Koncept celote racionalno izražanje z eno spremenljivko.
Koncept celotne racionalne enačbe n-. stopnja. Standardna oblika celotne racionalne enačbe. Zmanjšana celotna racionalna enačba.
Prehod na niz enačb nižjih stopenj z faktorjenjem prvotne enačbe na faktorje.
Polinomski koncept n-. stopnja od x... Bezoutov izrek. Posledice iz Bezoutovega izreka. Korenski izreki ( Z- korenine in Q-koreni) celotne racionalne enačbe s celimi koeficienti (zmanjšanimi in nereduciranimi).
Hornerjeva shema.

3. Študij nove teme.

Upoštevali bomo celotno racionalno enačbo n-. stopnja standardne oblike z eno neznano spremenljivko x: P n (x)= 0, kjer P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- polinom n-. stopnja od x, a n ≠ 0. Če a n = 1, potem se takšna enačba imenuje reducirano celo število racionalna enačba n-. stopnja. Razmislite o takšnih enačbah za različne pomene n in naštej glavne metode za njihovo reševanje.

n= 1 - linearna enačba.

n= 2 - kvadratna enačba. Diskriminantna formula. Formula za izračun korenin. Vietin izrek. Izbira celotnega kvadrata.

n= 3 - kubična enačba.

Metoda združevanja.

Primer: x 3 - 4 x 2 - x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Obratna kubična enačba obrazca sekira 3 + bx 2 + bx + a= 0. Rešite tako, da združite člene z enakimi koeficienti.

Primer: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Izbira Z-koren na podlagi izreka. Hornerjeva shema. Pri uporabi te metode je treba poudariti to surovo silo v tem primeru končno, korenine pa izberemo po določenem algoritmu v skladu z izrekom o Z-koreni reducirane celotne racionalne enačbe s celimi koeficienti.

Primer: x 3 – 9x 2 + 23x- 15 = 0. Podana enačba. Zapišimo delilnike prostega člena ( + 1; + 3; + 5; + 15). Uporabimo Hornerjevo shemo:

	x 3	x 2	x 1	x 0	sklep
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 - 15 = 0	1 - koren
	x 2	x 1	x 0

Dobimo ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Enačba s celimi koeficienti. Izbira Q-koren na podlagi izreka. Hornerjeva shema. Pri uporabi te metode je treba poudariti, da je štetje v tem primeru končno in izberemo korenine po določenem algoritmu v skladu z izrekom o Q-korenine nereducibilne celotne racionalne enačbe s celimi koeficienti.

Primer: 9 x 3 + 27x 2 – x- 3 = 0. Enačba se ne reducira. Zapišimo delilnike prostega člena ( + 1; + 3). Zapišimo delilnike koeficienta pri najvišji potenci neznanke. ( + 1; + 3; + 9) Zato bomo med vrednostmi iskali korenine ( + 1; + ; + ; + 3). Uporabimo Hornerjevo shemo:

	x 3	x 2	x 1	x 0	sklep
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 - ne root
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 - ne root
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	koren
	x 2	x 1	x 0

Dobimo ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Za udobje izračuna pri izbiri Q - korenine priročno je spremeniti spremenljivko, pojdite na zmanjšano enačbo in izberite Z - korenine.

Če je prosti termin 1

.

Če lahko uporabite zamenjavo obrazca y = kx

.

Formula Cardano. Obstaja univerzalna metoda za reševanje kubičnih enačb - to je Cardano formula. Ta formula je povezana z imeni italijanskih matematikov Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Scipione del Ferro (1465-1526). Ta formula je izven obsega našega tečaja.

n= 4 - enačba četrte stopnje.

Metoda združevanja.

Primer: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Spremenljiva metoda zamenjave.

Bikvadratna enačba obrazca sekira 4 + bx 2 + s = 0 .

Primer: x 4 + 5x 2 - 36 = 0. Zamenjava y = x 2. Od tod y 1 = 4, y 2 = -9. Torej x 1,2 = + 2 .

Obratna enačba četrte stopnje obrazca sekira 4 + bx 3 + c x 2 + bx + a = 0.

Rešujemo, združujemo člene z enakimi koeficienti, tako da zamenjamo obrazec

sekira 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

Splošna povratna enačba četrte stopnje obrazca sekira 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

Zamenjava splošni pogled... Nekaj standardnih zamenjav.

Primer 3 . Zamenjava splošnega pogleda(sledi iz oblike določene enačbe).

n = 3.

Enačba s celimi koeficienti. Namestitev korenin Q n = 3.

