भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को ऑनलाइन कैलकुलेटर से हल करना। मैट्रिक्स समीकरणों को हल करना
हम आपके ध्यान में जो निःशुल्क कैलकुलेटर लाए हैं, उसमें गणितीय गणनाओं के लिए संभावनाओं का एक समृद्ध भंडार है। यह आपको उपयोग करने की अनुमति देता है ऑनलाइन कैलकुलेटरवी विभिन्न क्षेत्रगतिविधियाँ: शिक्षात्मक, पेशेवरऔर व्यावसायिक. बेशक, ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करना विशेष रूप से लोकप्रिय है छात्रऔर स्कूली बच्चों, इससे उनके लिए विभिन्न प्रकार की गणनाएँ करना बहुत आसान हो जाता है।
साथ ही कैलकुलेटर भी बन सकता है उपयोगी उपकरणव्यवसाय के कुछ क्षेत्रों में और लोगों के लिए विभिन्न पेशे. बेशक, व्यवसाय या कार्य में कैलकुलेटर का उपयोग करने की आवश्यकता मुख्य रूप से गतिविधि के प्रकार से ही निर्धारित होती है। यदि आपका व्यवसाय और पेशा निरंतर गणना और गणना से जुड़ा है, तो इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर को आज़माना और किसी विशेष कार्य के लिए इसकी उपयोगिता की डिग्री का आकलन करना उचित है।
यह ऑनलाइन कैलकुलेटर कर सकता है
- एक पंक्ति में लिखे गए मानक गणितीय कार्यों को सही ढंग से निष्पादित करें जैसे - 12*3-(7/2) और हम ऑनलाइन कैलकुलेटर में जितनी बड़ी संख्याएँ गिन सकते हैं उससे बड़ी संख्याएँ संसाधित कर सकते हैं। हमें यह भी नहीं पता कि ऐसी संख्या को सही ढंग से क्या कहा जाए। इसमें 34 अक्षर हैं और यह बिल्कुल भी सीमा नहीं है).
- के अलावा स्पर्शरेखा, कोज्या, ज्याऔर अन्य मानक कार्य - कैलकुलेटर गणना संचालन का समर्थन करता है आर्कटिक स्पर्शरेखा, arccotangentऔर दूसरे।
- शस्त्रागार में उपलब्ध है लघुगणक, भाज्यऔर अन्य दिलचस्प विशेषताएं
- यह ऑनलाइन कैलकुलेटर ग्राफ़ बनाना जानता है!!!
ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, सेवा एक विशेष बटन का उपयोग करती है (ग्राफ़ ग्रे रंग में खींचा जाता है) या इस फ़ंक्शन का एक अक्षर प्रतिनिधित्व (प्लॉट)। ऑनलाइन कैलकुलेटर में ग्राफ़ बनाने के लिए, बस फ़ंक्शन लिखें: प्लॉट(tan(x)),x=-360..360.
हमने स्पर्शरेखा के लिए सबसे सरल ग्राफ़ लिया, और दशमलव बिंदु के बाद हमने X चर की सीमा -360 से 360 तक इंगित की।
आप किसी भी संख्या में वेरिएबल के साथ बिल्कुल कोई भी फ़ंक्शन बना सकते हैं, उदाहरण के लिए: प्लॉट(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)या इससे भी अधिक जटिल जिसे आप सोच सकते हैं। वेरिएबल X के व्यवहार पर ध्यान दें - से और तक के अंतराल को दो बिंदुओं का उपयोग करके दर्शाया गया है।
इस ऑनलाइन कैलकुलेटर का एकमात्र नकारात्मक (हालांकि इसे नुकसान कहना मुश्किल है) यह है कि यह गोले और अन्य त्रि-आयामी आंकड़े नहीं बना सकता - केवल एक विमान।
गणित कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
1. डिस्प्ले (कैलकुलेटर स्क्रीन) सामान्य प्रतीकों में दर्ज अभिव्यक्ति और इसकी गणना के परिणाम को प्रदर्शित करता है, जैसा कि हम कागज पर लिखते हैं। यह फ़ील्ड केवल वर्तमान लेनदेन को देखने के लिए है। जैसे ही आप इनपुट लाइन में गणितीय अभिव्यक्ति टाइप करते हैं, प्रविष्टि डिस्प्ले पर दिखाई देती है।
