विषय पर ज्यामिति पाठ (ग्रेड 11) के लिए प्रस्तुति: अंतरिक्ष में समरूपता। अंतरिक्ष में समरूपता. एक नियमित बहुफलक की अवधारणा

ज्यामिति पाठ नोट्स, ग्रेड 10

विषय: अंतरिक्ष में समरूपता. प्रकृति और व्यवहार में समरूपता.

बर्गनोवा लिलिया फ़रीतोव्ना,
GBPOU "अट्निंस्की कृषि महाविद्यालय का नाम गबदुल्ला तुके के नाम पर रखा गया",
तातारस्तान गणराज्य के एटनिंस्की जिले का बोलश्या अतन्या गांव
नौकरी का विवरण: विषय पर ग्रेड 10 के लिए अनुशासन गणित में पाठ सारांश: अंतरिक्ष में समरूपता। प्रकृति और व्यवहार में समरूपता
सामग्री का उद्देश्य:यह सारांश कक्षा 10-11 में गणित के पाठ के लिए विकसित किया गया था; पाठ की योजना बनाते समय यह सामग्री हाई स्कूल के गणित शिक्षकों के लिए उपयोगी होगी।
लक्ष्य:
संज्ञानात्मक: "एक विमान पर समरूपता" विषय पर ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण; अंतरिक्ष में समरूपता के बारे में छात्रों के ज्ञान को आत्मसात करना, अंतरिक्ष में समरूपता का परिवर्तन।
शैक्षिक: विषय में स्थायी रुचि जगाना और सक्रिय करना संज्ञानात्मक गतिविधिछात्र;
अपने पेशे में रुचि का पोषण करना;
विकासात्मक: छात्रों की जिज्ञासा, संज्ञानात्मक रुचि का विकास; स्मृति विकास; सामान्यीकरण करने की क्षमता का विकास।
उद्देश्य: अध्ययन किए जा रहे अनुशासन में रुचि पैदा करना, विकास करना
सामान्य बौद्धिक कौशल: तुलना, विश्लेषण, सामान्यीकरण।
उपदेशात्मक सामग्री और उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, पाठ्यपुस्तक वी.ए. गुसेव "गणित", ए.एन. पोगोरेलोव "ज्यामिति", हैंडआउट्स (परीक्षण)

पाठ की प्रगति.

