डमी के लिए उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना। विषय पर बीजगणित (ग्रेड 10) में पद्धतिगत विकास: उच्च डिग्री के समीकरण

सामान्य तौर पर, 4 से अधिक डिग्री वाले समीकरण को रेडिकल में हल नहीं किया जा सकता है। लेकिन कभी-कभी हम उच्चतम डिग्री के समीकरण में बाईं ओर बहुपद की जड़ों को ढूंढ सकते हैं, अगर हम इसे अधिकतम 4 डिग्री में बहुपद के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करते हैं। ऐसे समीकरणों का समाधान बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित होता है, इसलिए हम आपको इस लेख का अध्ययन करने से पहले इस विषय को दोहराने की सलाह देते हैं।

अक्सर, किसी को समीकरणों से निपटना पड़ता है उच्च डिग्रीपूर्णांक गुणांक के साथ। इन मामलों में, हम खोजने की कोशिश कर सकते हैं तर्कसंगत जड़ें, और फिर बहुपद को एक निम्न डिग्री के समीकरण में बदलने के लिए कारक करें, जिसे हल करना आसान होगा। इस सामग्री के ढांचे के भीतर, हम ऐसे उदाहरणों पर विचार करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

पूर्णांक गुणांक के साथ उच्चतम डिग्री के समीकरण

फॉर्म के सभी समीकरण a n x n + a n - 1 x n - 1 +। ... ... + a 1 x + a 0 = 0, हम दोनों पक्षों को n n - 1 से गुणा करके और प्रतिस्थापित करके एक ही डिग्री के समीकरण को कम कर सकते हैं रूप का चरवाई = एक एन एक्स:

ए एन एक्स एन + ए एन -1 एक्स एन -1 +। ... ... + ए 1 एक्स + ए 0 = 0 एन एक्सएन + एन -1 एन -1 एक्सएन -1 +… + ए 1 (ए) एन -1 एक्स + ए 0 (ए) एन -1 = 0 वाई = चिंता ⇒ yn + बीएन -1 वाईएन -1 +… + बी 1 वाई + बी 0 = 0

परिणामी गुणांक भी पूरे होंगे। इस प्रकार, हमें पूर्णांक गुणांकों के साथ nवीं डिग्री के घटे हुए समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी, जिसका रूप x n + a n x n - 1 +… + a 1 x + a 0 = 0 है।

हम समीकरण की संपूर्ण जड़ों की गणना करते हैं। यदि समीकरण में पूर्णांक मूल हैं, तो आपको उन्हें मुक्त पद a 0 के भाजक के बीच खोजने की आवश्यकता है। आइए हम उन्हें लिख लें और परिणाम की जाँच करते हुए, बदले में उन्हें मूल समानता में बदल दें। एक बार जब हम एक पहचान प्राप्त कर लेते हैं और समीकरण की जड़ों में से एक पाते हैं, तो हम इसे x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 के रूप में लिख सकते हैं। यहाँ x 1 समीकरण का मूल है, और P n - 1 (x) x n + a n x n - 1 +… + a 1 x + a 0 को x - x 1 से विभाजित करने का भागफल है।

P n - 1 (x) = 0 में लिखे गए शेष भाजक को x 1 से शुरू करके रखें, क्योंकि जड़ों को दोहराया जा सकता है। पहचान प्राप्त करने के बाद, रूट x 2 को पाया जाता है, और समीकरण को (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ P n - 2 ( x) P n - 1 (x) को x - x 2 से विभाजित करने का भागफल होगा।

हम भाजक पर पुनरावृति करना जारी रखते हैं। सभी पूर्ण मूल ज्ञात कीजिए और उनकी संख्या को m से निरूपित कीजिए। उसके बाद, मूल समीकरण को x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · P n - m (x) = 0 के रूप में दर्शाया जा सकता है। यहाँ P n - m (x) घात n - m का एक बहुपद है। मतगणना के लिए हॉर्नर योजना का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

यदि हमारे मूल समीकरण में पूर्णांक गुणांक हैं, तो हम भिन्नात्मक जड़ों के साथ समाप्त नहीं हो सकते।

परिणामस्वरूप, हमें समीकरण P n - m (x) = 0 प्राप्त हुआ, जिसके मूल किसी के द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं। सुविधाजनक तरीके से... वे तर्कहीन या जटिल हो सकते हैं।

आइए हम एक विशिष्ट उदाहरण के साथ दिखाएं कि ऐसी समाधान योजना कैसे लागू की जाती है।

उदाहरण 1

शर्त:समीकरण x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 का हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए पूरी जड़ों को ढूंढकर शुरू करें।

हमारे पास माइनस थ्री के बराबर एक फ्री टर्म है। इसमें 1, - 1, 3, और - 3 के भाजक हैं। आइए उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें और देखें कि उनमें से किसका परिणाम सर्वसमिका में होगा।

एक्स के लिए, एक के बराबर, हमें 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 मिलता है, जिसका अर्थ है कि एक इस समीकरण का मूल होगा।

अब हम एक कॉलम में बहुपद x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 को (x - 1) से भाग करते हैं:

अत: x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3।

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

हमने एक सर्वसमिका प्राप्त की है, जिसका अर्थ है कि हमें समीकरण का एक और मूल मिला है, जो -1 के बराबर है।

एक कॉलम में बहुपद x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 को (x + 1) से विभाजित करें:

हमें वह मिलता है

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

अगले भाजक को समानता x 2 + x + 3 = 0 में रखें, जो - 1 से शुरू होता है:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

परिणामी समानताएं गलत होंगी, जिसका अर्थ है कि समीकरण में अब अभिन्न जड़ें नहीं हैं।

शेष मूल व्यंजक x 2 + x + 3 के मूल होंगे।

डी = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

इससे यह पता चलता है कि इस वर्ग ट्रिनोमियल की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन जटिल संयुग्म हैं: x = - 1 2 ± i 11 2.

आइए स्पष्ट करें कि लंबे विभाजन के बजाय, हम हॉर्नर की योजना का उपयोग कर सकते हैं। यह इस तरह किया जाता है: समीकरण की पहली जड़ निर्धारित करने के बाद, हम तालिका भरते हैं।

गुणांक की तालिका में, हम तुरंत बहुपदों के विभाजन के भागफल के गुणांक देख सकते हैं, जिसका अर्थ है कि x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x +3

अगले मूल को -1 के बराबर खोजने के बाद, हमें निम्नलिखित मिलता है:

उत्तर:एक्स = - 1, एक्स = 1, एक्स = - 1 2 ± मैं 11 2.

उदाहरण 2

शर्त:समीकरण x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 को हल करें।

समाधान

मुक्त पद के भाजक 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12 हैं।

हम उन्हें क्रम में जांचते हैं:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

अत: x = 2 समीकरण का मूल होगा। हॉर्नर योजना का उपयोग करके x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 को x - 2 से भाग दें:

परिणामस्वरूप, हमें x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 प्राप्त होता है।

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

अत: 2 पुनः एक मूल होगा। x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 को x - 2 से भाग दें:

परिणामस्वरूप, हमें (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 प्राप्त होता है।

शेष भाजक की जाँच करने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि समानता x 2 + 3 x + 3 = 0 विवेचक का उपयोग करके हल करने के लिए तेज़ और अधिक सुविधाजनक है।

हम हल करेंगे द्विघात समीकरण:

एक्स 2 + 3 एक्स + 3 = 0 डी = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

हमें जड़ों की एक जटिल संयुग्म जोड़ी मिलती है: x = - 3 2 ± i 3 2।

उत्तर: x = - 3 2 ± मैं 3 2.

उदाहरण 3

शर्त:समीकरण x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

हम समीकरण के दोनों पक्षों का गुणन 2 3 करते हैं:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

चर y = 2 x बदलें:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

नतीजतन, हमें चौथी डिग्री का एक मानक समीकरण मिला, जिसे हल किया जा सकता है मानक योजना... आइए भाजक की जाँच करें, विभाजित करें और अंत में प्राप्त करें कि इसके 2 वास्तविक मूल y = - 2, y = 3 और दो जटिल मूल हैं। हम यहां पूरा समाधान पेश नहीं करेंगे। प्रतिस्थापन के कारण इस समीकरण के वास्तविक मूल x = y 2 = - 2 2 = - 1 और x = y 2 = 3 2 होंगे।

उत्तर: x 1 = - 1, x 2 = 3 2

यदि आपको टेक्स्ट में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे चुनें और Ctrl + Enter दबाएं

प्रस्तुतियों के पूर्वावलोकन का उपयोग करने के लिए, स्वयं एक खाता बनाएं ( लेखा) गूगल और उसमें लॉग इन करें: https://accounts.google.com

स्लाइड कैप्शन:

उच्च डिग्री के समीकरण (एक चर में बहुपद की जड़ें)।

योजना व्याख्यान। नंबर 1। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में उच्चतम डिग्री के समीकरण। नंबर 2। बहुपद का मानक रूप। № 3. एक बहुपद के समाकलन मूल। हॉर्नर की योजना। № 4. एक बहुपद के भिन्नात्मक मूल। 5. फॉर्म के समीकरण: (x + a) (x + b) (x + c)… = A № 6. रिटर्न समीकरण। № 7. सजातीय समीकरण। № 8. अपरिभाषित गुणांक की विधि। नंबर 9. कार्यात्मक रूप से - चित्रमय विधि... 10. उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए वीटा के सूत्र। № 11. उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके।