2. अभिव्यक्ति इनपुट फ़ील्ड उस अभिव्यक्ति को रिकॉर्ड करने के लिए है जिसकी गणना करने की आवश्यकता है। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय प्रतीकों का उपयोग किया जाता है कंप्यूटर प्रोग्राम, हमेशा उन चीज़ों से मेल नहीं खाता जिन्हें हम आमतौर पर कागज़ पर उपयोग करते हैं। प्रत्येक कैलकुलेटर फ़ंक्शन के अवलोकन में, आपको कैलकुलेटर में एक विशिष्ट ऑपरेशन और गणना के उदाहरणों के लिए सही पदनाम मिलेंगे। इस पृष्ठ पर नीचे कैलकुलेटर में सभी संभावित परिचालनों की एक सूची है, साथ ही उनकी सही वर्तनी भी बताई गई है।
3. टूलबार - ये कैलकुलेटर बटन हैं जो मैन्युअल इनपुट को प्रतिस्थापित करते हैं गणितीय प्रतीक, संबंधित ऑपरेशन को दर्शाता है। कुछ कैलकुलेटर बटन (अतिरिक्त फ़ंक्शन, यूनिट कनवर्टर, मैट्रिक्स और समीकरणों को हल करना, ग्राफ़) टास्कबार को नए फ़ील्ड के साथ पूरक करते हैं जहां एक विशिष्ट गणना के लिए डेटा दर्ज किया जाता है। "इतिहास" फ़ील्ड में गणितीय अभिव्यक्तियाँ लिखने के उदाहरण, साथ ही आपकी छह सबसे हाल की प्रविष्टियाँ शामिल हैं।
कृपया ध्यान दें कि जब आप कॉल बटन दबाते हैं अतिरिक्त प्रकार्य, मात्राओं का परिवर्तक, आव्यूहों और समीकरणों को हल करना, ग्राफ़ बनाना, पूरा कैलकुलेटर पैनल डिस्प्ले के हिस्से को कवर करते हुए ऊपर चला जाता है। आवश्यक फ़ील्ड भरें और पूर्ण आकार का डिस्प्ले देखने के लिए "I" कुंजी (चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया) दबाएँ।
4. संख्यात्मक कीपैड में संख्याएँ और अंकगणितीय प्रतीक होते हैं। "सी" बटन अभिव्यक्ति प्रविष्टि फ़ील्ड में संपूर्ण प्रविष्टि को हटा देता है। वर्णों को एक-एक करके हटाने के लिए, आपको इनपुट लाइन के दाईं ओर तीर का उपयोग करना होगा।
किसी अभिव्यक्ति के अंत में हमेशा कोष्ठक बंद करने का प्रयास करें। अधिकांश परिचालनों के लिए यह महत्वपूर्ण नहीं है; ऑनलाइन कैलकुलेटर हर चीज़ की सही गणना करेगा। हालाँकि, कुछ मामलों में त्रुटियाँ हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक घात तक बढ़ाने पर, बंद कोष्ठक के कारण घातांक में भिन्न का हर आधार के हर में चला जाएगा। डिस्प्ले पर क्लोजिंग ब्रैकेट हल्के भूरे रंग में दिखाया गया है और रिकॉर्डिंग पूरी होने पर इसे बंद कर देना चाहिए।
| चाबी | प्रतीक | संचालन |
|---|---|---|
| अनुकरणीय | अनुकरणीय | लगातार पाई |
| ई | ई | यूलर संख्या |
| % | % | प्रतिशत |
| () | () | कोष्ठक खोलें/बंद करें |
| , | , | अल्पविराम |
| पाप | पाप(?) | कोण की ज्या |
| ओल | क्योंकि(?) | कोज्या |
| टैन | तन(य) | स्पर्शरेखा |
| सिंह | सिंह() | अतिपरवलयिक ज्या |
| सोंटा | कोष() | अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन |
| तनह | तनह() | अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा |
| पाप-1 | के रूप में() | रिवर्स साइन |
| क्योंकि -1 | एकोस() | उलटा कोज्या |
| तन -1 | एक भूरा() | विपरीत स्पर्शरेखा |
| सिंह -1 | असिन्ह() | व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या |
| कोष-1 | एकोश() | व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोज्या |