I. संगठनात्मक क्षण।पाठ के लिए मूड सेट करें। पाठ के लिए समूह की तैयारी की जाँच करें और उपस्थित सभी लोगों का अभिवादन करें।
II.छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।पाठ आयोजित करने की प्रक्रिया से परिचित होना, छात्रों को किस पर ध्यान देना चाहिए, इस पर सिफारिशें विशेष ध्यानआपकी कार्यपुस्तिका में क्या लिखा जाना चाहिए.
शिक्षक आपसे प्रश्नों के उत्तर देकर पाठ के विषय का अनुमान लगाने के लिए कहता है (उत्तर: समरूपता)।
1.ज्यामिति का वह अनुभाग जिसमें अंतरिक्ष में आकृतियों का अध्ययन किया जाता है। (स्टीरियोमेट्री)
2. अंतरिक्ष का परिवर्तन जो संगत बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित करता है (आइसोमेट्रिक)
3. एक सरल बंद टूटी हुई रेखा और उसके द्वारा सीमित समतल के भाग से बनी आकृति कहलाती है... (बहुभुज)
4. एक "ज्यामितीय पिंड" जिसकी सतह बहुभुजों से बनी होती है, कहलाती है... (पॉलीहेड्रॉन)
5.दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर गुजरता है...एक तल।
6. वे कथन जिन्हें सिद्ध करने की आवश्यकता होती है, कहलाते हैं... (प्रमेय)
7.दो द्विफलकीय कोण क्या कहलाते हैं यदि उनका मान समान (बराबर) हो?
8. ऐसे तल जिनमें... कम से कम एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, प्रतिच्छेदी (है) कहलाते हैं।
9.आप चित्र में क्या देख रहे हैं? (सीधा)
शिक्षक: "हमारा पाठ ज्यामिति अनुभाग "अंतरिक्ष में समरूपता" में एक दिलचस्प और आकर्षक विषय को समर्पित है। आज हम प्रकृति और व्यवहार में समरूपता पर भी नज़र डालेंगे।
समरूपता की अवधारणा पूरे मानव इतिहास में चलती है। यह मानव ज्ञान के मूल में पहले से ही पाया जाता है। इसकी उत्पत्ति एक जीवित जीव, अर्थात् मनुष्य के अध्ययन के संबंध में हुई थी, और इसका उपयोग 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में मूर्तिकारों द्वारा किया गया था। ई.
"समरूपता" शब्द ग्रीक है। इसका अर्थ है "आनुपातिकता", "आनुपातिकता", भागों की व्यवस्था में एकरूपता। बिना किसी अपवाद के आधुनिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
कई महान लोगों ने इस पैटर्न के बारे में सोचा है। उदाहरण के लिए, एल.एन. टॉल्स्टॉय ने कहा: “सामने खड़ा हूँ।” ब्लैक बोर्डऔर उस पर चाक से अलग-अलग आकृतियाँ बनाते हुए, मेरे मन में अचानक यह विचार आया: समरूपता आँख को क्यों अच्छी लगती है? समरूपता क्या है? यह एक सहज भावना है. यह किस पर आधारित है?”
आज कक्षा में हम उन प्रश्नों का उत्तर देने का प्रयास करेंगे जो टॉल्स्टॉय ने हमसे पूछे थे।
आरंभ करने के लिए, आइए बुनियादी स्कूल पाठ्यक्रम से एक बिंदु के बारे में समरूपता, एक रेखा के बारे में समरूपता, एक अक्ष के बारे में समरूपता जैसी अवधारणाओं को याद करें।
आगे, हम अंतरिक्ष, प्रकृति और व्यवहार में समरूपता पर विचार करेंगे।
1. दो बिंदुओं को किसी दिए गए बिंदु (समरूपता का केंद्र) के बारे में सममित या केंद्रीय सममित कहा जाता है यदि यह बिंदु उन्हें जोड़ने वाले खंड का मध्य बिंदु है।
केंद्रीय समरूपता- स्वयं पर अंतरिक्ष का मानचित्रण, जिसमें कोई भी बिंदु M किसी दिए गए केंद्र O के सापेक्ष उसके सममित बिंदु M1 में चला जाता है।
केंद्रीय समरूपता के उदाहरण

केंद्रीय समरूपता के साथ ज्यामितीय आकृतियाँ

अंतरिक्ष में बिंदु A1 और A2 को रेखा l के संबंध में सममित कहा जाता है यदि रेखा l खंड AA1 के मध्य से होकर गुजरती है और इस खंड के लंबवत है।
सीधी रेखा l को बिंदु A1 और A2 की समरूपता का अक्ष कहा जाता है

एक आकृति को रेखा l के संबंध में सममित कहा जाता है यदि, आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए, रेखा l के संबंध में सममित एक बिंदु भी इस आकृति से संबंधित है। सीधी रेखा l को आकृति की समरूपता का अक्ष कहा जाता है। यह भी कहा जाता है कि आकृति में अक्षीय समरूपता है।

अक्षीय समरूपता हमारे चारों ओर है

अक्षीय समरूपता वाली आकृतियाँ
-ज्यामितीय आंकड़े, अक्ष के बारे में सममित:
(कोना, समद्विबाहु त्रिभुज, आयत, समचतुर्भुज, समान भुजाओं वाला त्रिकोण, वर्ग, वृत्त)

किसी नये विषय की व्याख्या

एक सीधी रेखा और एक समतल की लंबवतता का उपयोग करते हुए, हम समतल के सापेक्ष समरूपता, या दर्पण समरूपता की महत्वपूर्ण अवधारणा का परिचय देते हैं।

समरूपता के तल की भूमिका दर्पण द्वारा निभाई जाती है, यही कारण है कि इस समरूपता को दर्पण समरूपता कहा जाता है।
दर्पण समरूपता के साथ, एक आकृति का प्रत्येक बिंदु दूसरी आकृति के एक बिंदु में चला जाता है जो किसी दिए गए विमान के सापेक्ष उसके सममित होता है।
परिभाषा: बिंदु A और A1 को समतल के सापेक्ष सममित कहा जाता है यदि सीधी रेखा AA1 बिंदु O और OM = OM1 पर समतल के लंबवत है