Splošna formula. Obstaja univerzalna metoda za reševanje enačb četrte stopnje. Ta formula je povezana z imenom Ludovico Ferrari (1522-1565). Ta formula je izven obsega našega tečaja.

n > 5 - enačbe pete in višje stopnje.

Enačba s celimi koeficienti. Izbira Z-koren na podlagi izreka. Hornerjeva shema. Algoritem je podoben tistemu, ki smo ga obravnavali zgoraj n = 3.

Enačba s celimi koeficienti. Namestitev korenin Q na podlagi izreka. Hornerjeva shema. Algoritem je podoben tistemu, ki smo ga obravnavali zgoraj n = 3.

Simetrične enačbe. Vsaka povratna enačba lihe stopnje ima koren x= -1 in po faktorjenju v faktorje dobimo, da ima en faktor obliko ( x+ 1), drugi faktor pa je povratna enačba sode stopnje (njena stopnja je ena manjša od stopnje prvotne enačbe). Vsaka povratna enačba sode stopnje skupaj s korenom obrazca x = φ vsebuje koren vrste. S temi izjavami rešimo problem z znižanjem stopnje proučevane enačbe.

Spremenljiva metoda zamenjave. Uporaba enotnosti.

Splošne formule za reševanje celotnih enačb pete stopnje (to sta pokazala italijanski matematik Paolo Ruffini (1765-1822) in norveški matematik Niels Henrik Abel (1802-1829)) in višjih stopenj (to je pokazala Francoski matematik Evariste Galois (1811-1832) )).

Naj še enkrat spomnimo, da je v praksi mogoče uporabiti kombinacije zgoraj navedene metode. Primerno je preiti na niz enačb nižjih stopenj faktorizacija izvirne enačbe.
Široko uporabljeni v praksi so ostali izven okvira naše današnje razprave. grafične metode reševanje enačb in metode približne rešitve enačbe višjih stopenj.

Obstajajo situacije, ko enačba nima R-koren.

Uporaba lastnosti monotonosti funkcij

različne lastnosti

4. Povzetek.

Povzetek: Sedaj smo osvojili osnovne metode reševanja različnih enačb višjih stopenj (za n > 3). Naša naloga je, da se naučimo, kako učinkovito uporabljati zgoraj navedene algoritme. Glede na vrsto enačbe se bomo morali naučiti določiti, katera metoda rešitve je v tem primeru najučinkovitejša, kot tudi pravilno uporabiti izbrano metodo.

5. Domača naloga.

: 7 str. 164-174, št. 33-36, 39-44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Možne teme poročil ali povzetkov na to temo:

Formula Cardano
Grafična metoda za reševanje enačb. Primeri rešitev.
Metode približne rešitve enačb.

Analiza asimilacije gradiva in zanimanja študentov za temo:

Izkušnje kažejo, da študente zanima predvsem možnost zaposlovanja Z- korenine in Q-korenine enačb z uporabo dokaj preprostega algoritma z uporabo Hornerjeve sheme. Študente zanimajo tudi različne standardne vrste sprememba spremenljivk, kar lahko bistveno poenostavi obliko problema. Metode grafičnih rešitev so običajno zanimive. V tem primeru lahko naloge dodatno razčlenite grafična metoda reševanje enačb; razpravljati o splošnem pogledu grafa za polinom 3, 4, 5 stopinj; analizirati, kako je število korenov enačb 3, 4, 5 stopinj povezano z vrsto ustreznega grafa. Spodaj je seznam knjig, v katerih lahko najdete dodatne informacije o tej temi.

Bibliografija:

Vilenkin N. Ya. et al. »Algebra. Učbenik za učence 9. razreda s poglobljenim študijem matematike ”- M., Izobraževanje, 2007 - 367 str.
Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.»Za stranmi učbenika matematike. Aritmetika. algebra. 10-11 razred ”- M., Izobraževanje, 2008 - 192 str.
Vygodsky M. Ya."Matematični priročnik" - M., AST, 2010 - 1055 str.
Galitsky M.L.»Zbirka nalog iz algebre. Učbenik za 8-9 razrede s poglobljenim študijem matematike "- M., Izobraževanje, 2008 - 301 str.
Zvavič L.I. et al.»Algebra in začetek analize. 8-11 cl. Priročnik za šole in razrede s poglobljenim študijem matematike "- M., Bustard, 1999 - 352 str.
Zvavič L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N."Naloge iz matematike za pripravo na pisni izpit v 9. razredu" - M., Izobraževanje, 2007 - 112 str.
Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tematski testi za sistematizacijo znanja iz matematike” 1. del - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 str.
Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tematski testi za sistematizacijo znanja iz matematike” 2. del - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 str.
Ivanov A.P.»Preizkusi in testi iz matematike. Vadnica". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 str.
Leibson K.L."Zbirka praktične naloge matematika. Del 2-9 razred "- M., MCNMO, 2009 - 184 str.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebra. Dodatna poglavja k učbeniku za 9. razred. Učbenik za učence v šolah in razredih z naprednim študijem matematike." - M., Izobraževanje, 2006 - 224 str.
Mordkovich A.G."Algebra. Napredni študij. 8. razred. Učbenik "- M., Mnemosina, 2006 - 296 str.
A. P. Savin “enciklopedični slovar mladi matematik "- M., Pedagogija, 1985 - 352 str.
Survillo G.S., Simonov A.S. “Didaktični materiali iz algebre za 9. razred s poglobljenim študijem matematike ”- M., Izobraževanje, 2006 - 95 str.
Chulkov P.V.»Enačbe in neenakosti pri šolskem tečaju matematike. Predavanja 1–4 ”- M., 1. september 2006 - 88 str.
Chulkov P.V.»Enačbe in neenakosti pri šolskem tečaju matematike. Predavanja 5–8 ”- M., 1. september 2009 - 84 str.

Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se v številnih izračunih, gradnji stavb in celo v športu. Človek je uporabljal enačbe že v starih časih in od takrat se je njihova uporaba le povečala. V matematiki so enačbe višjih stopenj s celimi koeficienti precej pogoste. Za rešitev te vrste enačbe je potrebno:

Definiraj racionalne korenine enačbe;

Faktorizirajte polinom na levi strani enačbe;

Poiščite korenine enačbe.

Recimo, da nam je dana enačba naslednje vrste:

Najdimo vse njegove prave korenine. Levo in desno stran enačbe pomnožite z \

Spremeni spremenljivke \

Tako smo dobili reducirano enačbo četrte stopnje, ki jo rešujemo po standardnem algoritmu: preverimo delilnike, izvedemo deljenje in posledično ugotovimo, da ima enačba dve realni koreni \ in dve kompleksni . Dobimo naslednji odgovor na našo enačbo četrte stopnje:

Kje lahko rešite enačbo višjih stopenj na spletu z reševalcem?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačen spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite enačbo katere koli zapletenosti na spletu. Vse kar morate storiti je, da vnesete svoje podatke v reševalec. Na naši spletni strani si lahko ogledate tudi video navodila in se naučite reševati enačbo. In če imate še vedno vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.

Besedilo dela je postavljeno brez slik in formul.
Celotna različica delo je na voljo v zavihku "Delovne datoteke" v formatu PDF

Uvod

Reševanje algebraičnih enačb višjih stopenj z eno neznano je eno najtežjih in najstarejših matematične težave... S temi problemi so se ukvarjali najbolj izjemni matematiki antike.

Rešitev enačb n-te stopnje je pomembna naloga sodobne matematike. Zanimanje zanje je precej veliko, saj so te enačbe tesno povezane z iskanjem korenin enačb, ki jih šolski učni načrt pri matematiki ne upošteva.

Težava: pomanjkanje spretnosti pri reševanju enačb višjih stopenj na različne načine med študenti onemogoča, da se uspešno pripravijo na zaključno certificiranje iz matematike in matematičnih olimpijad, poučujejo v specializiranem matematičnem razredu.

Ugotovljena našteta dejstva relevantnost našega dela "Reševanje enačb višjih stopenj."

Obvladanje najpreprostejših metod reševanja enačb n-te stopnje skrajša čas za izvedbo naloge, od katere je odvisen rezultat dela in kakovost učnega procesa.

Cilj:študija o znane metode reševanje enačb višjih stopenj in ugotavljanje najbolj dostopnih za praktična uporaba.

Na podlagi tega cilja je delo ugotovilo naslednje naloge:

Študijska literatura in internetni viri na to temo;

Spoznajte zgodovinska dejstva, povezana s to temo;

Opišite različne načine reševanja enačb višje stopnje

primerjajte stopnjo kompleksnosti vsakega od njih;

Sošolce seznaniti z metodami reševanja enačb višjih stopenj;

Ustvarite niz enačb za praktično uporabo vsake od obravnavanih metod.

Predmet študija- enačbe višjih stopenj z eno spremenljivko.

Predmet študija- načini reševanja enačb višjih stopenj.

Hipoteza: ni splošne metode in enotnega algoritma, ki bi omogočal iskanje rešitev za enačbe n-te stopnje v končnem številu korakov.