| तनह -1 | अतान्ह() | व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या |
| एक्स 2 | ^2 | बराबरी |
| एक्स 3 | ^3 | घनक्षेत्र |
| x y | ^ | घातांक |
| 10 एक्स | 10^() | आधार 10 का घातांक |
| पूर्व | ऍक्स्प() | यूलर संख्या का घातांक |
| वीएक्स | sqrt(x) | वर्गमूल |
| 3 वीएक्स | sqrt3(x) | तीसरी जड़ |
| yvx | sqrt(x,y) | जड़ निष्कर्षण |
| लॉग 2 एक्स | लॉग2(x) | बाइनरी लघुगणक |
| लकड़ी का लट्ठा | लॉग(x) | दशमलव लघुगणक |
| एल.एन | एलएन(एक्स) | प्राकृतिक |
| लॉग वाई एक्स | लॉग(x,y) | लोगारित्म |
| मैं/द्वितीय | अतिरिक्त कार्यों को संक्षिप्त करें/कॉल करें | |
| इकाई | यूनिट कनवर्टर | |
| मैट्रिक्स | मैट्रिसेस | |
| हल करना | समीकरण और समीकरणों की प्रणाली | |
| ग्राफ़ | ||
| अतिरिक्त कार्य (कुंजी II के साथ कॉल करें) | ||
| आधुनिक | आधुनिक | शेषफल सहित विभाजन |
| ! | ! | कारख़ाने का |
| मैं/जे | मैं/जे | काल्पनिक इकाई |
| दोबारा | दोबारा() | संपूर्ण वास्तविक भाग को अलग करना |
| मैं हूँ | मैं हूँ() | वास्तविक भाग को छोड़कर |
| |x| | पेट() | संख्या मापांक |
| आर्ग | तर्क() | फ़ंक्शन तर्क |
| एन.सी.आर | एनसीआर() | द्विपद गुणांक |
| जी.सी.डी | जीसीडी() | जीसीडी |
| एलसीएम | एलसीएम() | अनापत्ति प्रमाण पत्र |
| जोड़ | जोड़() | सभी समाधानों का कुल मूल्य |
| एफ ए सी | फ़ैक्टराइज़() | मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया |
| अंतर | अंतर() | भेदभाव |
| डिग्री | डिग्री | |
| रेड | रेडियंस | |
इस वीडियो में हम रैखिक समीकरणों के पूरे सेट का विश्लेषण करेंगे जिन्हें एक ही एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किया जाता है - यही कारण है कि उन्हें सबसे सरल कहा जाता है।
सबसे पहले, आइए परिभाषित करें: एक रैखिक समीकरण क्या है और किसे सबसे सरल कहा जाता है?
एक रैखिक समीकरण वह होता है जिसमें केवल एक चर होता है, और केवल पहली डिग्री तक।
सबसे सरल समीकरण का अर्थ है निर्माण:
एल्गोरिथम का उपयोग करके अन्य सभी रैखिक समीकरणों को सरलतम बना दिया गया है:
- कोष्ठक, यदि कोई हो, विस्तृत करें;
- एक चर वाले पदों को समान चिह्न के एक ओर ले जाएँ, और बिना चर वाले पदों को दूसरी ओर ले जाएँ;
- समान चिह्न के बाएँ और दाएँ के लिए समान पद दीजिए;
- परिणामी समीकरण को चर $x$ के गुणांक से विभाजित करें।
बेशक, यह एल्गोरिथम हमेशा मदद नहीं करता है। तथ्य यह है कि कभी-कभी इन सभी साजिशों के बाद चर $x$ का गुणांक शून्य के बराबर हो जाता है। इस मामले में, दो विकल्प संभव हैं:
- समीकरण का कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, जब $0\cdot x=8$ जैसा कुछ निकलता है, यानी। बाईं ओर शून्य है, और दाईं ओर शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है। नीचे दिए गए वीडियो में हम कई कारणों पर गौर करेंगे कि यह स्थिति क्यों संभव है।
- समाधान सभी संख्याएँ हैं। यह एकमात्र मामला है जब यह संभव है जब समीकरण को निर्माण $0\cdot x=0$ में घटा दिया गया हो। यह बिल्कुल तार्किक है कि चाहे हम $x$ का स्थानापन्न कुछ भी करें, फिर भी यह "शून्य, शून्य के बराबर है" ही निकलेगा, अर्थात। सही संख्यात्मक समानता.