स्कूल गणित पाठ्यक्रम में उच्चतम डिग्री के समीकरण। 7 वीं कक्षा। बहुपद का मानक रूप। बहुपद के साथ क्रियाएँ। बहुपद का गुणनखंडन करना। नियमित कक्षा में 42 घंटे, विशेष कक्षा में 56 घंटे। 8 विशेष वर्ग। एक बहुपद की पूर्णांक जड़ें, बहुपदों का विभाजन, आवर्तक समीकरण, अंतर और एक द्विपद की n - th शक्तियों का योग, अपरिभाषित गुणांक की विधि। यू.एन. मकारिचेव "8 वीं कक्षा के बीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम में अतिरिक्त अध्याय", एमएलगैलिट्स्की बीजगणित 8 वीं - 9 वीं कक्षा में समस्याओं का संग्रह। 9 विशेष वर्ग। एक बहुपद की परिमेय जड़ें। सामान्यीकृत वापसी समीकरण। उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए वीटा के सूत्र। एन. हां. विलेनकिन "ग्रेड 9 बीजगणित गहन अध्ययन के साथ। 11 विशेष वर्ग। बहुपदों की पहचान। कई चरों में बहुपद। कार्यात्मक - उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय विधि।

बहुपद का मानक रूप। बहुपद P (x) = a x ⁿ + a n-1 x n-1 +… + a₂x + a₁x + a₀। इसे मानक बहुपद कहते हैं। a n x बहुपद का उच्चतम पद है और n बहुपद के उच्चतम पद का गुणांक है। n = 1 के लिए, P (x) को घटा हुआ बहुपद कहा जाता है। और ₀ बहुपद P (x) का मुक्त पद है। n बहुपद की घात है।

एक बहुपद की पूर्णांक जड़ें। हॉर्नर की योजना। प्रमेय संख्या 1. यदि एक पूर्णांक a बहुपद P (x) का मूल है, तो a मुक्त पद P (x) का भाजक है। उदाहरण संख्या 1। प्रश्न हल करें। X⁴ + 2x³ = 11x² - 4x - 4 आइए समीकरण को में लाएं मानक दृश्य... X⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. हमारे पास बहुपद P (x) = x + 2x³ - 11x² + 4x + 4 मुक्त पद के विभाजन हैं: ± 1, ± 2, ± 4। x = समीकरण का 1 मूल क्योंकि P (1) = 0, x = 2 समीकरण का मूल है क्योंकि पी (2) = 0 बेज़ौट का प्रमेय। बहुपद P (x) को द्विपद (x - a) से भाग देने पर शेषफल P (a) के बराबर होता है। परिणाम। यदि a बहुपद P (x) का एक मूल है, तो P (x) (x - a) से विभाज्य है। हमारे समीकरण में, P (x) (x - 1) और (x - 2) से विभाज्य है, और इसलिए (x - 1) (x - 2) से विभाज्य है। जब भागफल में P (x) को (x - 3x + 2) से विभाजित किया जाता है, तो हमें एक त्रिपद x + 5x + 2 = 0 प्राप्त होता है, जिसका मूल x = (- 5 ± √17)/2 होता है।

एक बहुपद की भिन्नात्मक जड़ें। प्रमेय # 2। यदि p/g बहुपद P (x) का मूल है, तो p मुक्त पद का भाजक है, g प्रमुख पद P (x) के गुणांक का भाजक है। उदाहरण # 2. समीकरण को हल करें। 6x³ - 11x² - 2x + 8 = 0. फ्री टर्म डिवाइडर: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8। इनमें से कोई भी संख्या समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है। कोई बरकरार जड़ें नहीं हैं। प्रमुख पद P (x) के गुणांक के प्राकृतिक भाजक: 1, 2, 3, 6. समीकरण के संभावित भिन्नात्मक मूल: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि P (4/3) = 0. X = 4/3 समीकरण का मूल है। हॉर्नर की योजना के अनुसार, हम P (x) को (x - 4/3) से विभाजित करते हैं।

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण। समीकरणों को हल करें: 9x³ - 18x = x - 2, x - x ² = x - 1, x - 3x² -3x + 1 = 0, X ⁴ - 2x³ + 2x - 1 = 0, X⁴ - 3x² + 2 = 0, x ⁵ + 5x³ - 6x² = 0, x + 4x² + 5x + 2 = 0, X⁴ + 4x³ - x ² - 16x - 12 = 0 4x³ + x ² - x + 5 = 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 = 0. उत्तर: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± 3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± 2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -1; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; 1.

फॉर्म के समीकरण (x + a) (x + b) (x + c) (x + d)… = A. उदाहरण №3। समीकरण (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24 को हल करें। ए = 1, बी = 2, सी = 3, डी = 4 ए + डी = बी + सी। हम पहले ब्रैकेट को चौथे से और दूसरे को तीसरे से गुणा करते हैं। (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) = 24. (x + 5x + 4) (x + 5x + 6) = 24. मान लीजिए x + 5x + 4 = y , तो y (y + 2) = 24, y² + 2y - 24 = 0 y₁ = - 6, y₂ = 4.x² + 5x + 4 = -6 या x² + 5x + 4 = 4.x² + 5x + 10 = 0, डी

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण। (एक्स + 1) (एक्स + 3) (एक्स + 5) (एक्स + 7) = -15, एक्स (एक्स + 4) (एक्स + 5) (एक्स + 9) + 96 = 0, एक्स (एक्स + 3) ) (x + 5) (x + 8) + 56 = 0, (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) = 24, (x - 3) (x -4) ( एक्स - 5) (एक्स - 6) = 1680, (एक्स - 5x) (एक्स + 3) (एक्स - 8) + 108 = 0, (एक्स + 4) ² (एक्स + 10) (एक्स - 2) + 243 = 0 (x + 3x + 2) (x + 9x + 20) = 4, संकेत: x + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2), x + 9x + 20 = (x + 4) (x + 5) उत्तर: 1) -4 ± 6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± 97) / 2 7) -7; -1; -4 ± 3।

रिफ्लेक्टिव समीकरण। परिभाषा # 1. फॉर्म का एक समीकरण: ax⁴ + in + cx ² + in + a = 0 को चौथी डिग्री का रिटर्न समीकरण कहा जाता है। परिभाषा संख्या 2. फॉर्म का एक समीकरण: ah⁴ + bx + cx + bx + k² a = 0 को चौथी डिग्री का सामान्यीकृत रिटर्न समीकरण कहा जाता है। के² ए: ए = के²; केवी: वी = के। उदाहरण संख्या 6। समीकरण x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0 को हल करें। समीकरण के दोनों पक्षों को x से विभाजित करें। x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x = 0, (x + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 = 0. मान लीजिए x + 1 / x = y। हम समानता के दोनों पक्षों को चौकोर करते हैं। x ² + 2 + 1 / x = y², x + 1 / x ² = y² - 2. हमें द्विघात समीकरण y² - 7y + 12 = 0, y₁ = 3, y₂ = 4 मिलता है। x + 1 / x = 3 या x + 1 / x = 4. हमें दो समीकरण मिलते हैं: x - 3x + 1 = 0, x - 4x + 1 = 0। उदाहरण №7। 3x⁴ - 2x³ - 31x² + 10x + 75 = 0. 75: 3 = 25, 10: (- 2) = -5, (-5) = 25. सामान्यीकृत रिटर्न समीकरण की शर्त पूरी होती है k = -5। उदाहरण संख्या 6 के समान हल किया गया। समीकरण के दोनों पक्षों को x से भाग दें। 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x = 0.3 (x + 25 / x ) - 2 (x - 5 / x) - 31 = 0. मान लीजिए x - 5 / x = y, हम वर्ग समानता के दोनों पक्ष x - 10 + 25 / x ² = y², x + 25 / x = y² + 10. हमारे पास द्विघात समीकरण 3y² - 2y - 1 = 0, y₁ = 1, y₂ = - 1 है। / 3. एक्स - 5 / एक्स = 1 या एक्स - 5 / एक्स = -1/3। हमें दो समीकरण मिलते हैं: x - x - 5 = 0 और 3x² + x - 15 = 0

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण। 1.78x⁴ - 133x³ + 78x² - 133x + 78 = 0, 2.x - 5x³ + 10x² - 10x + 4 = 0, 3.x ⁴ - x ³ - 10x² + 2x + 4 = 0, 4.6x⁴ + 5x³ - 38x² - 10x + 24 = 0.5 x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0.6 x - 5x³ + 10x² -10x + 4 = 0. उत्तर: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± 3; (3 ± 17) / 2, 4) -1 ± 3; (7 ± 337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± 17) / 2, 6) 1; 2.