Raziskovalne metode:

- bibliografska metoda (analiza literature na raziskovalno temo);

- metoda razvrščanja;

- metoda kvalitativne analize.

Teoretični pomen raziskava je sestavljena iz sistematizacije metod za reševanje enačb višjih stopenj in opisa njihovih algoritmov.

Praktični pomen- predložili gradivo na to temo in razvoj študijski vodnik za študente na to temo.

1 ENAČBE VIŠŠIH STOPINJ

1.1 Koncept enačbe n-te stopnje

Opredelitev 1. Enačba n-te stopnje je enačba oblike

a 0 xⁿ + a 1 x n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n = 0, kjer so koeficienti a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n- poljubna realna števila in , a 0 ≠ 0 .

Polinom a 0 xⁿ + a 1 x n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n imenujemo polinom stopnje n. Kvote se razlikujejo po svojih imenih: a 0 - višji koeficient; a n je prosti član.

Definicija 2. Rešitve ali korenine za dano enačbo so vse vrednosti spremenljivke X, ki to enačbo spremenijo v pravo numerično enakost ali, za katero je polinom a 0 xⁿ + a 1 x n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n izgine. Ta vrednost spremenljivke X imenujemo tudi koren polinoma. Rešiti enačbo pomeni najti vse njene korenine ali ugotoviti, da ne obstajajo.

Če a 0 = 1, potem se taka enačba imenuje reducirana celotna racionalna enačba n th stopnje.

Za enačbe tretje in četrte stopnje obstajata formule Cardano in Ferrari, ki izražata korenine teh enačb v smislu radikalov. Izkazalo se je, da se v praksi redko uporabljajo. Torej, če je n ≥ 3 in so koeficienti polinoma poljubna realna števila, potem iskanje korenov enačbe ni lahka naloga. Kljub temu je v mnogih posebnih primerih ta problem rešen do konca. Zadržimo se na nekaterih od njih.

1.2 Zgodovinska dejstva rešitve enačb višjih stopenj

Že v starih časih so ljudje spoznali, kako pomembno se je naučiti reševati algebraične enačbe. Pred približno 4000 leti so babilonski znanstveniki obvladali rešitev kvadratne enačbe in rešili sistema dveh enačb, od katerih je ena druge stopnje. S pomočjo enačb višjih stopenj so bili rešeni različni problemi geodetskih, arhitekturnih in vojaških zadev, nanje so se zreducirala mnoga in različna vprašanja prakse in naravoslovja, saj natančen jezik matematike omogoča preprosto izražanje dejstev in odnosov, ki se lahko, če je predstavljena v običajnem jeziku, zdi zmedena in zapletena ...

Univerzalna formula za iskanje korenin algebraična enačba nth stopnje št. Mnogi so seveda prišli na mamljivo idejo, da bi za katero koli potenco n našli formule, ki bi izrazile korenine enačbe v smislu njenih koeficientov, torej bi rešile enačbo v radikalih.

Šele v 16. stoletju se je italijanskim matematikom uspelo premakniti naprej – najti formuli za n = 3 in n = 4. Hkrati se je pojavilo vprašanje splošna odločitev enačbe 3. stopnje so preučevali Scipio, Dahl, Ferro ter njegova učenca Fiori in Tartaglia.

Leta 1545 je izšla knjiga italijanskega matematika D. Cardana "Velika umetnost ali pravila algebre", kjer je poleg drugih vprašanj algebre splošne načine rešitev kubičnih enačb, pa tudi metodo za reševanje enačb 4. stopnje, ki jo je odkril njegov učenec L. Ferrari.

F. Viet je podal popolno razstavo vprašanj, povezanih z rešitvijo enačb tretje in četrte stopnje.

V 20. letih 19. stoletja je norveški matematik N. Abel dokazal, da korenin enačb pete stopnje ni mogoče izraziti z radikali.

Študija je to razkrila sodobna znanost obstaja veliko načinov za reševanje enačb n-te stopnje.

Rezultat iskanja metod za reševanje enačb višjih stopenj, ki jih ni mogoče rešiti z metodami, obravnavanimi v šolski kurikulum, metode, ki temeljijo na uporabi Vietinega izreka (za enačbe stopenj n> 2), Bezoutove izreke, Hornerjeve sheme, pa tudi Cardano-Ferrarijevo formulo za reševanje kubičnih enačb in enačb četrte stopnje.

V prispevku so predstavljene metode reševanja enačb in njihove vrste, ki so za nas postale odkritje. Sem spadajo - metoda nedefiniranih koeficientov, izbor polne stopnje, simetrične enačbe.