आइए हमारे पास एक आकृति A और एक समतल है। यदि हम समतल के सापेक्ष आकृति A के बिंदुओं के सममित बिंदु बनाते हैं, तो हमें आकृति A1 प्राप्त होती है, सममित आकृतिऔर विमान के सापेक्ष.
परिभाषा: किसी समतल के सापेक्ष सममिति अंतरिक्ष का एक परिवर्तन है जिसमें सभी बिंदु ऐसे बिंदुओं में परिवर्तित हो जाते हैं जो इस समतल के संबंध में सममित होते हैं।
वे कहते हैं कि बिंदु A, समतल के सापेक्ष समरूपता के साथ, बिंदु A1 पर चला गया है।
आइए हम एक समतल के सापेक्ष समरूपता के गुणों को सूचीबद्ध करें:
1. दर्पण समरूपता एक ज्यामितीय परिवर्तन है।
2. दर्पण समरूपता के साथ, आकृतियों के संगत बिंदुओं के बीच की दूरी संरक्षित रहती है।
3.किसी समतल के सापेक्ष सममिति सममिति है।
4. प्रत्येक आकृति दर्पण समरूपता के साथ एक समान आकृति में परिवर्तित हो जाती है।

दर्पण समरूपता की दुनिया. प्रकृति और व्यवहार में समरूपता.

जल में प्रतिबिम्ब - अच्छा उदाहरणप्रकृति में दर्पण समरूपता.
हम कलाकारों के परिदृश्यों और सफल तस्वीरों की प्रशंसा करते हैं। झील की सतह पर पहाड़ खूबसूरती से प्रतिबिंबित होते हैं, जो फोटो को पूर्णता प्रदान करते हैं। झील की सतह एक दर्पण की भूमिका निभाती है और ज्यामितीय सटीकता के साथ प्रतिबिंब को पुन: उत्पन्न करती है। पानी की सतह समरूपता का एक तल है...
एक दूसरे के दर्पण प्रतिबिंबों के उदाहरणों में मानव हाथ शामिल हैं। दर्पण समरूपता का प्रभाव अक्सर व्यवहार में प्रयोग किया जाता है। इसलिए, जूते की दुकानों में कभी-कभी प्रदर्शन के लिए केवल एक ही जूता रखा जाता है। दर्पण में जूता प्रतिबिम्बित होता है और देखने पर हमें ऐसा प्रतीत होता है कि हम जूते की एक जोड़ी देख रहे हैं।
हरमन वेइल ने कहा: "समरूपता वह विचार है जिसके द्वारा सदियों से मनुष्य ने व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश की है।" हरमन वेइल एक जर्मन गणितज्ञ हैं। उनकी गतिविधि 20वीं सदी के पूर्वार्द्ध से चली आ रही है।
यह वह था जिसने समरूपता की परिभाषा तैयार की, यह स्थापित किया कि किसी दिए गए मामले में उपस्थिति या, इसके विपरीत, समरूपता की अनुपस्थिति का निर्धारण करने के लिए कौन से संकेत हैं।
सचमुच, समरूपता आंख को भाती है।
प्रकृति की रचनाओं की समरूपता की प्रशंसा किसने नहीं की है: पत्ते, फूल, पक्षी, जानवर; या मानव रचनाएँ: इमारतें, प्रौद्योगिकी, - वह सब कुछ जो बचपन से हमें घेरे हुए है, वह सब कुछ जो सुंदरता और सद्भाव के लिए प्रयास करता है।

हमारे चारों ओर की दुनिया में कई आकृतियाँ (वस्तुएँ) हैं जिनमें समरूपता का एक तल होता है। कई उपकरणों (हवाई जहाज़, हथौड़े, फावड़े) में समरूपता के तल होते हैं। पाइप, बीयरिंग, कारों के विमान के सापेक्ष सममित
ए) वास्तुशिल्प कार्य समरूपता के असाधारण गुणों को दर्शाते हैं। अधिकांश इमारतें दर्पण सममित हैं