सजातीय समीकरण। परिभाषा। a₀ u³ + a₁ u² v + a₂ uv² + a₃ v³ = 0 के रूप का एक समीकरण uv के संबंध में तीसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण कहलाता है। परिभाषा। a₀ u⁴ + a₁ u³v + a₂ u²v² + a₃ uv³ + a₄ v⁴ = 0 के रूप का एक समीकरण uv के संबंध में चौथी डिग्री का सजातीय समीकरण कहलाता है। उदाहरण संख्या 8। समीकरण को हल करें (x - x + 1) ³ + 2x⁴ (x - x + 1) - 3x⁶ = 0 सजातीय समीकरण u = x - x + 1, v = x के संबंध में तीसरी डिग्री। हम समीकरण के दोनों पक्षों को x से विभाजित करते हैं। हमने पहले ही जाँच कर ली थी कि x = 0 समीकरण का मूल नहीं है। (x - x + 1 / x ) + 2 (x - x + 1 / x ) - 3 = 0. (x - x + 1) / x ) = y, y³ + 2y - 3 = 0, y = 1 समीकरण का मूल। हम हॉर्नर योजना के अनुसार बहुपद P (x) = y³ + 2y - 3 को y-1 से भाग देते हैं। भागफल में, हमें एक त्रिपद प्राप्त होता है जिसका कोई मूल नहीं होता है। उत्तर 1।

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण। 1.2 (x² + 6x + 1) ² + 5 (X² + 6X + 1) (X² + 1) + 2 (X² + 1) ² = 0, 2. (X + 5) ⁴ - 13X² (X + 5) + 36X⁴ = 0, 3.2 (X² + X + 1) - 7 (X - 1) ² = 13 (X³ - 1), 4.2 (X -1) ⁴ - 5 (X² - 3X + 2) ² + 2 ( x - 2) = 0, 5. (x + x + 4) ² + 3x (x + x + 4) + 2x² = 0, उत्तर: 1) -1; -2 ± 3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± 2; 3 ± 2, 5) कोई जड़ नहीं।

अपरिभाषित गुणांक की विधि। प्रमेय 3. दो बहुपद P (x) और G (x) समान हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान डिग्री है और दोनों बहुपदों में चर के समान डिग्री के गुणांक बराबर हैं। उदाहरण संख्या 9. बहुपद y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1.y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1 = (y2 + wu + c) (y2 + v₁y + c₁) = y + y³ (b₁ + b) + y² ( s₁ + s + b₁v) + y (सूर्य + sv ₁) + ss । प्रमेय №3 के अनुसार हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है: s₁ + s = -4, s₁ + s + s₁v = 5, ss + sv ₁ = -4, ss = 1. सिस्टम को पूर्णांक में हल करना आवश्यक है . पूर्णांकों में अंतिम समीकरण के हल हो सकते हैं: c = 1, c₁ = 1; सी = -1, सी₁ = -1। मान लीजिए с = с = 1, तो पहले समीकरण से हमारे पास в₁ = -4 –в है। हम सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं в² + 4в + 3 = 0, в = -1, в₁ = -3 या в = -3, в₁ = -1। ये मान सिस्टम में तीसरे समीकरण में फिट होते हैं। सी = सी ₁ = -1 डी . के साथ

उदाहरण संख्या 10. बहुपद y³ - 5y + 2 का गुणनखंड करें। y³ -5y + 2 = (y + a) (y² + wu + c) = y³ + (a + b) y² + (ab + c) y + ac। हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है: ए + बी = 0, एबी + सी = -5, एसी = 2. तीसरे समीकरण के संभावित पूर्णांक समाधान: (2; 1), (1; 2), (-2; -1) ), (-1; -2)। माना a = -2, c = -1। सिस्टम के पहले समीकरण से в = 2, जो दूसरे समीकरण को संतुष्ट करता है। इन मानों को वांछित समानता में प्रतिस्थापित करने पर, हमें उत्तर मिलता है: (y - 2) (y² + 2y - 1)। दूसरा रास्ता। - 5у + 2 = у³ -5у + 10 - 8 = (у³ - 8) - 5 (у - 2) = (у - 2) (у² + 2у -1)।

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण। बहुपदों का गुणनखंड करें: 1.y⁴ + 4y³ + 6y² + 4y -8, 2.y⁴ - 4y³ + 7y² - 6y + 2, 3. x + 324, 4.y⁴ -8y³ + 24y² -32y + 15.5। हल करें गुणनखंडन विधि का उपयोग कर समीकरण: a) x -3x² + 2 = 0, b) x + 5x³ -6x² = 0. उत्तर: 1) (y² + 2y -2) (y² + 2y +4), 2) ( y-1) (y² -2y + 2), 3) (x -6x + 18) (x + 6x + 18), 4) (y - 1) (y - 3) (y² - 4y + 5 ), 5ए) ± 1; ± 2, 5बी) 0; 1.

कार्यात्मक - उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय विधि। उदाहरण संख्या 11. समीकरण x + 5x -42 = 0 को हल करें। फलन y = x बढ़ रहा है, फलन y = 42 - 5x घट रहा है (k

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण। 1. फलन की एकरसता के गुण का उपयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि समीकरण का एक ही मूल है, और यह मूल ज्ञात कीजिए: a) x = 10 - x, b) x + 3x³ - 11√2 - x। उत्तर: ए) 2, बी) 2। 2. कार्यात्मक-ग्राफिक विधि का उपयोग करके समीकरण को हल करें: a) x = x, b) l x l = x, c) 2 = 6 - x, d) (1/3) = x +4, d) (एक्स -1) ² = लॉग₂ एक्स, ई) लॉग = (एक्स + ½) ², जी) 1 - √x = एलएन एक्स, एच) √x - 2 = 9 / एक्स। उत्तर: ए) 0; ± 1, बी) 0; 1, सी) 2, डी) -1, ई) 1; 2, च) 1, छ) 1, ज) 9.

उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए वीटा के सूत्र। प्रमेय 5 (विएटा का प्रमेय)। यदि समीकरण ax + ax ⁿ +… + a₁x + a₀ के n भिन्न वास्तविक मूल x , x ₂,…, x हैं, तो वे समानता को संतुष्ट करते हैं: द्विघात समीकरण के लिए ax² + bx + c = o: x + x ₂ = -v / a, x₁x = s / a; घन समीकरण के लिए a₃x ³ + a₂x ² + a₁x + a₀ = o: x ₁ + x ₂ + x = -a₂ / a₃; x₁x + x₁x ₃ + x₂x ₃ = a₁ / a₃; = -आ / а₃; ..., nवीं डिग्री के समीकरण के लिए: x + x ₂ + ... x = - a / a, x₁x + x₁x ₃ + ... + xx = a / a, ..., x₁x ... · x = (- 1 ) a₀ / a. विलोम प्रमेय भी धारण करता है।

उदाहरण संख्या 13. एक घन समीकरण लिखिए, जिसके मूल समीकरण x - 6x² + 12x - 18 = 0 के मूल के व्युत्क्रमानुपाती हों, और x पर गुणांक 2. है। 1. घन समीकरण के लिए वीटा के प्रमेय से हमारे पास है: x ₁ + x ₂ + x = 6, x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ = 12, x₁x₂x ₃ = 18. 2. हम दिए गए मूलों के व्युत्क्रमों की रचना करते हैं और उनके लिए हम लागू करते हैं विलोम प्रमेयवियत। 1 / x ₁ + 1 / x + 1 / x ₃ = (x₂x + x₁x ₃ + x₁x ) / x₁x₂x ₃ = 12/18 = 2/3। 1 / x₁x ₂ + 1 / x₁x + 1 / x₂x = (x + x + x ) / x₁x₂x ₃ = 6/18 = 1/3, 1 / x₁x₂x = 1/18। हमें समीकरण x ³ + 2/3x² + 1/3x - 1/18 = 0 · 2 उत्तर: 2x³ + 4/3x² + 2/3x -1/9 = 0 मिलता है।

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण। 1. एक घन समीकरण लिखें, जिसके मूल समीकरण x - 6x² + 11x - 6 = 0 के मूल के वर्गों के व्युत्क्रमानुपाती हों और x पर गुणांक 8 हो। उत्तर: 8x³ - 98 / 9x² + 28 / 9x -2/9 = 0. उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए गैर-मानक तरीके। उदाहरण संख्या 12. x ⁴ -8x + 63 = 0 समीकरण को हल करें। समीकरण के बाईं ओर फैक्टर करें। आइए सटीक वर्गों का चयन करें। X⁴ - 8x + 63 = (x + 16x² + 64) - (16x² + 8x + 1) = (x² + 8) ² - (4x + 1) ² = (x + 4x + 9) (x - 4x + 7) = 0. दोनों विवेचक ऋणात्मक हैं। उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण संख्या 14. समीकरण 21x³ + x² - 5x - 1 = 0 को हल करें। यदि समीकरण का मुक्त पद ± 1 है, तो समीकरण x = 1 / y के स्थान पर कम समीकरण में बदल जाता है। 21 / у³ + 1 / у² - 5 / у - 1 = 0 · у³, у³ + 5у² -у - 21 = 0. у = -3 समीकरण का मूल है। (y + 3) (y² + 2y -7) = 0, y = -1 ± 2√2। x ₁ = -1/3, x ₂ = 1 / -1 + 2√2 = (2√2 + 1) / 7, X₃ = 1 / -1 -2√2 = (1-2√2) / 7 ... उदाहरण संख्या 15. समीकरण 4x³-10x² + 14x - 5 = 0 को हल करें। समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें। 8x³ -20x² + 28x - 10 = 0, (2x) ³ - 5 (2x) ² + 14 · (2x) -10 = 0. आइए एक नए चर y = 2x का परिचय दें, हमें घटा हुआ समीकरण y³ - 5y² + 14y -10 = 0 मिलता है, y = 1 समीकरण का मूल है। (y - 1) (y² - 4y + 10) = 0, d