2. REŠITEV CELOŠTEVNIH ENAČB VIŠJIH STOPINJ S CELI KOEFICIENTI

2.1 Reševanje enačb 3. stopnje. Formula D. Cardano

Razmislite o enačbah obrazca x 3 + px + q = 0. Splošno enačbo pretvorimo v obliko: x 3 + px 2 + qx + r = 0. Napišimo formulo za kocko vsote; Dodamo jo izvirni enakosti in jo nadomestimo z y... Dobimo enačbo: y 3 + (q -) (y -) + (r - = 0. Po transformacijah imamo: y 2 + py + q = 0. Zdaj spet napišite formulo za kocko vsote:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b), zamenjati ( a + b) na x, dobimo enačbo x 3 - 3abx - (a 3 + b 3) = 0. Zdaj lahko vidite, da je prvotna enačba enakovredna sistemu: in Z reševanjem sistema dobimo:

Dobili smo formulo za reševanje reducirane enačbe 3. stopnje. Nosi ime italijanskega matematika Cardana.

Poglejmo primer. Reši enačbo:.

Imamo R= 15 in q= 124, nato s pomočjo Cardano formule izračunamo koren enačbe

Zaključek: Ta formula je dobra, vendar ni primerna za reševanje vseh kubičnih enačb. Vendar pa je okorno. Zato se v praksi redko uporablja.

Toda tisti, ki obvlada to formulo, jo lahko uporabi pri reševanju enačb tretje stopnje na izpitu.

2.2 Vietin izrek

Iz predmeta matematike poznamo ta izrek za kvadratno enačbo, le malokdo pa ve, da se uporablja tudi za reševanje enačb višjih stopenj.

Razmislite o enačbi:

faktorji levo stran enačbe, delimo z ≠ 0.

Desno stran enačbe pretvorimo v obliko

; iz tega sledi, da lahko v sistem zapišemo naslednje enakosti:

Formule, ki jih je Viet izpeljal za kvadratne enačbe in smo jih prikazali za enačbe tretje stopnje, veljajo tudi za polinome višjih stopenj.

Rešimo kubično enačbo:

zaključek: Na ta način univerzalen in dovolj enostaven za razumevanje učencev, saj jim je Vietin izrek znan iz šolskega učnega načrta za n. = 2. Hkrati pa je treba za iskanje korenin enačb s tem izrekom imeti dobre računalniške sposobnosti.

2.3 Bezoutov izrek

Ta izrek je poimenovan po francoskem matematiku iz 18. stoletja J. Bezoutu.

Izrek.Če je enačba a 0 xⁿ + a 1 x n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n = 0, pri katerem so vsi koeficienti cela števila, prosti člen pa ni nič, ima celoštevilski koren, potem je ta koren delilec prostega člena.

Glede na to na levi strani enačbe polinom nth stopnje, potem ima izrek drugačno razlago.

Izrek. Pri delitvi polinoma stopnje n glede na x binomski x - a preostanek je enak vrednosti dividende pri x = a... (pismo a lahko označuje katero koli realno ali namišljeno število, t.j. katero koli kompleksno število).

Dokaz: pustiti f (x) označuje poljuben polinom n-te stopnje glede na spremenljivko x in pusti, ko delimo z binomom ( x-a) se je zgodilo zasebno q (x), in v preostalem R... To je očitno q (x) bo nekaj polinoma (n - 1) th stopnja glede na x in preostanek R bo konstantna vrednost, t.j. neodvisno od x.

Če ostanek R je bil polinom prve stopnje glede na x, potem bi to pomenilo, da delitev ni izpolnjena. torej R od x ni odvisno. Z definicijo delitve dobimo identiteto: f (x) = (x-a) q (x) + R.

Enakost velja za katero koli vrednost x, kar pomeni, da velja tudi za x = a, dobimo: f (a) = (a-a) q (a) + R... Simbol f (a) označuje vrednost polinoma f (x) pri x = a, q (a) označuje vrednost q (x) pri x = a. Preostanek R ostal enak, kot je bil prej, od R od x ni odvisno. Delo ( x-a) q (a) = 0, saj faktor ( x-a) = 0, in faktor q (a) tukaj je določeno število... Zato iz enakosti dobimo: f (a) = R, h.t.d.

Primer 1. Poiščite preostanek delitve polinoma x 3 - 3x 2 + 6x- 5 na binomu

x- 2. Po Bezoutovem izreku : R = f(2) = 23-322 + 62 -5 = 3. odgovor: R = 3.

