शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल। शंकु का जनित्र कैसे ज्ञात करें

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पाठ प्रकार:शिक्षण की समस्या-विकासशील पद्धति के तत्वों का उपयोग करके नई सामग्री का अध्ययन करने का एक पाठ।

पाठ मकसद:

• संज्ञानात्मक:
  • एक नई गणितीय अवधारणा से परिचित होना;
  • नए ZUN का गठन;
  • समस्याओं को हल करने में व्यावहारिक कौशल का गठन।
• विकसित होना:
  • छात्रों की स्वतंत्र सोच का विकास;
  • स्कूली बच्चों के सही भाषण के कौशल का विकास।
• शैक्षिक:
  • टीम वर्क कौशल विकसित करना।

सबक उपकरण:चुंबकीय बोर्ड, कंप्यूटर, स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, शंकु मॉडल, पाठ प्रस्तुति, हैंडआउट्स।

पाठ उद्देश्य (छात्रों के लिए):

• एक नई ज्यामितीय अवधारणा से परिचित हों - एक शंकु;
• एक शंकु के सतह क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें;
• व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में प्राप्त ज्ञान को लागू करना सीखें।

कक्षाओं के दौरान

स्टेज I। संगठनात्मक।

कवर किए गए विषय पर होम टेस्ट वर्क के साथ नोटबुक की डिलीवरी।

छात्रों को पहेली को हल करके आगामी पाठ के विषय का पता लगाने के लिए आमंत्रित किया जाता है (स्लाइड 1):

चित्र 1।

छात्रों को पाठ के विषय और उद्देश्यों की घोषणा (स्लाइड 2).

चरण II। नई सामग्री की व्याख्या।

1) शिक्षक द्वारा व्याख्यान।

बोर्ड पर एक शंकु के साथ एक मेज है। नई सामग्री को कार्यक्रम सामग्री "स्टीरियोमेट्री" के साथ समझाया गया है। स्क्रीन पर एक 3D शंकु दिखाई देता है। शिक्षक शंकु को परिभाषित करता है, इसके तत्वों के बारे में बात करता है। (स्लाइड 3)... ऐसा कहा जाता है कि शंकु एक पिंड है जो पैर के सापेक्ष समकोण त्रिभुज के घूमने से बनता है। (स्लाइड 4, 5)।शंकु की पार्श्व सतह के झाडू की एक छवि दिखाई देती है। (स्लाइड 6)

2) व्यावहारिक कार्य।

बुनियादी ज्ञान अद्यतन: एक सर्कल के क्षेत्र, एक क्षेत्र के क्षेत्र, परिधि, एक सर्कल के चाप की लंबाई की गणना के लिए सूत्रों को दोहराएं। (स्लाइड्स 7-10)

वर्ग को समूहों में बांटा गया है। प्रत्येक समूह को कागज से काटे गए शंकु की पार्श्व सतह (निर्धारित संख्या के साथ वृत्त का क्षेत्र) का एक स्वीप प्राप्त होता है। छात्र आवश्यक माप लेते हैं और परिणामी क्षेत्र के क्षेत्र की गणना करते हैं। कार्य निर्देश, प्रश्न - समस्या विवरण - स्क्रीन पर दिखाई देते हैं (स्लाइड 11-14)... प्रत्येक समूह का प्रतिनिधि बोर्ड पर तैयार की गई तालिका में गणना के परिणामों को लिखता है। प्रत्येक समूह के सदस्य अपने मौजूदा स्वीप से शंकु मॉडल को गोंद करते हैं। (स्लाइड 15)

3) कथन और समस्या का समाधान।

एक शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें यदि केवल आधार की त्रिज्या और शंकु के जेनरेटर की लंबाई ज्ञात हो? (स्लाइड 16)

प्रत्येक समूह आवश्यक माप करता है और उपलब्ध डेटा का उपयोग करके वांछित क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करता है। इस कार्य को करते समय, छात्रों को ध्यान देना चाहिए कि शंकु के आधार की परिधि क्षेत्र के चाप की लंबाई के बराबर है - इस शंकु की पार्श्व सतह का स्वीप। (स्लाइड 17-21)आवश्यक सूत्रों का उपयोग करके, आवश्यक सूत्र प्राप्त किया जाता है। छात्रों का तर्क कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