उदाहरण संख्या 16। सिद्ध कीजिए कि समीकरण x + x ³ + x - 2 = 0 में एक है सकारात्मक जड़... मान लीजिए f (x) = x + x ³ + x - 2, f '(x) = 4x³ + 3x² + 1> o x> o के लिए। फलन f (x) x> o के लिए बढ़ रहा है, और मान f (o) = -2 है। जाहिर है, समीकरण का एक धनात्मक मूल ch.d है। उदाहरण संख्या 17। समीकरण 8x (2x² - 1) (8x⁴ - 8x² + 1) = 1 को हल करें। IF Sharygin "ग्रेड 11 के लिए गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम"। एम। ज्ञानोदय 1991 p90. 1. एल एक्स एल 1 2x² - 1> 1 और 8x⁴ -8x² + 1> 1 2. प्रतिस्थापन करें x = आरामदायक, y € (0; n)। y के अन्य मानों के लिए, x के मान दोहराए जाते हैं, और समीकरण में 7 से अधिक जड़ें नहीं होती हैं। 2x² - 1 = 2 cos²y - 1 = cos2y, 8x⁴ - 8x² + 1 = 2 (2x² - 1) ² - 1 = 2 cos²2y - 1 = cos4y। 3. समीकरण 8 cosycos2ycos4y = 1 हो जाता है। समीकरण के दोनों पक्षों को siny से गुणा करें। 8 sinycosycos2ycos4y = siny. द्विकोण सूत्र को 3 बार लागू करने पर, हमें समीकरण sin8y = siny, sin8y - siny = 0 प्राप्त होता है।

उदाहरण संख्या 17 के समाधान का समापन। ज्या अंतर सूत्र लागू करें। 2 sin7y / 2 cos9y / 2 = 0. y € (0; n), y = 2nk / 3, k = 1, 2, 3 या y = n / 9 + 2nk / 9, k = 0, 1, 2, 3 को ध्यान में रखते हुए। x, हमें उत्तर मिलता है: Cos2 n / 7, cos4 n / 7, cos6 n / 7, cos n / 9, ½, cos5 n / 9, cos7 n / 9। एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण। a के सभी मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण (x + x) (x + 5x + 6) = a के ठीक तीन मूल हैं। उत्तर 9/16 है। संकेत: समीकरण के बाईं ओर ग्राफ़ करें। एफ अधिकतम = एफ (0) = 9/16। सरल रेखा y = 9/16 फलन के आलेख को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। समीकरण (x + 2x) ² - (x + 1) ² = 55 को हल करें। उत्तर: -4; 2. समीकरण (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ = 16 को हल करें। उत्तर: -5; -3. समीकरण 2 (x + x + 1) -7 (x - 1) ² = 13 (x - 1) हल करें। उत्तर: -1; -1/2, 2; 4 समीकरण x - 12x + 10 = 0 के [-3; 3/2]। संकेत: व्युत्पन्न खोजें और मोनोट की जांच करें।

स्वतंत्र समाधान के उदाहरण (जारी)। 6. समीकरण x - 2x³ + 3/2 = 0 के वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए। उत्तर: 2 7. मान लीजिए x , x ₂, x बहुपद P (x) = x - के मूल हैं। 6x² -15x + 1. X₁² + x ₂² + x खोजें। उत्तर: 66. निर्देश: विएटा के प्रमेय को लागू करें। 8. सिद्ध कीजिए कि समीकरण x + ax + b = o में a> o और स्वेच्छ वास्तविक के लिए केवल एक वास्तविक मूल है। संकेत : विरोधाभास द्वारा प्रमाण को सिद्ध कीजिए। Vieta के प्रमेय को लागू करें। 9. समीकरण 2 (x + 2) ² = 9 (x + 1) को हल करें। उत्तर: आधा; 1; (3 ± 13) / 2. संकेत: समीकरण X² + 2 = x + 1 + x ² - x + 1, x ³ + 1 = (x + 1) (x - x + 1) का उपयोग करके समीकरण को एक समांगी समीकरण में कम करें। 10. समीकरणों के निकाय x + y = x , 3y - x = y² को हल कीजिए। उत्तर: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + 2)। 11. प्रणाली को हल करें: 4y² -3xy = 2x -y, 5x² - 3y² = 4x - 2y। उत्तर: (ओ; ओ), (1; 1), (297/265; - 27/53)।

परीक्षण। विकल्प 1। 1. समीकरण (x ² + x) - 8 (x + x) + 12 = 0. को हल करें। 2. समीकरण को हल करें (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) = - 15 3. समीकरण 12x² (x - 3) + 64 (x - 3) = x को हल करें। 4. समीकरण x - 4x³ + 5x² - 4x + 1 = 0 5 को हल करें। समीकरणों की प्रणाली को हल करें: x² + 2y² - x + 2y = 6, 1.5x² + 3y² - x + 5y = 12।

विकल्प 2 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x - 4x) + 12 = 0.2 x (x + 1) (x + 5) (x + 6) = 24.3 x ⁴ + 18 (x + 4) = 11x² (x + 4)। 4.x ⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 = 0. 5.x² - 2xy + y² + 2x²y - 9 = 0, x - y - x²y + 3 = 0.3 विकल्प। 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x + 3x) + 40 = 0 2. (x - 5) (x-3) (x + 3) (x + 1) = - 35.3 x4 + 8x² ( एक्स + 2) = 9 (एक्स + 2) । 4.x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0. 5.x + y + x ² + y ² = 18, xy + x + y² = 19।

विकल्प 4. (x ² - 2x) - 11 (x ² - 2x) + 24 = o. (x -7) (x-4) (x-2) (x + 1) = -36। एक्स⁴ + 3 (एक्स -6) ² = 4x² (6 - एक्स)। X⁴ - 6x³ + 7x² - 6x + 1 = 0. X² + 3xy + y² = - 1, 2x² - 3xy - 3y² = - 4. अतिरिक्त कार्य: बहुपद P (x) को (x - 1) से विभाजित करने का शेषफल है 4, (x + 1) से भाग का शेष 2 है, और (x - 2) से विभाजित होने पर 8 है। (x - 2x² - x + 2) द्वारा P (x) का शेष भाग ज्ञात कीजिए।

उत्तर और निर्देश: विकल्प नंबर 1 नंबर 2. नंबर 3. नंबर 4. नंबर 5. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -5; -4; 1; 2. सजातीय समीकरण: u = x -3, v = x² -2; -1; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3)। संकेत: 1 · (-3) + 2 · 2 2. -6; -2; -4 ± 6। -3 ± 2√3; - 4; - 2.1 ± 11; 4; - 2. सजातीय समीकरण: u = x + 4, v = x² 1; 5; 3 ± 13। (2; 1); (0; 3); (- तीस)। संकेत: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; 4; 12 -3; -2; 4; 12 -6; -3; -1; 2. सजातीय u = x + 2, v = x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - 7; -2 + 7)। संकेत: 2 -1। 4. (3 ± 5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± 5) / 2 (5 ± 21) / 2 (1; -2), (-1; 2)। दिशानिर्देश: 1 4 + 2.

अतिरिक्त कार्य का समाधान। बेज़ाउट के प्रमेय द्वारा: पी (1) = 4, पी (-1) = 2, पी (2) = 8.पी (एक्स) = जी (एक्स) (एक्स - 2x² - एक्स + 2) + कुल्हाड़ी + बीएक्स + साथ। स्थानापन्न 1; - 1; 2.P (1) = G (1) · 0 + a + b + c = 4, a + b + c = 4.P (-1) = a - b + c = 2, P (2) = 4a² + 2b + c = 8. तीन समीकरणों के परिणामी निकाय को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: a = b = 1, c = 2. उत्तर: x + x + 2।

मानदंड संख्या 1 - 2 अंक। 1 अंक - एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि। नंबर 2,3,4 - 3 अंक प्रत्येक। 1 अंक - एक द्विघात समीकरण का नेतृत्व किया। 2 अंक - एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि। नंबर 5. - 4 अंक। 1 बिंदु - एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया। 2 अंक - समाधानों में से एक मिला। 3 अंक - एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि। अतिरिक्त कार्य: 4 अंक। 1 अंक - बेजआउट की प्रमेय सभी चार मामलों के लिए लागू की गई थी। 2 अंक - समीकरणों की एक प्रणाली बनाई। 3 अंक - एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि।

बीजीय समीकरणों को हल करते समय, आपको अक्सर बहुपद का गुणनखंड करना पड़ता है। बहुपद का गुणनखंडन करने का अर्थ है इसे दो या अधिक बहुपदों के गुणनफल के रूप में निरूपित करना। हम बहुपदों के अपघटन के कुछ तरीकों का उपयोग अक्सर करते हैं: एक सामान्य कारक को हटाना, कम गुणन के लिए सूत्रों का अनुप्रयोग, एक पूर्ण वर्ग का चयन, समूह बनाना। आइए कुछ और तरीकों पर विचार करें।

बहुपद का गुणनखंड करते समय कभी-कभी निम्नलिखित कथन उपयोगी होते हैं:

1) यदि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का एक परिमेय मूल है (जहाँ एक अपरिमेय अंश है, तो मुक्त पद का भाजक और अग्रणी गुणांक का भाजक है:

2) यदि किसी प्रकार से घात के बहुपद का मूल चुनना हो, तो बहुपद को उस रूप में दर्शाया जा सकता है जहाँ घात का बहुपद है

बहुपद को या तो द्विपद "स्तंभ" द्वारा बहुपद को विभाजित करके, या बहुपद की शर्तों के संगत समूहन द्वारा और उनसे एक कारक निकालकर, या अपरिभाषित गुणांक की विधि द्वारा पाया जा सकता है।

उदाहरण। कारक बहुपद

समाधान। चूँकि x4 पर गुणांक 1 के बराबर है, इस बहुपद के परिमेय मूल मौजूद हैं, संख्या 6 के विभाजक हैं, अर्थात वे पूर्णांक ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 हो सकते हैं। हम इस बहुपद को P, (x) से निरूपित करते हैं। चूँकि 4 (1) = 4 और Р4 (-4) = 23, संख्या 1 और -1 बहुपद PA (x) के मूल नहीं हैं। चूँकि P4 (2) = 0, तो x = 2 बहुपद P4 (x) का मूल है, और इसलिए, यह बहुपद द्विपद x - 2 से विभाज्य है। इसलिए, x4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x -2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6x2- 2x

इसलिए, P4 (x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3)। चूँकि xz - Zx2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 1), तो x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( एक्स - 3) (एक्स 2 + 1)।

पैरामीटर परिचय विधि

कभी-कभी, जब बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित करते हैं, तो एक पैरामीटर को पेश करने की विधि मदद करती है। इस विधि का सार निम्नलिखित उदाहरण द्वारा स्पष्ट किया जाएगा।

उदाहरण। x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

समाधान। पैरामीटर a: x3 - (a + 1) x2 + a2 के साथ एक बहुपद पर विचार करें, जो a = √3 के लिए दिए गए बहुपद में बदल जाता है। हम इस बहुपद को a: a - ax2 + (x3 - x2) के संबंध में एक वर्ग त्रिपद के रूप में लिखते हैं।

चूँकि a के संबंध में इस वर्ग त्रिपद के मूल हैं a1 = x और a2 = x2 - x, समानता a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) सत्य है। इसलिए, बहुपद x3 - (√3 + 1) x2 + 3 कारक √3 - x और √3 - x2 + x में विघटित हो जाता है, अर्थात।

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 = (x-√3) (x2-x-√3)।

एक नए अज्ञात को पेश करने की विधि

कुछ मामलों में, बहुपद Pn (x) में शामिल व्यंजक f (x) को y से बदलकर y के संबंध में एक बहुपद प्राप्त करना संभव है, जिसे पहले से ही आसानी से गुणनखंडित किया जा सकता है। फिर, y को f (x) से बदलने के बाद, हम बहुपद Pn (x) का गुणनखंडन प्राप्त करते हैं।

उदाहरण। बहुपद x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 का गुणनखंड करें।

समाधान। हम इस बहुपद को इस प्रकार बदलते हैं: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 = [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

आइए x2 + 3x को y से निरूपित करें। तब हमारे पास y (y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1) 2 - 16 = (y + 1 + 4) (y + 1 - 4) = (वाई + 5) (वाई - 3)।

इसलिए, x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3)।

उदाहरण। बहुपद (x-4) 4+ (x + 2) 4 . का गुणनखंड करें

समाधान। आइए हम x- 4 + x + 2 = x - 1 को y से निरूपित करें।

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 = (y - 3) 4 + (y + 3) 4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2 (y4 + 54y2 + 81) = 2 [(y2 + 27) 2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48) (y2 + 27 + √b48) =

2 ((x-1) 2 + 27-√b48) ((x-1) 2 + 27 + √b48) = 2 (x2-2x + 28- 18√2) (x2- 2x + 28 + 18√2 )

विभिन्न तरीकों का संयोजन

अक्सर, बहुपद को कारकों में विभाजित करते समय, ऊपर चर्चा की गई कई विधियों को क्रमिक रूप से लागू करना आवश्यक होता है।

उदाहरण। बहुपद x4 - 3x2 + 4x-3 का गुणनखंड करें।

समाधान। समूहन का प्रयोग करते हुए, हम बहुपद को x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3) के रूप में फिर से लिखते हैं।

पहले ब्रैकेट में एक पूर्ण वर्ग चुनने की विधि को लागू करने पर, हमारे पास x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4) होता है।

पूर्ण वर्ग सूत्र का प्रयोग करते हुए, अब हम लिख सकते हैं कि x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

अंत में, वर्गों के अंतर के लिए सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं कि x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) = (x2 + x-3) (x2 -एक्स + 1)।

§ 2. सममित समीकरण

1. तीसरी डिग्री के सममित समीकरण

ax3 + bx2 + bx + a = 0, और 0 (1) के रूप के समीकरण तृतीय डिग्री के सममित समीकरण कहलाते हैं। चूँकि ax3 + bx2 + bx + a = a (x3 + 1) + bx (x + 1) = (x + 1) (ax2 + (ba) x + a), तो समीकरण (1) के एक सेट के बराबर है समीकरण x + 1 = 0 और ax2 + (b-a) x + a = 0, जिन्हें हल करना कठिन नहीं है।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

समाधान। समीकरण (2) तीसरी डिग्री का एक सममित समीकरण है।

चूँकि 3x3 + 4xg + 4x + 3 = 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) = (x + 1) (3x2 - Zx + 3 + 4x) = (x + 1) (3x2 + x + 3) , तो समीकरण (2) समीकरणों के एक समूह x + 1 = 0 और 3x3 + x + 3 = 0 के बराबर है।

इनमें से पहले समीकरण का हल x = -1 है, दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है।

उत्तर: एक्स = -1।

2. चौथी डिग्री के सममित समीकरण

फॉर्म का समीकरण

(3) चतुर्थ अंश का सममित समीकरण कहलाता है।

चूँकि x = 0 समीकरण (3) का मूल नहीं है, तो समीकरण (3) के दोनों पक्षों को x2 से विभाजित करने पर हमें मूल (3) के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है:

आइए समीकरण (4) को इस रूप में फिर से लिखें:

इस समीकरण में हम परिवर्तन करते हैं, तो हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है

यदि समीकरण (5) के 2 मूल y1 और y2 हैं, तो मूल समीकरण समीकरणों के समुच्चय के बराबर है

यदि समीकरण (5) का एक मूल y0 है, तो मूल समीकरण समीकरण के तुल्य है

अंत में, यदि समीकरण (5) का कोई मूल नहीं है, तो मूल समीकरण का भी कोई मूल नहीं है।

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें

समाधान। यह समीकरण चौथी डिग्री सममित समीकरण है। चूँकि x = 0 इसका मूल नहीं है, इसलिए समीकरण (6) को x2 से भाग देने पर हमें एक तुल्य समीकरण प्राप्त होता है:

पदों को समूहीकृत करते हुए, हम समीकरण (7) को रूप में या रूप में फिर से लिखते हैं

रखने पर, हमें दो मूल y1 = 2 और y2 = 3 वाला एक समीकरण प्राप्त होता है। इसलिए, मूल समीकरण समीकरणों के समुच्चय के बराबर है।

इस समुच्चय के पहले समीकरण का हल x1 = 1 है और दूसरे का हल u है।

इसलिए, मूल समीकरण के तीन मूल हैं: x1, x2 और x3।

उत्तर: x1 = 1 ,.

3. बीजीय समीकरण

1. समीकरण की डिग्री कम करना

कुछ बीजीय समीकरणों में कुछ बहुपदों को एक अक्षर से बदलकर कम किया जा सकता है बीजीय समीकरण, जिसकी घात मूल समीकरण की घात से कम है और जिसका हल सरल है।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें

समाधान। द्वारा निरूपित करें, फिर समीकरण (1) को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है अंतिम समीकरण की जड़ें होती हैं और इसलिए, समीकरण (1) समीकरणों के एक सेट के बराबर है और। इस समुच्चय के पहले समीकरण का हल है और दूसरे समीकरण का हल है

समीकरण के हल (1) हैं

उदाहरण 2. समीकरण को हल करें

समाधान। समीकरण के दोनों पक्षों को 12 से गुणा करने पर और इससे निरूपित करने पर,

हम समीकरण प्राप्त करते हैं आइए इस समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें

(3) और समीकरण (3) के रूप में फिर से लिखना द्वारा निरूपित करना अंतिम समीकरण की जड़ें हैं और इसलिए, हम प्राप्त करते हैं कि समीकरण (3) दो समीकरणों के एक सेट के बराबर है और समीकरणों के इस सेट का समाधान है, अर्थात, समीकरण (2) समीकरणों के समुच्चय के बराबर है और (4)

समुच्चय (4) के हल हैं और, वे समीकरण (2) के हल हैं।

2. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(5) ये संख्याएँ कहाँ हैं, अज्ञात को प्रतिस्थापित करके, अर्थात प्रतिस्थापित करके द्विघात समीकरण में घटाया जा सकता है

उदाहरण 3. समीकरण को हल करें

समाधान। आइए हम द्वारा निरूपित करें, अर्थात्। अर्थात्, हम चरों में परिवर्तन करते हैं या फिर समीकरण (6) को रूप में या, सूत्र का उपयोग करके, रूप में फिर से लिखा जा सकता है