Upoštevajte, da Bezoutov izrek ni pomemben toliko sam po sebi kot po njegovih posledicah. (Priloga 1)

Oglejmo si nekaj metod uporabe Bezoutovega izreka pri reševanju praktičnih problemov. Treba je opozoriti, da je pri reševanju enačb z Bezoutovim izrekom potrebno:

Poiščite vse celoštevilske delilnike prostega člena;

Iz teh deliteljev poiščite vsaj en koren enačbe;

Levo stran enačbe delite z (Ha);

Zapiši zmnožek delitelja in količnika na levi strani enačbe;

Rešite dobljeno enačbo.

Razmislite na primer o reševanju enačbe x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Rešitev: poiščite delilnike prostega člena ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Izračunajmo vrednosti pri x = 1, 1 3 + 41 2 + 1-6 = 0. Levo stran enačbe delimo z ( X- 1). Delitev bomo izvedli "z kotom", dobimo:

Zaključek: Bezoutov izrek, enega od načinov, ki ga obravnavamo pri našem delu, preučujemo v programu izbirnega pouka. Težko ga je razumeti, saj je za njegovo lastništvo potrebno poznati vse posledice iz njega, hkrati pa je Bezoutov izrek eden glavnih pomočnikov študentov na izpitu.

2.4 Hornerjeva shema

Za deljenje polinoma z binomom x-α lahko uporabite poseben preprost trik, ki so ga izumili angleški matematiki iz 17. stoletja, pozneje imenovan Hornerjeva shema. Poleg iskanja korenin enačb lahko po Hornerjevi shemi lažje izračunate njihove vrednosti. Za to je potrebno nadomestiti vrednost spremenljivke v polinom Pn (x) = a 0 xn + a 1 x n-1 + a 2 xⁿ - ² +… ++ a n -1 x + a n. (ena)

Razmislite o delitvi polinoma (1) z binomom x-α.

Izrazimo koeficiente nepopolnega količnika b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 in preostanek r glede na koeficiente polinoma Pn ( x) in številko α. b 0 = a 0 , b 1 = α b 0 + a 1 , b 2 = α b 1 + a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 + a n -1 = α bn -1 + a n .

Izračuni po Hornerjevi shemi so predstavljeni v obliki naslednje tabele:

	a 0	a 1	a 2 ,
	b 0 = a 0	b 1 = α b 0 + a 1	b 2 = α b 1 + a 2		r = α b n-1 + a n

V kolikor r = Pn (α), potem je α koren enačbe. Da bi preverili, ali je α večkratni koren, lahko Hornerjevo shemo uporabimo za kvocient b 0 x + b 1 x + ... + bn -1 glede na tabelo. Če v stolpcu pod bn -1 spet se izkaže 0, kar pomeni, da je α večkratni koren.

Razmislite o primeru: Rešite enačbo X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Uporabite faktorizacijo polinoma na levi strani enačbe, Hornerjevo shemo na levi strani enačbe.

Rešitev: poiščite delilnike prostega člena ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Kvocienti so števila 1, 5, 6, preostanek pa je r = 0.

pomeni, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

torej: X- 1 = 0 oz X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. odgovor: 1,- 2, - 3.

Zaključek: tako smo na eni enačbi prikazali uporabo dveh različne poti faktoring polinomov. Po našem mnenju je Hornerjeva shema najbolj praktična in ekonomična.

2.5 Reševanje enačb 4. stopnje. Ferrarijeva metoda

Cardanov učenec Ludovic Ferrari je odkril način reševanja enačbe 4. stopnje. Ferrarijeva metoda je sestavljena iz dveh korakov.

I. stopnja: enačbe oblike so predstavljene kot produkt dveh kvadratnih trinomov, to izhaja iz dejstva, da je enačba 3. stopnje in vsaj ena rešitev.

Faza II: dobljene enačbe se rešijo s faktorizacijo, vendar je za iskanje zahtevane faktorizacije potrebno rešiti kubične enačbe.

Ideja je predstaviti enačbe v obliki A 2 = B 2, kjer je A = x 2 + s,

B-linearna funkcija x... Potem je treba rešiti enačbe A = ± B.

Zaradi jasnosti razmislite o enačbi: izoliramo 4. stopnjo, dobimo: Za katero koli d izraz bo popoln kvadrat. Prištejemo obema stranema enačbe, ki jo dobimo

Na levi strani je poln kvadrat, ki ga lahko poberete d tako da tudi desna stran (2) postane popoln kvadrat. Predstavljajmo si, da smo to dosegli. Potem naša enačba izgleda takole:

Iskanje korena kasneje ne bo težko. Da izberem pravega d potrebno je, da diskriminanta desne strani (3) izgine, tj.