अब आइए देखें कि वास्तविक जीवन के उदाहरणों का उपयोग करके यह सब कैसे काम करता है।
समीकरण हल करने के उदाहरण
आज हम रैखिक समीकरणों और केवल सबसे सरल समीकरणों से निपट रहे हैं। सामान्य तौर पर, एक रैखिक समीकरण का मतलब किसी भी समानता से होता है जिसमें बिल्कुल एक चर होता है, और यह केवल पहली डिग्री तक जाता है।
ऐसे निर्माण लगभग उसी तरह हल किए जाते हैं:
- सबसे पहले, आपको कोष्ठक का विस्तार करना होगा, यदि कोई हो (जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है);
- फिर समान मिला लें
- अंत में, वेरिएबल को अलग करें, यानी वेरिएबल से जुड़ी हर चीज को - वे शब्द जिनमें यह निहित है - एक तरफ ले जाएं, और जो कुछ भी इसके बिना रहता है उसे दूसरी तरफ ले जाएं।
फिर, एक नियम के रूप में, आपको परिणामी समानता के प्रत्येक पक्ष पर समान लाने की आवश्यकता है, और उसके बाद जो कुछ बचा है उसे "x" के गुणांक से विभाजित करना है, और हमें अंतिम उत्तर मिलेगा।
सिद्धांत रूप में, यह अच्छा और सरल दिखता है, लेकिन व्यवहार में, अनुभवी हाई स्कूल के छात्र भी काफी सरल रैखिक समीकरणों में आक्रामक गलतियाँ कर सकते हैं। आमतौर पर, त्रुटियाँ या तो कोष्ठक खोलते समय या "प्लस" और "माइनस" की गणना करते समय की जाती हैं।
इसके अलावा, ऐसा होता है कि एक रैखिक समीकरण का कोई समाधान नहीं होता है, या समाधान पूरी संख्या रेखा होती है, यानी। कोई भी संख्या. आज के पाठ में हम इन सूक्ष्मताओं पर गौर करेंगे। लेकिन हम शुरुआत करेंगे, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, उसी से सरल कार्य.
सरल रैखिक समीकरणों को हल करने की योजना
सबसे पहले, मैं एक बार फिर सरलतम रैखिक समीकरणों को हल करने की पूरी योजना लिखूंगा:
- कोष्ठक का विस्तार करें, यदि कोई हो।
- हम चरों को अलग करते हैं, अर्थात्। हम हर उस चीज़ को एक तरफ ले जाते हैं जिसमें "X" है, और हर चीज़ को बिना "X" के दूसरी तरफ ले जाते हैं।
- हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं।
- हम हर चीज़ को "x" के गुणांक से विभाजित करते हैं।
बेशक, यह योजना हमेशा काम नहीं करती है; इसमें कुछ बारीकियाँ और तरकीबें हैं, और अब हम उन्हें जानेंगे।
सरल रैखिक समीकरणों के वास्तविक उदाहरणों को हल करना
कार्य क्रमांक 1
पहले चरण में हमें कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है। लेकिन वे इस उदाहरण में नहीं हैं, इसलिए हम इस चरण को छोड़ देते हैं। दूसरे चरण में हमें वेरिएबल्स को अलग करने की आवश्यकता है। कृपया ध्यान दें: हम केवल व्यक्तिगत शब्दों के बारे में बात कर रहे हैं। आइए इसे लिखें:
हम बाएँ और दाएँ समान शब्द प्रस्तुत करते हैं, लेकिन यह यहाँ पहले ही किया जा चुका है। इसलिए, हम चौथे चरण पर आगे बढ़ते हैं: गुणांक से विभाजित करें:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
तो हमें जवाब मिल गया.