ख) कालीनों पर पैटर्न भी सममित हैं
ग) अनुप्रयुक्त कला में समरूपता व्यापक रूप से पाई जाती है। आभूषण और कॉर्निस समय-समय पर दोहराए जाने वाले पैटर्न पर आधारित होते हैं।
घ) रोजमर्रा की जिंदगी में।

प्रकृति में समरूपता

प्रश्न: हमारे कार्यालय में उन आकृतियों या वस्तुओं के नाम बताइए जो समतल के सापेक्ष सममित हैं।
आइए इस विषय पर एक भाषण सुनें (पहले से तैयार छात्र का भाषण)
चतुर्थ. ज्ञान का समेकन.
1.आपको क्या लगता है कि आपके पेशे में समरूपता का उपयोग कहाँ किया जाता है? आइए उदाहरण देखें.
2. समस्याओं का समाधान.
क) क्या बिंदु किसी दिए गए बिंदु के बारे में सममित हैं?
बी) निम्नलिखित में से किस अक्षर में समरूपता का केंद्र है
ग) निम्नलिखित में से किस अक्षर में समरूपता का अक्ष है:
घ) क्या ये बिंदु अक्ष के प्रति सममित हैं?
3. तार्किक सोच के लिए पहेलियाँ सुलझाना
4. 2 विकल्पों में परीक्षण कार्य करें।
5. ए.वी. पोगोरेलोव की पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति" संख्या 16,17,18 के अनुसार समस्या
वी. होमवर्क.
1. वी.ए. गुसेव की पाठ्यपुस्तक "गणित" पृष्ठ 22.2-22.3 के बारे में प्रश्नों के उत्तर दें
2.इस विषय पर एक प्रस्तुति तैयार करें: "प्रकृति में समरूपता"
VI. प्रतिबिंब
इस पाठ में हमने क्या सीखा?
अंतरिक्ष में समरूपता के प्रकारों की सूची बनाएं?
किसी व्यक्ति को समरूपता के बारे में जानने की आवश्यकता क्यों है?
सातवीं. पाठ का निष्कर्ष, ग्रेडिंग।

§ 1 समरूपता क्या है

इस पाठ का उद्धरण प्रसिद्ध वैज्ञानिक, साइबरनेटिक्स के निर्माता नॉर्बर्ट वीनर का एक कथन होगा, जो आज चर्चा की जाने वाली हर चीज़ को बहुत सटीक रूप से व्यक्त करता है।

"गणित का सर्वोच्च उद्देश्य हमारे चारों ओर फैली अराजकता में सुंदरता, सद्भाव और व्यवस्था खोजना है।"

समरूपता उन नियमों में से एक है जो ब्रह्मांड के सामंजस्य को सुनिश्चित करता है, हम आज इसके बारे में बात करेंगे और उन अवधारणाओं पर विस्तार करेंगे जो प्लैनिमेट्री पाठों में पेश की गई थीं।

में रोजमर्रा की भाषासममिति शब्द का प्रयोग दो अर्थों में किया जाता है। एक अर्थ में, सममिति का मतलब कुछ ऐसा है जो अच्छी तरह से आनुपातिक, संतुलित है, और समरूपता व्यक्तिगत भागों की उस तरह की सुसंगतता को दर्शाती है जो उन्हें एक पूरे में जोड़ती है। सौंदर्य का समरूपता से गहरा संबंध है। इस पर चर्चा की गई है, उदाहरण के लिए, पॉलीक्लिटोस, एक मूर्तिकार द्वारा अनुपात पर उनकी पुस्तक में जिनकी मूर्तियों की सामंजस्यपूर्ण पूर्णता के लिए पूर्वजों द्वारा प्रशंसा की गई थी। तराजू की छवि एक प्राकृतिक कड़ी है जो हमारे समय में प्रयुक्त समरूपता शब्द के दूसरे अर्थ की ओर ले जाती है: दर्पण समरूपता - बाएं और दाएं की समरूपता, जो उच्चतर जानवरों और मनुष्यों में शरीर की संरचना में ध्यान देने योग्य है।

दर्पण समरूपता के रूप में कार्य करता है विशेष मामलाप्रतिबिंब या घूर्णन जैसे कार्यों से संबंधित समरूपता की ज्यामितीय अवधारणा।

पाइथागोरस ने इसे सबसे उत्तम माना ज्यामितीय आकारसमतल पर - एक वृत्त, और अंतरिक्ष में - उनकी पूर्ण घूर्णी समरूपता के कारण एक गोला।