Torej najti d, je treba rešiti to enačbo 3. stopnje. Takšna pomožna enačba se imenuje resolucija.

Z lahkoto najdemo celoten koren resolventa: d = 1

Če enačbo nadomestimo v (1), dobimo

Zaključek: Ferrarijeva metoda je univerzalna, vendar zapletena in okorna. Hkrati, če je algoritem rešitve jasen, je mogoče s to metodo rešiti enačbe 4. stopnje.

2.6 Metoda nedefiniranih koeficientov

Uspešnost reševanja enačbe 4. stopnje po Ferrarijevi metodi je odvisna od tega, ali bomo rešili rezolvento – enačbo 3. stopnje, kar, kot vemo, ni vedno mogoče.

Bistvo metode nedefiniranih koeficientov je v tem, da se ugiba vrsta faktorjev, na katere je dani polinom razčlenjen, koeficienti teh faktorjev (tudi polinomov) pa se določijo z množenjem faktorjev in enačenjem koeficientov na enakih stopnjah spremenljivka.

Primer: Reši enačbo:

Recimo, da lahko levo stran naše enačbe razstavimo na dva kvadratna trinoma s celimi koeficienti, tako da je istovetnost

Očitno morajo biti koeficienti pred uni enaki 1, prosti izrazi pa enaki ena + 1, drugi ima 1.

Koeficienti pred X... Označimo jih z a in da jih določimo, pomnožimo oba trinoma na desni strani enačbe.

Kot rezultat dobimo:

Izenačitev koeficientov pri istih stopinjah X na levi in desni strani enakosti (1), dobimo sistem za iskanje in

Ko bomo rešili ta sistem, bomo imeli

Torej, naša enačba je enakovredna enačbi

Ko ga rešimo, dobimo naslednje korenine:.

Metoda nedoločenih koeficientov temelji na naslednjih trditvah: kateri koli polinom četrte stopnje v enačbi je mogoče razstaviti v produkt dveh polinomov druge stopnje; dva polinoma sta identično enaka, če in samo če sta njuna koeficienta enaka na enakih stopnjah X

2.7 Simetrične enačbe

Opredelitev. Enačba oblike se imenuje simetrična, če so prvi koeficienti na levi v enačbi enaki prvim koeficientom na desni.

Vidimo, da so prvi koeficienti na levi enaki prvim koeficientom na desni.

Če ima taka enačba liho stopnjo, potem ima koren X= - 1. Nato lahko znižamo stopnjo enačbe tako, da jo delimo s ( x + ena). Izkazalo se je, da ko je simetrična enačba deljena z ( x + 1) dobimo simetrično enačbo sode stopnje. Dokaz simetrije koeficientov je predstavljen spodaj. (Priloga 6) Naša naloga je, da se naučimo reševati simetrične enačbe sode stopnje.

Na primer: (1)

Rešimo enačbo (1), delimo z X 2 (srednje) = 0.

Združimo izraze s simetričnimi

) + 3(x+. Označujemo pri= x+, kvadratirajmo obe strani, torej = pri 2 Torej, 2 ( pri 2 ali 2 pri 2 + 3 rešimo enačbo, dobimo pri = , pri= 3. Nato se vrnimo k zamenjavi x+ = in x+ = 3. Dobimo enačbe in Prva nima rešitve, druga pa ima dva korena. Odgovor:.

zaključek: dani pogled enačb se ne srečuje pogosto, če pa naletite nanjo, jo je mogoče enostavno in preprosto rešiti, ne da bi se zatekli k okornim izračunom.

2.8 Izolacija polne stopnje

Razmislite o enačbi.

Leva stran je kocka vsote (x + 1), tj.

Iz obeh delov izvlečemo koren tretje stopnje:, nato dobimo

Od kod je edini koren.

REZULTATI Študije

Na podlagi rezultatov dela smo prišli do naslednjih zaključkov:

Zahvaljujoč preučeni teoriji smo se seznanili z različne metode rešitve celotnih enačb višjih stopenj;

Formula D. Cardano je težko uporabna in daje veliko verjetnost napak pri izračunu;

- Metoda L. Ferrarija omogoča redukcijo rešitve enačbe četrte stopnje na kubično;

- Bezoutov izrek je mogoče uporabiti tako za kubične enačbe kot za enačbe četrte stopnje; je bolj razumljiv in nazoren, če ga uporabimo za rešitev enačb;

Hornerjeva shema pomaga znatno zmanjšati in poenostaviti izračune pri reševanju enačb. Poleg iskanja korenin je po Hornerjevi shemi lažje izračunati vrednosti polinomov na levi strani enačbe;

Posebno zanimivo je bilo reševanje enačb po metodi nedoločenih koeficientov, reševanje simetričnih enačb.