कार्य क्रमांक 2
हम इस समस्या में कोष्ठक देख सकते हैं, तो आइए उनका विस्तार करें:
बाईं ओर और दाईं ओर दोनों पर हम लगभग एक ही डिज़ाइन देखते हैं, लेकिन आइए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करें, अर्थात। चरों को अलग करना:
यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:
यह किन जड़ों पर काम करता है? उत्तर: किसी के लिए. इसलिए, हम लिख सकते हैं कि $x$ कोई भी संख्या है।
कार्य क्रमांक 3
तीसरा रैखिक समीकरण अधिक दिलचस्प है:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
कई कोष्ठक हैं, लेकिन उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जाता है, वे बस उनके पहले होते हैं विभिन्न संकेत. आइए उन्हें तोड़ें:
हम दूसरा चरण करते हैं जो हमें पहले से ही ज्ञात है:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
आइए गणित करें:
हम अंतिम चरण अपनाते हैं - हर चीज़ को "x" के गुणांक से विभाजित करते हैं:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
रैखिक समीकरणों को हल करते समय याद रखने योग्य बातें
यदि हम बहुत सरल कार्यों को नजरअंदाज करते हैं, तो मैं निम्नलिखित कहना चाहूंगा:
- जैसा कि मैंने ऊपर कहा, प्रत्येक रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं होता - कभी-कभी कोई मूल ही नहीं होता;
- यदि जड़ें हैं भी, तो उनमें शून्य भी हो सकता है - इसमें कुछ भी गलत नहीं है।
शून्य अन्य संख्याओं के समान ही है; आपको इसके साथ किसी भी तरह का भेदभाव नहीं करना चाहिए या यह नहीं मानना चाहिए कि यदि आपको शून्य मिलता है, तो आपने कुछ गलत किया है।
एक अन्य विशेषता कोष्ठक के खुलने से संबंधित है। कृपया ध्यान दें: जब उनके सामने "माइनस" होता है, तो हम उसे हटा देते हैं, लेकिन कोष्ठक में हम संकेतों को बदल देते हैं विलोम. और फिर हम इसे मानक एल्गोरिदम का उपयोग करके खोल सकते हैं: हमें वही मिलेगा जो हमने ऊपर की गणना में देखा था।
इसे समझना साधारण तथ्यइससे आप हाई स्कूल में मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियाँ करने से बच सकेंगे, जब ऐसे कार्यों को हल्के में लिया जाता है।
जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना
चलिए और अधिक की ओर बढ़ते हैं जटिल समीकरण. अब निर्माण अधिक जटिल हो जाएंगे और विभिन्न परिवर्तन करते समय एक द्विघात फलन दिखाई देगा। हालाँकि, हमें इससे डरना नहीं चाहिए, क्योंकि यदि, लेखक की योजना के अनुसार, हम एक रैखिक समीकरण को हल कर रहे हैं, तो परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान द्विघात फलन वाले सभी एकपदी निश्चित रूप से रद्द हो जाएंगे।
उदाहरण क्रमांक 1
जाहिर है, पहला कदम कोष्ठक खोलना है। आइए इसे बहुत सावधानी से करें:
आइए अब गोपनीयता पर एक नजर डालते हैं:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:
जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, इसलिए हम इसे उत्तर में लिखेंगे:
\[\कुछ भी नहीं\]
या कोई जड़ें नहीं हैं.
उदाहरण क्रमांक 2
हम वही क्रियाएं करते हैं. पहला कदम:
आइए एक वेरिएबल के साथ सब कुछ बाईं ओर ले जाएं, और इसके बिना - दाईं ओर:
यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:
जाहिर है, इस रैखिक समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिखेंगे:
\[\कुछ नहीं\],
या कोई जड़ें नहीं हैं.
समाधान की बारीकियां
दोनों समीकरण पूर्णतः हल हो गये हैं। उदाहरण के रूप में इन दो अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हुए, हम एक बार फिर आश्वस्त हो गए कि सबसे सरल रैखिक समीकरणों में भी, सब कुछ इतना सरल नहीं हो सकता है: या तो एक, या कोई नहीं, या अनंत रूप से कई जड़ें हो सकती हैं। हमारे मामले में, हमने दो समीकरणों पर विचार किया, जिनमें से दोनों की जड़ें ही नहीं हैं।
लेकिन मैं आपका ध्यान एक अन्य तथ्य की ओर आकर्षित करना चाहूंगा: कोष्ठकों के साथ कैसे काम करें और यदि उनके सामने ऋण चिह्न हो तो उन्हें कैसे खोलें। इस अभिव्यक्ति पर विचार करें:
खोलने से पहले, आपको हर चीज़ को "X" से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें: गुणा करता है प्रत्येक व्यक्तिगत पद. अंदर दो पद हैं - क्रमशः, दो पद और गुणा।