चूँकि द्विघात समीकरण के मूल भी समीकरण के हल होते हैं (7) समीकरणों के समुच्चय के हल होते हैं और। समीकरणों के इस सेट के दो हल हैं और नतीजतन, समीकरण (6) के हल हैं और

3. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(8) जहां संख्याएं α, β, γ, , और ऐसी हैं कि α

उदाहरण 4. समीकरण को हल करें

समाधान। हम अज्ञात का परिवर्तन करते हैं, अर्थात, y = x + 3 या x = y - 3। फिर समीकरण (9) को रूप में फिर से लिखा जा सकता है

(y-2) (y-1) (y + 1) (y + 2) = 10, अर्थात् रूप में

(y2- 4) (y2-1) = 10 (10)

द्विघात समीकरण (10) के दो मूल हैं। इसलिए, समीकरण (9) के भी दो मूल हैं:

4. फॉर्म के समीकरण

समीकरण, (11)

जहाँ, का मूल x = 0 नहीं है, इसलिए समीकरण (11) को x2 से भाग देने पर हमें तुल्य समीकरण प्राप्त होता है

जिसे अज्ञात के स्थान पर द्विघात समीकरण के रूप में पुनः लिखा जाएगा, जिसका समाधान कठिन नहीं है।

उदाहरण 5. समीकरण को हल कीजिए

समाधान। चूँकि h = 0 समीकरण (12) का मूल नहीं है, तो इसे x2 से विभाजित करने पर हमें समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है

प्रतिस्थापन को अज्ञात बनाते हुए, हमें समीकरण (y + 1) (y + 2) = 2 मिलता है, जिसके दो मूल हैं: y1 = 0 और y1 = -3। इसलिए, मूल समीकरण (12) समीकरणों के समुच्चय के बराबर है

इस संग्रह के दो मूल हैं: x1 = -1 और x2 = -2।

उत्तर: x1 = -1, x2 = -2।

टिप्पणी। फार्म का एक समीकरण,

जिसमें आप हमेशा α> 0 और λ> 0 मानकर फॉर्म (11) और इसके अलावा फॉर्म में ला सकते हैं।

5. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

, (13) जहां संख्याएं α, β, , , और ऐसी हैं कि αβ = 0, पहले ब्रैकेट को दूसरे के साथ गुणा करके, और तीसरे को चौथे के साथ, फॉर्म में, यानी के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। , समीकरण (13) अब (11) के रूप में लिखा जाता है, और इसका समाधान उसी तरह से किया जा सकता है जैसे समीकरण (11) का समाधान।

उदाहरण 6. समीकरण को हल कीजिए

समाधान। समीकरण (14) का रूप (13) है, इसलिए हम इसे रूप में फिर से लिखते हैं

चूँकि x = 0 इस समीकरण का हल नहीं है, इसलिए इसके दोनों पक्षों को x2 से विभाजित करने पर हमें एक तुल्य मूल समीकरण प्राप्त होता है। चरों में परिवर्तन करते हुए, हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जिसका हल और है। नतीजतन, मूल समीकरण (14) समीकरणों के एक सेट के बराबर है और।

इस सेट के पहले समीकरण का हल है

समाधान के इस सेट का दूसरा समीकरण नहीं है। अतः मूल समीकरण के मूल x1 और x2 हैं।

6. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(15) जहाँ संख्याएँ a, b, c, q, A ऐसी हैं, जिनका कोई मूल x = 0 नहीं है, इसलिए समीकरण (15) को x2 से विभाजित करते हैं। हमें एक समतुल्य समीकरण मिलता है, जो अज्ञात के स्थान पर द्विघात समीकरण के रूप में फिर से लिखा जाएगा, जिसका समाधान कठिन नहीं है।

उदाहरण 7. समीकरण का हल

समाधान। चूँकि x = 0 समीकरण (16) का मूल नहीं है, इसलिए दोनों पक्षों को x2 से विभाजित करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

, (17) जो समीकरण (16) के बराबर है। परिवर्तन को अज्ञात बनाते हुए, हम समीकरण (17) को इस रूप में फिर से लिखते हैं

द्विघात समीकरण (18) के 2 मूल हैं: y1 = 1 और y2 = -1। इसलिए, समीकरण (17) समीकरणों के एक समूह के बराबर है और (19)

समीकरणों के समुच्चय (19) के 4 मूल हैं:,।

वे समीकरण (16) के मूल होंगे।

4. परिमेय समीकरण

रूप के समीकरण = 0, जहाँ H (x) और Q (x) बहुपद हैं, परिमेय कहलाते हैं।

समीकरण H (x) = 0 के मूल ज्ञात करने के बाद, यह जाँचना आवश्यक है कि उनमें से कौन समीकरण Q (x) = 0 के मूल नहीं हैं। ये मूल और केवल वे ही समीकरण के हल होंगे।

फॉर्म = 0 के समीकरण को हल करने के लिए कुछ विधियों पर विचार करें।

1. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(1) कुछ शर्तों के तहत संख्याओं पर निम्नानुसार हल किया जा सकता है। समीकरण (1) की शर्तों को दो से समूहित करना और प्रत्येक जोड़ी को संक्षेप में, पहली या शून्य डिग्री के अंश बहुपद में प्राप्त करना आवश्यक है, केवल संख्यात्मक कारकों में भिन्न होता है, और हर में - समान दो शब्दों वाले ट्रिनोमियल जिसमें x होता है , तो चरों के परिवर्तन के बाद समीकरण का या तो रूप (1) होगा, लेकिन शब्दों की एक छोटी संख्या के साथ, या यह दो समीकरणों के एक सेट के बराबर होगा, जिनमें से एक पहली डिग्री का होगा, और दूसरा फॉर्म (1) का एक समीकरण होगा, लेकिन शब्दों की एक छोटी संख्या के साथ।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। समीकरण के बाईं ओर समूह (2) अंतिम के साथ पहला पद, और दूसरा अंतिम के साथ, हम फॉर्म में समीकरण (2) को फिर से लिखते हैं

प्रत्येक कोष्ठक में पदों का योग करते हुए, हम समीकरण (3) को इस रूप में फिर से लिखते हैं

चूँकि समीकरण (4) का कोई हल नहीं है, तो इस समीकरण को इससे भाग देने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

, (5) समीकरण (4) के बराबर। हम अज्ञात का परिवर्तन करते हैं, फिर समीकरण (5) को रूप में फिर से लिखा जाएगा

इस प्रकार, समीकरण (2) का हल बाईं ओर पांच पदों के साथ एक ही रूप के समीकरण (6) के समाधान के लिए कम हो जाता है, लेकिन बाईं ओर तीन पदों के साथ। समीकरण (6) के बाईं ओर के सभी पदों को जोड़कर, हम इसे फॉर्म में फिर से लिखते हैं

समीकरण के समाधान हैं और। इनमें से कोई भी संख्या समीकरण (7) के बाईं ओर परिमेय फलन के हर को गायब नहीं करती है। नतीजतन, समीकरण (7) में ये दो जड़ें हैं, और इसलिए मूल समीकरण (2) समीकरणों के सेट के बराबर है

इस समुच्चय के प्रथम समीकरण के हल हैं

इस समुच्चय से दूसरे समीकरण के हल हैं

इसलिए, मूल समीकरण के मूल हैं

2. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(8) कुछ शर्तों के तहत संख्याओं पर निम्नानुसार हल किया जा सकता है: समीकरण के प्रत्येक भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करना आवश्यक है, अर्थात समीकरण (8) को समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित करना

इसे कम करके फॉर्म (1) बना लें और फिर इसे पिछले पैराग्राफ में बताए गए तरीके से हल करें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। आइए समीकरण (9) को रूप में या रूप में लिखें

कोष्ठकों में पदों का योग करते हुए, हम समीकरण (10) को इस प्रकार लिखते हैं

अज्ञात के स्थान पर हम समीकरण (11) को इस रूप में पुनः लिखते हैं

समीकरण (12) के बाईं ओर के पदों का योग करते हुए, हम इसे फॉर्म में फिर से लिखते हैं

यह देखना आसान है कि समीकरण (13) के दो मूल हैं: और। इसलिए, मूल समीकरण (9) के चार मूल हैं:

3) फॉर्म के समीकरण।

संख्याओं के लिए कुछ शर्तों के तहत फॉर्म (14) का एक समीकरण निम्नानुसार हल किया जा सकता है: सरलतम अंशों के योग में समीकरण (14) के बाईं ओर प्रत्येक अंश का विस्तार (यदि यह निश्चित रूप से संभव है)

समीकरण (14) को कम करके (1) बनाएं, फिर, परिणामी समीकरण की शर्तों की सुविधाजनक पुनर्व्यवस्था करके, इसे पैराग्राफ 1 में वर्णित विधि द्वारा हल करें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। चूँकि और तब से, समीकरण (15) में प्रत्येक भिन्न के अंश को 2 से गुणा करना और यह नोट करना कि समीकरण (15) को इस रूप में लिखा जा सकता है

समीकरण (16) का रूप (7) है। इस समीकरण में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, हम इसे रूप में या रूप में फिर से लिखते हैं

समीकरण (17) समीकरणों के एक सेट के बराबर है और

समुच्चय (18) के दूसरे समीकरण को हल करने के लिए हम अज्ञात को प्रतिस्थापित करते हैं। फिर इसे रूप में या रूप में फिर से लिखा जाएगा

समीकरण (19) के बाईं ओर के सभी पदों का योग करते हुए, इसे इस प्रकार लिखिए

चूँकि समीकरण का कोई मूल नहीं है, समीकरण (20) में भी वे नहीं हैं।

समुच्चय के पहले समीकरण (18) का एक ही मूल है। चूँकि यह मूल समुच्चय (18) के दूसरे समीकरण के GDV में शामिल है, यह समुच्चय (18) का एकमात्र मूल है, और इसलिए मूल समीकरण .