सेक्टर त्रिज्या - स्वीप बराबर है मैं,चाप की डिग्री माप φ है। त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है, इस त्रिज्यखंड को घेरने वाले चाप की लंबाई शंकु R के आधार की त्रिज्या के बराबर होती है। शंकु के आधार पर स्थित वृत्त की लंबाई C के बराबर होती है = 2πR. ध्यान दें कि चूंकि शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल इसके पार्श्व सतह के झाडू के क्षेत्रफल के बराबर है, तो

तो, शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है एस बीओडी = Rl।

स्वतंत्र रूप से व्युत्पन्न सूत्र के अनुसार शंकु मॉडल की पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना करने के बाद, प्रत्येक समूह का प्रतिनिधि गणना के परिणाम को मॉडल संख्याओं के अनुसार बोर्ड पर एक तालिका में लिखता है। प्रत्येक पंक्ति में गणना परिणाम समान होना चाहिए। इस आधार पर शिक्षक प्रत्येक समूह के निष्कर्षों की शुद्धता का निर्धारण करता है। परिणाम तालिका इस तरह दिखनी चाहिए:

मॉडल पैरामीटर:

1. एल = 12 सेमी, = 120°
2. एल = 10 सेमी, = 150°
3. एल = 15 सेमी, = 120°
4. एल = 10 सेमी, = 170°
5. एल = 14 सेमी, = 110°

गणना का सन्निकटन माप त्रुटियों से जुड़ा है।

परिणामों की जाँच के बाद, शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतहों के लिए सूत्रों का आउटपुट स्क्रीन पर दिखाई देता है (स्लाइड्स 22-26), छात्र नोटबुक में रिकॉर्ड रखते हैं।

चरण III। अध्ययन सामग्री का समेकन।

1) छात्रों की पेशकश की जाती है तैयार चित्र पर मौखिक समाधान के लिए कार्य।

आकृति में दिखाए गए शंकुओं की पूर्ण सतहों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (स्लाइड्स 27-32).

2) प्रश्न:क्या एक समकोण त्रिभुज के विभिन्न टांगों के सापेक्ष घूमने से बने शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल समान हैं? छात्र एक परिकल्पना तैयार करते हैं और उसका परीक्षण करते हैं। परिकल्पना परीक्षण समस्याओं को हल करके किया जाता है और छात्र द्वारा बोर्ड पर लिखा जाता है।

दिया गया: ABC, ∠C = 90 °, AB = c, AC = b, BC = a;

बीएए ", एबीबी" - क्रांति के निकाय।

पाना:एस पीपीके 1, एस पीपीके 2.

चित्रा 5. (स्लाइड 33)

समाधान:

1) आर = बीसी = ए; एस पीपीके 1 = एस बीओडी 1 + एस मुख्य 1 = ए सी + π ए 2 = π ए (ए + सी)।

2) आर = एसी = बी; एस पीपीके 2 = एस बीओडी 2 + एस मुख्य 2 = बी सी + π बी 2 = π बी (बी + सी)।

अगर एस पीपीके 1 = एस पीपीके 2, तो ए 2 + एसी = बी 2 + बीसी, ए 2 - बी 2 + एसी - बीसी = 0, (ए-बी) (ए + बी + सी) = 0।चूंकि ए, बी, सी -धनात्मक संख्याएँ (त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई), तो समानता तभी सत्य है जब ए =बी।

आउटपुट:दो शंकुओं की सतहों का क्षेत्रफल केवल तभी बराबर होता है जब त्रिभुज के पैर बराबर हों। (स्लाइड 34)

3) पाठ्यपुस्तक से समस्या का समाधान: संख्या 565।

चरण IV। पाठ को सारांशित करना।

होम वर्क:पी. 55, 56; नंबर 548, नंबर 561। (स्लाइड 35)

दिए गए अंकों की घोषणा।

पाठ के दौरान निष्कर्ष, पाठ में प्राप्त बुनियादी जानकारी की पुनरावृत्ति।

साहित्य (स्लाइड 36)

1. ज्यामिति 10-11 ग्रेड - अतानासियन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव एट अल।, एम।, "शिक्षा", 2008।
2. "गणितीय पहेली और सारथी" - एन.वी. उदलत्सोवा, पुस्तकालय "1 सितंबर", श्रृंखला "गणित", अंक 35, एम।, चिश्ये प्रूडी, 2010।

हम जानते हैं कि शंकु क्या होता है, आइए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। आपको ऐसी समस्या को हल करने की आवश्यकता क्यों है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि वफ़ल कोन बनाने में कितना आटा लगेगा? या किसी महल की ईंट की छत को गिराने में कितनी ईंटें लगती हैं?

शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल को मापना आसान नहीं है। लेकिन आइए कल्पना करें कि उसी सींग को कपड़े में लपेटा गया है। कपड़े के एक टुकड़े के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसे टेबल पर काटने और फैलाने की जरूरत है। हमें एक समतल आकृति प्राप्त होगी, हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

चावल। 1. जेनरेट्रिक्स के साथ शंकु का खंड

चलो शंकु के साथ भी ऐसा ही करते हैं। आइए किसी भी जेनरेटर के साथ इसकी पार्श्व सतह को "काट" दें, उदाहरण के लिए, (चित्र 1 देखें)।

अब हम एक प्लेन पर साइड की सतह को "खोलेंगे"। हमें सेक्टर मिलता है। इस त्रिज्यखंड का केंद्र शंकु का शीर्ष है, त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु के जनक के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के साथ मेल खाती है। ऐसे त्रिज्यखंड को शंकु की पार्श्व सतह का झाडू कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।

चावल। 2. पार्श्व सतह का विकास

चावल। 3. रेडियन में कोण माप

आइए उपलब्ध आंकड़ों के अनुसार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आइए संकेतन का परिचय दें: रेडियन में त्रिज्यखंड के शीर्ष पर कोण दें (चित्र 3 देखें)।

कार्यों में हमें अक्सर स्वीप के शीर्ष पर कोण से निपटना होगा। अभी के लिए, आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या यह कोण 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता है? यानी क्या यह पता नहीं चलेगा कि स्कैन अपने आप सुपरइम्पोज़ हो जाएगा? बिलकूल नही। आइए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करें। स्कैन को "ओवरलैप" करने दें। इसका मतलब है कि स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या की परिधि से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, स्वीप आर्क की लंबाई त्रिज्या के साथ सर्कल की लंबाई है। और शंकु के आधार की त्रिज्या, निश्चित रूप से, जेनरेट्रिक्स से कम है, उदाहरण के लिए, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से कम है

फिर आइए प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से दो सूत्र याद करें: चाप की लंबाई। सेक्टर क्षेत्र:।

हमारे मामले में, भूमिका जनरेटर द्वारा निभाई जाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर है, अर्थात। हमारे पास है:

अंत में हमें मिलता है:।

पार्श्व सतह क्षेत्र के साथ, कुल सतह क्षेत्र भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आधार क्षेत्र को पार्श्व सतह क्षेत्र में जोड़ें। लेकिन आधार त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल बराबर है।

अंत में, हमारे पास है: , जहाँ बेलन के आधार की त्रिज्या है, जनक है।

आइए दिए गए सूत्रों का उपयोग करके कुछ समस्याओं को हल करें।

चावल। 4. वांछित कोण

उदाहरण 1... शंकु की चपटी भुजा शीर्ष कोण वाला त्रिज्यखंड है। यदि शंकु की ऊँचाई 4 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है, तो यह कोण ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 4)।

चावल। 5. एक शंकु बनाने वाला समकोण त्रिभुज

पहली क्रिया से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जनरेटर पाते हैं: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। इसके अलावा, हम जानते हैं कि .

उदाहरण 2... शंकु के अक्षीय खंड का क्षेत्रफल बराबर है, ऊंचाई के बराबर है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 6)।

आज हम आपको बताएंगे कि एक शंकु के जनक का पता कैसे लगाया जाता है, जिसकी अक्सर स्कूल ज्यामिति की समस्याओं में आवश्यकता होती है।

एक शंकु के जनक की अवधारणा

एक सीधा शंकु एक आकार है जो एक समकोण त्रिभुज को उसके एक पैर के चारों ओर घुमाकर प्राप्त किया जाता है। शंकु का आधार एक वृत्त बनाता है। शंकु का ऊर्ध्वाधर खंड एक त्रिभुज है, क्षैतिज खंड एक वृत्त है। शंकु की ऊंचाई शंकु के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला रेखा खंड है। एक शंकु का जनक एक रेखा खंड है जो शंकु के शीर्ष को आधार परिधि रेखा के किसी भी बिंदु से जोड़ता है।