और इन प्रतीत होने वाले प्राथमिक, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण और खतरनाक परिवर्तनों के पूरा होने के बाद ही, क्या आप इस तथ्य के दृष्टिकोण से ब्रैकेट खोल सकते हैं कि इसके बाद एक ऋण चिह्न है। हाँ, हाँ: केवल अब, जब परिवर्तन पूरे हो जाते हैं, तो हमें याद आता है कि कोष्ठक के सामने एक ऋण चिह्न है, जिसका अर्थ है कि नीचे सब कुछ बस चिह्न बदलता है। उसी समय, कोष्ठक स्वयं गायब हो जाते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, सामने वाला "माइनस" भी गायब हो जाता है।
हम दूसरे समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं:
यह कोई संयोग नहीं है कि मैं इन छोटे, महत्वहीन लगने वाले तथ्यों पर ध्यान देता हूं। क्योंकि समीकरणों को हल करना हमेशा प्रारंभिक परिवर्तनों का एक क्रम होता है, जहां स्पष्ट रूप से और सक्षम रूप से सरल कार्यों को करने में असमर्थता इस तथ्य की ओर ले जाती है कि हाई स्कूल के छात्र मेरे पास आते हैं और फिर से ऐसे सरल समीकरणों को हल करना सीखते हैं।
निःसंदेह, वह दिन आएगा जब आप इन कौशलों को स्वचालितता की हद तक निखार लेंगे। अब आपको हर बार इतने सारे परिवर्तन नहीं करने पड़ेंगे, आप सब कुछ एक पंक्ति में लिखेंगे। लेकिन जब आप अभी सीख रहे हैं, तो आपको प्रत्येक क्रिया को अलग से लिखना होगा।
और भी अधिक जटिल रैखिक समीकरणों को हल करना
अब हम जो हल करने जा रहे हैं उसे शायद ही सबसे सरल कार्य कहा जा सकता है, लेकिन अर्थ वही रहता है।
कार्य क्रमांक 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
आइए पहले भाग के सभी तत्वों को गुणा करें:
आइए कुछ गोपनीयता बरतें:
यहाँ कुछ ऐसे ही हैं:
आइए अंतिम चरण पूरा करें:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
यहाँ हमारा अंतिम उत्तर है. और, इस तथ्य के बावजूद कि हल करने की प्रक्रिया में हमारे पास द्विघात फलन वाले गुणांक थे, उन्होंने एक-दूसरे को रद्द कर दिया, जो समीकरण को द्विघात नहीं बल्कि रैखिक बनाता है।
कार्य क्रमांक 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
आइए पहले चरण को ध्यानपूर्वक पूरा करें: पहले ब्रैकेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे ब्रैकेट के प्रत्येक तत्व से गुणा करें। परिवर्तनों के बाद कुल चार नए पद होने चाहिए:
आइए अब प्रत्येक पद में सावधानीपूर्वक गुणन करें:
आइए "X" वाले शब्दों को बाईं ओर और बिना वाले शब्दों को दाईं ओर ले जाएं:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
यहाँ समान शब्द हैं:
एक बार फिर हमें अंतिम उत्तर मिल गया है.
समाधान की बारीकियां
इन दो समीकरणों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण नोट निम्नलिखित है: जैसे ही हम उन कोष्ठकों को गुणा करना शुरू करते हैं जिनमें एक से अधिक पद होते हैं, यह निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: हम पहले से पहला पद लेते हैं और प्रत्येक तत्व से गुणा करते हैं दूसरा; फिर हम पहले से दूसरा तत्व लेते हैं और इसी तरह दूसरे तत्व से प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास चार पद होंगे।
बीजगणितीय योग के बारे में
इस अंतिम उदाहरण के साथ, मैं छात्रों को याद दिलाना चाहूंगा कि बीजगणितीय योग क्या है। शास्त्रीय गणित में, $1-7$ से हमारा तात्पर्य है सरल डिज़ाइन: एक में से सात घटाएं. बीजगणित में, इससे हमारा तात्पर्य निम्नलिखित है: संख्या "एक" में हम एक और संख्या जोड़ते हैं, जिसका नाम है "शून्य सात"। इस प्रकार एक बीजगणितीय योग एक सामान्य अंकगणितीय योग से भिन्न होता है।
जैसे ही, सभी परिवर्तन, प्रत्येक जोड़ और गुणन करते समय, आपको ऊपर वर्णित संरचनाओं के समान संरचनाएं दिखाई देने लगती हैं, आपको बहुपदों और समीकरणों के साथ काम करते समय बीजगणित में कोई समस्या नहीं होगी।
अंत में, आइए कुछ और उदाहरण देखें जो हमारे द्वारा अभी देखे गए से भी अधिक जटिल होंगे, और उन्हें हल करने के लिए हमें अपने मानक एल्गोरिदम को थोड़ा विस्तारित करना होगा।
भिन्न वाले समीकरणों को हल करना
ऐसे कार्यों को हल करने के लिए हमें अपने एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ना होगा। लेकिन पहले, मैं आपको हमारे एल्गोरिदम की याद दिला दूं:
- कोष्ठक खोलें.