4. फॉर्म के समीकरण

समीकरण

(21) कुछ शर्तों के तहत संख्याओं पर और ए के बाईं ओर प्रत्येक पद के प्रतिनिधित्व के बाद फॉर्म में कम किया जा सकता है (1)।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। आइए समीकरण (22) को रूप में या रूप में फिर से लिखें

इस प्रकार, समीकरण (23) को घटाकर (1) बना दिया जाता है। अब, पहले पद को अंतिम के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ समूहित करते हुए, हम समीकरण (23) को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

यह समीकरण समीकरणों के एक सेट के बराबर है और। (24)

समुच्चय (24) के अंतिम समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इस समीकरण के समाधान हैं और चूंकि यह सेट (30) के दूसरे समीकरण के ODZ में शामिल है, इसलिए सेट (24) के तीन मूल हैं: वे सभी मूल समीकरण के हल हैं।

5. फॉर्म के समीकरण।

फॉर्म का समीकरण (25)

संख्याओं पर कुछ शर्तों के तहत, अज्ञात को बदलकर फॉर्म के समीकरण में कम किया जा सकता है

उदाहरण। प्रश्न हल करें

समाधान। चूँकि यह समीकरण (26) का हल नहीं है, इसलिए प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को बायीं ओर से भाग देने पर, हम इसे रूप में फिर से लिखते हैं।

चर बदलते हुए, हम समीकरण (27) को इस रूप में फिर से लिखते हैं

समीकरण को हल करना (28) है और। इसलिए, समीकरण (27) समीकरणों के एक सेट के बराबर है और। (29)

समीकरणों को हल करने के तरीके: n n n समीकरण h (f (x)) = h (g (x)) को समीकरण f (x) = g (x) फैक्टरिंग से बदलना। एक नए चर का परिचय। कार्यात्मक रूप से - चित्रमय विधि। जड़ों का चयन। Vieta सूत्रों का अनुप्रयोग।

समीकरण h (f (x)) = h (g (x)) को समीकरण f (x) = g (x) से बदलना। विधि का उपयोग केवल उस स्थिति में किया जा सकता है जब y = h (x) एक मोनोटोन फ़ंक्शन है जो इसके प्रत्येक मान को एक बार लेता है। यदि फ़ंक्शन गैर-मोनोटोनिक है, तो जड़ों का नुकसान संभव है।

समीकरण को हल करें (3 x + 2) ²³ = (5 x - 9) y = x एक बढ़ता हुआ फलन, इसलिए समीकरण (3 x + 2) ²³ = (5 x - 9) से आप जा सकते हैं समीकरण 3 x + 2 = 5 x - 9, जहाँ से हम x = 5, 5 पाते हैं। उत्तर: 5, 5।

गुणनखंडन। समीकरण f (x) g (x) h (x) = 0 को समीकरणों के एक सेट से बदला जा सकता है f (x) = 0; जी (एक्स) = 0; h (x) = 0. इस समुच्चय के समीकरणों को हल करने के बाद, आपको उन मूलों को लेने की आवश्यकता है जो मूल समीकरण के प्रांत से संबंधित हैं, और शेष को बाह्य के रूप में त्याग दें।

समीकरण x³ - 7 x + 6 = 0 को हल करें, 7 x पद को x + 6 x के रूप में निरूपित करते हुए, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x (x² - 1) - 6 (x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 अब समस्या समीकरणों के सेट को हल करने के लिए कम हो गई है x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. उत्तर: 1, 2, - 3।

एक नए चर का परिचय। यदि समीकरण y (x) = 0 को p (g (x)) = 0 के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, तो आपको एक नया चर u = g (x) पेश करने की आवश्यकता है, समीकरण p (u) = 0 को हल करें, और फिर समीकरणों के सेट को हल करें g ( x) = u 1; जी (एक्स) = यू 2; ...; g (x) = un, जहाँ u 1, u 2,…, un समीकरण p (u) = 0 के मूल हैं।

समीकरण को हल करें इस समीकरण की एक विशेषता इसके बाईं ओर के गुणांकों की समानता है, जो इसके सिरों से समान दूरी पर है। ऐसे समीकरणों को आवर्तक कहा जाता है। चूँकि 0 इस समीकरण का मूल नहीं है, इसलिए x² से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

आइए एक नए चर का परिचय दें फिर हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है इसलिए मूल y 1 = - 1 को अनदेखा किया जा सकता है। हमें उत्तर मिलता है: 2, 0, 5।

समीकरण 6 (x² - 4) ² + 5 (x² - 4) (x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12) = 0 को हल करें। इस समीकरण को समांगी के रूप में हल किया जा सकता है। समीकरण के दोनों पक्षों को (x² - 7 x +12) से विभाजित करें (स्पष्ट रूप से, x के मान इस प्रकार हैं कि x² - 7 x + 12 = 0 समाधान नहीं हैं)। अब हम निरूपित करते हैं कि हमारे पास उत्तर है:

कार्यात्मक रूप से - चित्रमय विधि। यदि एक फलन y = f (x), y = g (x) बढ़ता है, और दूसरा घटता है, तो समीकरण f (x) = g (x) का या तो कोई मूल नहीं है या एक मूल है।

समीकरण को हल करें यह बिल्कुल स्पष्ट है कि x = 2 समीकरण का मूल है। आइए हम सिद्ध करें कि यही एकमात्र जड़ है। हम समीकरण को रूप में बदलते हैं। ध्यान दें कि फलन बढ़ता है और फलन घटता है। अतः समीकरण का केवल एक मूल है। उत्तर : 2.

मूलों का चयन n n n प्रमेय 1: यदि एक पूर्णांक m पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का मूल है, तो बहुपद का मुक्त पद m से विभाज्य होता है। प्रमेय 2: पूर्णांक गुणांकों वाले अपचित बहुपद का कोई भिन्नात्मक मूल नहीं होता है। प्रमेय 3 : - पूर्णांकों वाला एक समीकरण मान लीजिए गुणांक। यदि संख्या और भिन्न जहां p और q पूर्णांक हैं, समीकरण का मूल है, तो p मुक्त पद a का भाजक है, और q प्रमुख पद a 0 पर गुणांक का भाजक है।

बेज़ाउट का प्रमेय। किसी बहुपद को द्विपद (x - a) से विभाजित करने पर शेषफल x = a पर विभाज्य बहुपद के मान के बराबर होता है। बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम n n n दो संख्याओं की समान घातों के अंतर को समान संख्याओं के अंतर से बिना शेष भाग के विभाजित किया जाता है; दो संख्याओं की समान घातों के अंतर को इन संख्याओं के अंतर और उनके योग से दोनों के शेष के बिना विभाजित किया जाता है; दो संख्याओं की समान विषम घातों का अंतर इन संख्याओं के योग से विभाज्य नहीं है; दो गैर-संख्याओं की समान घातों के योग को इन संख्याओं के अंतर से विभाजित किया जाता है; दो संख्याओं की समान विषम घातों के योग को इन संख्याओं के योग से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है; दो संख्याओं की समान घातों का योग या तो इन संख्याओं के अंतर से या उनके योग से विभाज्य नहीं होता है; एक बहुपद एक द्विपद (x - a) से पूर्णतः विभाज्य होता है यदि और केवल यदि संख्या a दिए गए बहुपद का मूल है; एक शून्येतर बहुपद के भिन्न मूलों की संख्या इसकी अधिकतम डिग्री होती है।

समीकरण को हल करें x³ - 5 x² - x + 21 = 0 बहुपद x³ - 5 x² - x + 21 में पूर्णांक गुणांक होते हैं। प्रमेय 1 के अनुसार, इसके पूर्णांक मूल, यदि कोई हों, मुक्त पद के विभाजकों में से हैं: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. जाँच करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि संख्या 3 एक मूल है। बेज़ाउट प्रमेय के उपफल के अनुसार, बहुपद (x - 3) से विभाज्य होता है। तो x³– 5 x² - x + 21 = (x - 3) (x²– 2 x - 7)। उत्तर:

समीकरण को हल करें 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 प्रमेय 1 के अनुसार, समीकरण के पूर्णांक मूल केवल ± 1 हो सकते हैं। जाँच से पता चलता है कि ये संख्याएँ मूल नहीं हैं। चूंकि समीकरण को कम नहीं किया गया है, इसमें भिन्नात्मक परिमेय जड़ें हो सकती हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 से गुणा करें, प्रतिस्थापन 2 x = t करने पर, हमें t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0 मिलता है। प्रमेय 2 से , इस घटे हुए समीकरण के सभी परिमेय मूल पूर्ण होने चाहिए। वे मुक्त पद के भाजक के बीच पाए जा सकते हैं: ± 1, ± 2, ± 4। In यह मामला t = - 1 फिट बैठता है। नतीजतन, बेज़आउट प्रमेय के परिणाम से, बहुपद 2 x³ - 5 x² - x + 1 (x + 0, 5) से विभाज्य है: 2 x³ - 5 x² - x + 1 = (x + 0, 5) ( 2 x² - 6 x + 2) द्विघात समीकरण 2 x² - 6 x + 2 = 0 को हल करने पर हम शेष मूल पाते हैं: उत्तर:

समीकरण को हल करें 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 प्रमेय 3 के अनुसार, इस समीकरण के परिमेय मूल को संख्याओं में से खोजना चाहिए। वे समीकरण की सभी जड़ों को समाप्त कर देते हैं। उत्तर:

समीकरण x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 के मूलों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए।

बताएं कि इनमें से प्रत्येक समीकरण को हल करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है। समीकरण # 1, 4, 15, 17 को हल करें।

उत्तर और निर्देश: 1. एक नए चर का परिचय। 2. कार्यात्मक - ग्राफिक विधि। 3. समीकरण h (f (x)) = h (g (x)) को समीकरण f (x) = g (x) से बदलना। 4. गुणनखंडन। 5. जड़ों का चयन। 6 कार्यात्मक - चित्रमय विधि। 7. वीटा सूत्रों का अनुप्रयोग। 8. जड़ों का चयन। 9. समीकरण h (f (x)) = h (g (x)) को समीकरण f (x) = g (x) से बदलना। 10. एक नए चर का परिचय। 11. गुणनखंडन। 12. एक नए चर का परिचय। 13. जड़ों का चयन। 14. वीटा सूत्रों का अनुप्रयोग। 15. कार्यात्मक - ग्राफिक विधि। 16. गुणनखंडन। 17. एक नए चर का परिचय। 18. गुणनखंडन।

1. संकेत। समीकरण को 4 (x² + 17 x + 60) (x + 16 x + 60) = 3 x² के रूप में लिखें, दोनों पक्षों को x² से विभाजित करें। चर उत्तर दर्ज करें: x 1 = - 8; x 2 = - 7, 5. 4. नोट। समीकरण के बाईं ओर 6 y और - 6 y जोड़ें और इसे (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2) (y² -) के रूप में लिखें। 3 वाई - आठ)। उत्तर:

14. संकेत। विएटा के प्रमेय से चूंकि पूर्णांक हैं, समीकरण के मूल केवल संख्याएं हो सकते हैं - 1, - 2, - 3. उत्तर: 15. उत्तर: - 1. 17. संकेत। समीकरण के दोनों पक्षों को x² से विभाजित करें और इसे एंटर वेरिएबल के रूप में लिखें उत्तर: 1; 15; 2; 3.

ग्रंथ सूची। एन एन एन कोलमोगोरोव ए एन "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (मास्को: शिक्षा, 2003)। बश्माकोव एम। आई। "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (मास्को: शिक्षा, 1993)। मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (एम .: मेनेमोज़िना, 2003)। अलीमोव श.ए., कोल्यागिन यू.एम. एट अल। "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, 10 - 11" (मास्को: शिक्षा, 2000)। गैलिट्स्की एमएल, गोल्डमैन एएम, ज़्वाविच एलआई "बीजगणित में समस्याओं का संग्रह, 8 - 9" (मास्को: शिक्षा, 1997)। कार्प ए.पी. "बीजगणित में समस्याओं का संग्रह और विश्लेषण के सिद्धांत, 10 - 11" (मास्को: शिक्षा, 1999)। Sharygin I. F. "गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम, समस्या समाधान, 10" (मास्को: शिक्षा। 1989)। स्कोपेट्स जेडए "गणित के पाठ्यक्रम पर अतिरिक्त अध्याय, 10" (मास्को: शिक्षा, 1974)। लिटिंस्की जी। आई। "गणित का पाठ" (एम .: असलान, 1994)। मुराविन जी.के. "समीकरण, असमानताएं और उनके सिस्टम" (गणित, समाचार पत्र "सितंबर 1", संख्या 2, 3, 2003 के पूरक)। कोल्यागिन यू। एम। "बहुपद और उच्च डिग्री के समीकरण" (गणित, समाचार पत्र "सितंबर 1", नंबर 3, 2005 के पूरक)।

मरीना ए. ट्रिफ़ानोवा
गणित के शिक्षक, समझौता ज्ञापन "व्यायामशाला संख्या 48 (बहुविषयक)", तलनाखी

पाठ का त्रिगुणात्मक लक्ष्य:

शैक्षिक:
उच्च डिग्री के समीकरणों के समाधान पर ज्ञान का व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण।
विकसित होना:
विकास को बढ़ावा देना तार्किक साेचस्वतंत्र रूप से काम करने की क्षमता, आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल, बोलने और सुनने की क्षमता।
शैक्षिक:
निरंतर रोजगार की आदत विकसित करना, जवाबदेही, कड़ी मेहनत, सटीकता को बढ़ावा देना।

पाठ प्रकार:

ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के जटिल अनुप्रयोग में एक पाठ।

पाठ प्रपत्र:

प्रसारण, शारीरिक प्रशिक्षण, काम के विभिन्न रूप।

उपकरण:

सहायक नोट्स, असाइनमेंट वाले कार्ड, पाठ निगरानी मैट्रिक्स।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

1. छात्रों को पाठ के उद्देश्य के बारे में बताना।
2. गृहकार्य जांच (परिशिष्ट 1)। संदर्भ नोट्स के साथ काम करें (परिशिष्ट 2)।

उनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण और उत्तर बोर्ड पर लिखे गए हैं। छात्र उत्तरों की जांच करते हैं और देते हैं संक्षिप्त विश्लेषणप्रत्येक समीकरण का समाधान या शिक्षक के प्रश्नों का उत्तर देना (फ्रंटल सर्वे)। आत्म-नियंत्रण - छात्र खुद को ग्रेड देते हैं और ग्रेड के सुधार या अनुमोदन के लिए शिक्षक को व्यायाम पुस्तकें सौंपते हैं। चॉकबोर्ड पर ग्रेड स्कूल लिखा होता है:

"5+" - 6 समीकरण;
"5" - 5 समीकरण;
"4" - 4 समीकरण;
"3" - 3 समीकरण।

शिक्षक का गृहकार्य प्रश्न:

1 समीकरण

1. समीकरण में चरों का क्या परिवर्तन होता है?
2. चर बदलने के बाद कौन सा समीकरण प्राप्त होता है?

2 समीकरण

1. समीकरण के दोनों पक्षों ने किस बहुपद को विभाजित किया है?
2. चरों का क्या परिवर्तन प्राप्त हुआ?

3 समीकरण

1. इस समीकरण के हल को सरल बनाने के लिए आपको किन बहुपदों को गुणा करने की आवश्यकता है?

4 समीकरण

1. फ़ंक्शन f (x) का नाम दें।
2. शेष जड़ें कैसे पाई गईं?

समीकरण 5

1. समीकरण को हल करने के लिए कितने अंतराल प्राप्त हुए?

6 समीकरण

1. इस समीकरण को किन तरीकों से हल किया जा सकता है?
2. कौन सा समाधान अधिक तर्कसंगत है?

द्वितीय. समूह कार्य पाठ का मुख्य भाग है।

कक्षा को 4 समूहों में बांटा गया है। प्रत्येक समूह को सैद्धांतिक और व्यावहारिक (परिशिष्ट 3) प्रश्नों के साथ एक कार्ड दिया जाता है: "समीकरण को हल करने के लिए प्रस्तावित विधि का पुनर्निर्माण करें और इस उदाहरण का उपयोग करके इसे समझाएं।"

1. समूह कार्य 15 मिनट।
2. बोर्ड पर उदाहरण लिखे गए हैं (बोर्ड को 4 भागों में बांटा गया है)।
3. समूह रिपोर्ट में 2 - 3 मिनट लगते हैं।
4. शिक्षक समूहों की रिपोर्ट में सुधार करता है और कठिनाई के मामले में मदद करता है।

कार्ड 5 - 8 पर समूह कार्य जारी है। प्रत्येक समीकरण को समूह चर्चा के लिए 5 मिनट का समय दिया जाता है। फिर बोर्ड में इस समीकरण पर एक रिपोर्ट है - समाधान का एक संक्षिप्त विश्लेषण। समीकरण पूरी तरह से हल नहीं हो सकता है - इसे घर पर अंतिम रूप दिया जा रहा है, लेकिन कक्षा में इसके समाधान के क्रम की चर्चा हर जगह होती है।

III. स्वतंत्र काम।परिशिष्ट 4.

1. प्रत्येक छात्र को एक व्यक्तिगत असाइनमेंट प्राप्त होता है।
2. समय काम में 20 मिनट लगते हैं।
3. पाठ के अंत से 5 मिनट पहले, शिक्षक प्रत्येक समीकरण के लिए मुक्त उत्तर देता है।
4. छात्र एक मंडली में नोटबुक बदलते हैं और किसी मित्र के उत्तरों की जांच करते हैं। अंक दें।
5. ग्रेड की जाँच और सुधार के लिए शिक्षक को नोटबुक सौंपी जाती है।

चतुर्थ। सबक सारांश।

होम वर्क।

अधूरे समीकरणों का हल चेकआउट करें। एक नियंत्रण टुकड़ा के लिए तैयार करें।

ग्रेडिंग।