समरूपता, व्यापक या संकीर्ण अर्थ में, वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य सदियों से व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश कर रहा है। इस प्रकार, अंतरिक्ष और समय के गुण प्रकृति में उसके सामंजस्य की अभिव्यक्ति के रूप में समरूपता, नियमितता की ओर ले जाते हैं

§ 2 एक बिंदु के बारे में समरूपता

प्लैनिमेट्री में, हमने उन आकृतियों पर विचार किया जो एक बिंदु के संबंध में और एक सीधी रेखा के संबंध में सममित हैं। स्टीरियोमेट्री में, एक बिंदु, रेखा और तल के संबंध में समरूपता पर विचार किया जाता है।

बिंदु A और A1 को बिंदु O (समरूपता का केंद्र) के सापेक्ष सममित कहा जाता है यदि O खंड AA1 का मध्य है। बिंदु O को स्वयं सममित माना जाता है। केंद्रीय समरूपता का एक उदाहरण एक फूल या पैटर्न होगा

§ 3 एक सीधी रेखा के बारे में समरूपता

बिंदु A और A1 को सीधी रेखा a (समरूपता की धुरी) के संबंध में सममित कहा जाता है यदि सीधी रेखा खंड AA1 के मध्य से होकर गुजरती है और इस खंड के लंबवत है। रेखा a का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है।

ऐसी समरूपता का उदाहरण न केवल सुंदर तितलियों में देखा जा सकता है, बल्कि पूरी इमारतों में भी देखा जा सकता है, जैसे कि

मास्को भवन स्टेट यूनिवर्सिटीउन्हें। लोमोनोसोव,

कैथेड्रल ऑफ क्राइस्ट द सेवियर,

मकबरा-मस्जिद ताज महल।

§ 4 समतल के बारे में समरूपता

स्थानिक ज्यामिति में, आइए समतल के सापेक्ष समरूपता जोड़ें।

बिंदु A और A1 को समतल α (समरूपता का तल) के सापेक्ष सममित कहा जाता है यदि समतल α खंड AA1 के मध्य से होकर गुजरता है और इस खंड के लंबवत है। α तल का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है।

स्टीरियोमेट्री का अध्ययन करते समय, कोई किसी आकृति के केंद्र, अक्ष और समरूपता के तल के बारे में भी बात कर सकता है।

एक बिंदु (सीधी रेखा, समतल) को किसी आकृति की समरूपता का केंद्र (अक्ष, समतल) कहा जाता है यदि आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के किसी बिंदु के सापेक्ष सममित हो। यदि किसी आकृति में एक केंद्र (अक्ष, समरूपता का तल) है, तो इसे केंद्रीय (अक्षीय, दर्पण) समरूपता कहा जाता है।

चित्रों में अब आप एक आयताकार समांतर चतुर्भुज, साथ ही इसके समरूपता का केंद्र, समरूपता की धुरी, समरूपता के तल को देख सकते हैं।

एक समान्तर चतुर्भुज, जो आयताकार नहीं है लेकिन एक सीधा प्रिज्म है, में एक तल (या यदि इसका आधार एक समचतुर्भुज है तो समतल), एक अक्ष और समरूपता का एक केंद्र होता है।