चूँकि शंकु एक समकोण त्रिभुज के घूमने से बनता है, यह पता चलता है कि ऐसे त्रिभुज का पहला पैर ऊँचाई है, दूसरा आधार पर पड़े वृत्त की त्रिज्या है, और शंकु का जनक होगा कर्ण हो। यह अनुमान लगाना आसान है कि पाइथागोरस प्रमेय जनरेटर की लंबाई की गणना के लिए उपयोगी है। और अब इस बारे में और अधिक कि शंकु के जनक की लंबाई कैसे ज्ञात की जाए।

जनरेटर का पता लगाएं

एक विशिष्ट उदाहरण के साथ यह समझने का सबसे आसान तरीका है कि जेनरेटर को कैसे खोजा जाए। मान लीजिए समस्या की निम्नलिखित स्थितियाँ दी गई हैं: ऊँचाई 9 सेमी है, आधार वृत्त का व्यास 18 सेमी है। जेनरेटर ज्ञात करना आवश्यक है।

तो, शंकु की ऊंचाई (9 सेमी) एक समकोण त्रिभुज के पैरों में से एक है, जिसके साथ यह शंकु बनाया गया था। दूसरा चरण आधार वृत्त की त्रिज्या होगी। त्रिज्या आधा व्यास है। इस प्रकार, हम दिए गए व्यास को आधे में विभाजित करते हैं और हमें त्रिज्या की लंबाई मिलती है: 18: 2 = 9. त्रिज्या 9 है।

अब शंकु का जनक ज्ञात करना बहुत आसान है। चूंकि यह एक कर्ण है, इसलिए इसकी लंबाई का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होगा, यानी त्रिज्या और ऊंचाई के वर्गों का योग। तो, जेनरेटर की लंबाई का वर्ग = 64 (त्रिज्या की लंबाई का वर्ग) + 64 (ऊंचाई की लंबाई का वर्ग) = 64x2 = 128। अब हम 128 का वर्गमूल निकालते हैं। नतीजतन, हमें दो की आठ जड़ें मिलती हैं। यह शंकु का जनक होगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। एक उदाहरण के रूप में, हमने साधारण समस्या की स्थितियाँ लीं, लेकिन एक स्कूल पाठ्यक्रम में वे अधिक जटिल हो सकती हैं। याद रखें कि जेनरेटर की लंबाई की गणना करने के लिए, आपको सर्कल की त्रिज्या और शंकु की ऊंचाई का पता लगाना होगा। इन आंकड़ों को जानकर, जेनरेटर की लंबाई का पता लगाना आसान है।

स्कूल में पढ़े गए क्रांति के पिंड एक सिलेंडर, एक शंकु और एक गेंद हैं।

यदि गणित की परीक्षा में किसी समस्या में आपको शंकु के आयतन या गोले के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है - तो अपने आप को भाग्यशाली समझें।

एक बेलन, शंकु और गेंद के लिए आयतन और सतह क्षेत्र सूत्र लागू करें। वे सभी हमारी तालिका में हैं। कंठस्थ करना। यहीं से स्टीरियोमेट्री का ज्ञान शुरू होता है।

कभी-कभी शीर्ष दृश्य बनाना एक अच्छा विचार होता है। या, जैसा कि इस समस्या में है, नीचे से।

2. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के बारे में वर्णित शंकु का आयतन इस पिरामिड में खुदे हुए शंकु के आयतन से कितनी गुना अधिक है?

यह आसान है - एक निचला दृश्य बनाएं। हम देखते हैं कि बड़े वृत्त की त्रिज्या छोटे वृत्त की त्रिज्या से कई गुना बड़ी होती है। दोनों शंकुओं की ऊँचाई समान है। नतीजतन, बड़े शंकु का आयतन दोगुना बड़ा होगा।

एक और महत्वपूर्ण बिंदु। याद रखें कि गणित में यूएसई संस्करणों के भाग बी की समस्याओं में, उत्तर एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है। अतः भाग ब में कोई या आपके उत्तर में नहीं होना चाहिए। आपको संख्या के अनुमानित मान को बदलने की भी आवश्यकता नहीं है! इसे हर हाल में कम करना होगा! इसके लिए, कुछ समस्याओं में कार्य तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार है: "सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को विभाजित करके खोजें"।

और क्रांति के पिंडों के आयतन और सतह क्षेत्र के सूत्र और कहाँ लागू होते हैं? बेशक, समस्या C2 (16) में। हम आपको इसके बारे में भी बताएंगे।