- अलग चर.
- समान लाओ.
- अनुपात से विभाजित करें.
अफसोस, यह अद्भुत एल्गोरिदम, अपनी सभी प्रभावशीलता के बावजूद, पूरी तरह से उपयुक्त नहीं साबित होता है जब हमारे सामने भिन्न होते हैं। और जो हम नीचे देखेंगे, उसमें दोनों समीकरणों में बाएँ और दाएँ दोनों तरफ एक भिन्न है।
इस मामले में कैसे काम करें? हाँ, यह बहुत आसान है! ऐसा करने के लिए, आपको एल्गोरिदम में एक और कदम जोड़ने की आवश्यकता है, जिसे पहली क्रिया से पहले और उसके बाद दोनों में किया जा सकता है, अर्थात् भिन्नों से छुटकारा पाएं। तो एल्गोरिथ्म इस प्रकार होगा:
- भिन्नों से छुटकारा पाएं.
- कोष्ठक खोलें.
- अलग चर.
- समान लाओ.
- अनुपात से विभाजित करें.
"भिन्नों से छुटकारा पाने" का क्या मतलब है? और यह पहले मानक चरण के बाद और पहले दोनों समय क्यों किया जा सकता है? वास्तव में, हमारे मामले में, सभी भिन्न अपने हर में संख्यात्मक हैं, अर्थात। हर जगह हर एक संख्या ही है. इसलिए, यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों को इस संख्या से गुणा करें, तो हमें भिन्नों से छुटकारा मिल जाएगा।
उदाहरण क्रमांक 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
आइए इस समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाएं:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
कृपया ध्यान दें: प्रत्येक चीज़ को एक बार "चार" से गुणा किया जाता है, अर्थात। सिर्फ इसलिए कि आपके पास दो कोष्ठक हैं इसका मतलब यह नहीं है कि आपको प्रत्येक को "चार" से गुणा करना होगा। आइए लिखें:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
अब आइए विस्तार करें:
हम चर को अलग करते हैं:
हम समान शर्तों की कमी करते हैं:
\[-4x=-1\बाएँ| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
हमें अंतिम समाधान मिल गया है, आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं।
उदाहरण क्रमांक 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
यहां हम वही सभी क्रियाएं करते हैं:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
समस्या हल हो गई है.
वास्तव में, मैं आज आपको बस यही बताना चाहता था।
प्रमुख बिंदु
मुख्य निष्कर्ष हैं:
- रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम को जानें।
- कोष्ठक खोलने की क्षमता.
- यदि आप देखें तो चिंता न करें द्विघात कार्य, सबसे अधिक संभावना है, आगे के परिवर्तनों की प्रक्रिया में वे कम हो जाएंगे।
- रैखिक समीकरणों में तीन प्रकार की जड़ें होती हैं, यहां तक कि सबसे सरल भी: एक एकल जड़, पूरी संख्या रेखा एक जड़ होती है, और कोई जड़ नहीं होती।
मुझे आशा है कि यह पाठ आपको संपूर्ण गणित को और अधिक समझने के लिए एक सरल, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण विषय पर महारत हासिल करने में मदद करेगा। यदि कुछ स्पष्ट नहीं है तो साइट पर जाएं और वहां प्रस्तुत उदाहरणों को हल करें। देखते रहिए, कई और दिलचस्प चीज़ें आपका इंतज़ार कर रही हैं!
द्विघात समीकरणों का अध्ययन 8वीं कक्षा में किया जाता है, इसलिए यहां कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता नितांत आवश्यक है।
द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a, b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a ≠ 0 है।
विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:
- कोई जड़ नहीं है;
- बिलकुल एक जड़ हो;
- उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।
यह द्विघात समीकरणों और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। यह कैसे निर्धारित करें कि किसी समीकरण के कितने मूल हैं? इसके लिए एक अद्भुत बात है - विभेदक.