Med raziskovalno delo Ugotovljeno je bilo, da se učenci učijo najpreprostejših metod reševanja enačb najvišje stopnje pri izbirnih poukah matematike, od 9. do 10. razreda, pa tudi v posebnih tečajih gostujočih matematičnih šol. To dejstvo ugotovljeno kot rezultat ankete učiteljev matematike MBOU "Srednja šola št. 9" in študentov, ki kažejo povečano zanimanje za predmet "matematika".

Najbolj priljubljene metode reševanja enačb višjih stopenj, ki jih najdemo pri reševanju olimpijad, tekmovalnih nalog in kot rezultat priprave študentov na izpite, so metode, ki temeljijo na uporabi Bezoutovega izreka, Hornerjeve sheme in uvedbe nove spremenljivke.

Prikaz rezultatov raziskovalnega dela, t.j. načini reševanja enačb, ki se ne preučujejo v šolskem učnem načrtu pri matematiki, zainteresirani sošolci.

Zaključek

Po študiju izobraževalne in znanstvene literature, internetnih virov v mladinskih izobraževalnih forumih

Marina A. Trifanova
učitelj matematike, MOU "Gimnazija št. 48 (multidisciplinarna)", Talnakh

Troedini cilj lekcije:

Izobraževalni:
sistematizacija in posploševanje znanja o reševanju enačb višjih stopenj.
Razvoj:
spodbujati razvoj logično razmišljanje, sposobnost samostojnega dela, veščine medsebojnega nadzora in samokontrole, sposobnost govora in poslušanja.
Izobraževalni:
razvijanje navade stalne zaposlitve, spodbujanje odzivnosti, trdega dela, natančnosti.

Vrsta lekcije:

pouk kompleksne uporabe znanj, veščin in sposobnosti.

Učna oblika:

prezračevanje, telesna vadba, različne oblike dela.

oprema:

osnovne opombe, kartice z nalogami, matrika spremljanja pouka.

MED POUKOM

I. Organizacijski trenutek

Učencem sporočanje cilja lekcije.
Preverjanje domače naloge (Priloga 1). Delo z referenčnimi opombami (Priloga 2).

Enačbe in odgovori za vsako od njih so napisani na tabli. Učenci preverijo odgovore in podajo kratka analiza rešitve vsake enačbe ali odgovori na učiteljeva vprašanja (frontalna anketa). Samokontrola – učenci si sami dajo ocene in predajo vaje učitelju v popravek ali potrditev ocen. Osnovna šola je napisana na tabli:

“5+” - 6 enačb;
“5” - 5 enačb;
“4” - 4 enačbe;
"3" - 3 enačbe.

Vprašanja učiteljeve domače naloge:

1 enačba

Kakšna sprememba spremenljivk je narejena v enačbi?
Kakšna enačba dobimo po spremembi spremenljivk?

2 enačba

Na kateri polinom sta se razdelili obe strani enačbe?
Kakšno spremembo spremenljivk smo dobili?

3 enačba

Katere polinome je treba pomnožiti, da poenostavimo rešitev te enačbe?

4 enačba

Poimenujte funkcijo f (x).
Kako so bile najdene preostale korenine?

Enačba 5

Koliko vrzeli smo dobili za rešitev enačbe?

6 enačba

Na kakšne načine bi bilo mogoče rešiti to enačbo?
Katera rešitev je bolj racionalna?

II. Skupinsko delo je glavni del pouka.

Razred je razdeljen v 4 skupine. Vsaka skupina dobi kartico s teoretičnimi in praktičnimi (Priloga 3) vprašanji: "Dekonstruiraj predlagano metodo za reševanje enačbe in jo razloži na tem primeru."

Skupinsko delo 15 minut.
Primeri so napisani na tabli (tabla je razdeljena na 4 dele).
Skupinsko poročilo traja 2-3 minute.
Učitelj popravlja poročila skupin in pomaga v primeru težav.

Skupinsko delo se nadaljuje na karticah 5 - 8. Vsaka enačba ima 5 minut za skupinsko razpravo. Nato je na tabli poročilo o tej enačbi – kratka analiza rešitve. Enačba morda ni popolnoma rešena - končuje se doma, vendar se o zaporedju njene rešitve v učilnici razpravlja povsod.

III. Samostojno delo. Dodatek 4.