विभेदक
मान लीजिए द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।
आपको इस सूत्र को दिल से जानना होगा। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है. एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:
- यदि डी< 0, корней нет;
- यदि D = 0, तो वास्तव में एक ही मूल है;
- यदि D > 0, तो दो जड़ें होंगी।
कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, न कि उनके संकेतों को, जैसा कि किसी कारण से कई लोग मानते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप स्वयं सब कुछ समझ जाएंगे:
काम। द्विघात समीकरण के कितने मूल होते हैं:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
आइए पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखें और विवेचक खोजें:
ए = 1, बी = −8, सी = 12;
डी = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
इसलिए विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण के दो अलग-अलग मूल हैं। हम दूसरे समीकरण का विश्लेषण इसी प्रकार करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
विवेचक नकारात्मक है, कोई जड़ें नहीं हैं। शेष अंतिम समीकरण है:
ए = 1; बी = −6; सी = 9;
डी = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
विभेदक शून्य है - जड़ एक होगी।
कृपया ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हाँ, यह लंबा है, हाँ, यह थकाऊ है, लेकिन आप बाधाओं को मिश्रित नहीं करेंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।
वैसे, यदि आप इसे समझ लें, तो कुछ समय बाद आपको सभी गुणांकों को लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने दिमाग में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। अधिकांश लोग 50-70 समीकरण हल करने के बाद कहीं न कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, उतना नहीं।
द्विघात समीकरण की जड़ें
अब चलिए समाधान की ओर ही बढ़ते हैं। यदि विवेचक D > 0 है, तो मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:
द्विघात समीकरण के मूलों के लिए मूल सूत्र
जब D = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलेगी, जो उत्तर होगी। अंततः, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
पहला समीकरण:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; बी = −2; सी = −3;
डी = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें खोजें:
दूसरा समीकरण:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; बी = −2; सी = 15;
डी = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ समीकरण के फिर से दो मूल हैं। आइए उन्हें खोजें
\[\begin(संरेखित करें) और ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(संरेखित करें)\]
अंत में, तीसरा समीकरण:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ समीकरण का एक मूल है। किसी भी फॉर्मूले का उपयोग किया जा सकता है. उदाहरण के लिए, पहला वाला:
जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनती कर सकते हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित करते समय त्रुटियाँ होती हैं। यहां फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को लिखें - और बहुत जल्द आपको गलतियों से छुटकारा मिल जाएगा।
अपूर्ण द्विघात समीकरण
ऐसा होता है कि एक द्विघात समीकरण परिभाषा में दिए गए समीकरण से थोड़ा अलग होता है। उदाहरण के लिए:
- एक्स 2 + 9एक्स = 0;
- एक्स 2 − 16 = 0.
यह नोटिस करना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। ऐसे द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान होता है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं होती है। तो, आइए एक नई अवधारणा का परिचय दें:
समीकरण ax 2 + bx + c = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि b = 0 या c = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।
बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b = c = 0. इस मामले में, समीकरण ax 2 = 0 का रूप लेता है। जाहिर है, ऐसे समीकरण का एक ही मूल होता है: x = 0.
आइए शेष मामलों पर विचार करें। मान लीजिए b = 0, तो हमें ax 2 + c = 0 के रूप का एक अधूरा द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:
अंकगणित के बाद से वर्गमूलकेवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद है, अंतिम समानता केवल (−c /a) ≥ 0 के लिए समझ में आती है। निष्कर्ष:
- यदि ax 2 + c = 0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण में असमानता (−c /a) ≥ 0 संतुष्ट है, तो दो जड़ें होंगी। सूत्र ऊपर दिया गया है;
- यदि (−c /a)< 0, корней нет.
जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण में द्विघातीय समीकरणइसमें कोई भी जटिल गणना नहीं है। वास्तव में, असमानता (−c /a) ≥ 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और यह देखने के लिए पर्याप्त है कि समान चिह्न के दूसरी तरफ क्या है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो जड़ें होंगी। यदि यह नकारात्मक है, तो कोई जड़ें नहीं होंगी।
अब आइए ax 2 + bx = 0 के रूप के समीकरण देखें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:
सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालनाजब कम से कम एक कारक शून्य हो तो उत्पाद शून्य होता है। यहीं से जड़ें आती हैं। अंत में, आइए इनमें से कुछ समीकरणों पर नजर डालें:
काम। द्विघात समीकरण हल करें:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि एक वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 = −1.5.