§ 5 विषमता

एक आकृति में समरूपता के एक या अधिक केंद्र (अक्ष, समरूपता के तल) हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक घन में समरूपता का केवल एक केंद्र और समरूपता के कई अक्ष और तल होते हैं। ऐसी आकृतियाँ हैं जिनमें अनंत रूप से कई केंद्र, अक्ष या समरूपता के तल होते हैं। इनमें से सबसे सरल आकृतियाँ सीधी रेखा और समतल हैं। इसके विपरीत, ऐसी आकृतियाँ भी होती हैं जिनमें केंद्र, अक्ष या सममिति तल नहीं होते हैं। इस मामले में, हम असममिति के रूप में एक और गणितीय अवधारणा के बारे में बात करते हैं, जिसका अर्थ है समरूपता की अनुपस्थिति। आज, जीवविज्ञानी और मनोवैज्ञानिक, रसायनज्ञ और डॉक्टर समरूपता के रहस्यों को सुलझाने और बाएं और दाएं के रहस्यों को सुलझाने के लिए मिलकर काम करने की कोशिश कर रहे हैं। हर दिन हम दर्पण में देखते हैं, लेकिन हम शायद ही कभी सोचते हैं कि प्रतिबिंब में क्या है। दांया हाथबाईं ओर मुड़ता है. प्रकृति ने गोलार्धों, भुजाओं, पैरों, आँखों के कुछ कार्यों को क्यों बनाया और दोहराया, लेकिन मनुष्य के पास केवल एक मुँह है? आश्चर्य की बात है कि अपनी सारी समरूपता के बावजूद हम असममित हैं। आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकियाँ केवल चेहरे के बाएँ भाग से या दाएँ भाग से यह देखना संभव बनाती हैं कि कोई व्यक्ति कैसा होगा। परिणाम उन अधिकांश लोगों को स्तब्ध कर देता है जो परिणामी चित्रों को देखते हैं। दाएं और बाएं गोलार्ध के व्यक्ति एक-दूसरे से भिन्न होते हैं। चारों ओर देखें, शायद आप चारों ओर समरूपता और विषमता देखेंगे और इसकी प्रशंसा करेंगे।

1. ज्यामिति। 10 - 11 ग्रेड: सामान्य शिक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। स्तर / [एल. एस. अतानास्यान, वी. एफ. बुटुज़ोव, एस. बी. कदोमत्सेव और अन्य]। - 22वां संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2013. - 255 पी. : बीमार। - (एमएसयू - स्कूल में)
2. शैक्षिक- कार्यप्रणाली मैनुअलकी मदद स्कूल शिक्षकयारोवेंको वी.ए. द्वारा संकलित। एल.एस. अतानास्यान एट अल (एम.: प्रोस्वेशचेनिये) 10वीं कक्षा के शैक्षिक सेट के लिए ज्यामिति में पाठ विकास
3. राबिनोविच ई.एम. तैयार चित्रों पर कार्य और अभ्यास। 10 - 11 ग्रेड. ज्यामिति। - एम.: इलेक्सा, 2006। - 80 एस.
4. एम. हां वायगोडस्की हैंडबुक ऑफ एलीमेंट्री मैथमेटिक्स एम.: एएसटी एस्ट्रेल, 2006. - 509 पी।
5. अवंता+. बच्चों के लिए विश्वकोश. खंड 11. गणित दूसरा संस्करण, संशोधित। - एम.: वर्ल्ड ऑफ अवंता+ विश्वकोश: एस्ट्रेल 2007. - 621 पी। एड. बोर्ड: एम. अक्सेनोवा, वी. वोलोडिन, एम. सैमसनोव

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स्लाइड कैप्शन:

अंतरिक्ष में समरूपता A A 1 O बिंदु A और A1 को बिंदु O (समरूपता का केंद्र) के सापेक्ष सममित कहा जाता है यदि O खंड AA1 का मध्य है। बिंदु O को स्वयं सममित माना जाता है।

अंतरिक्ष में समरूपता बिंदु A और A1 को एक सीधी रेखा (समरूपता की धुरी) के संबंध में सममित कहा जाता है यदि सीधी रेखा खंड AA1 के मध्य से होकर गुजरती है और इस खंड के लंबवत है। रेखा a का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है। पत्ती, बर्फ का टुकड़ा, तितली - उदाहरण अक्षीय समरूपता. ए 1 ए ए

अंतरिक्ष में समरूपता बिंदु ए और ए 1 को एक विमान (समरूपता का विमान) के सापेक्ष सममित कहा जाता है यदि यह विमान खंड एए 1 के मध्य से गुजरता है और इस खंड के लंबवत है। समतल का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है। ए ए 1

एक बिंदु (सीधी रेखा, समतल) को किसी आकृति की समरूपता का केंद्र (अक्ष, समतल) कहा जाता है यदि आकृति का प्रत्येक बिंदु उसी आकृति के किसी बिंदु के सापेक्ष सममित हो। यदि किसी आकृति में समरूपता का केंद्र (अक्ष, तल) है, तो इसे केंद्रीय (अक्षीय, दर्पण) समरूपता कहा जाता है। ए 1 ए ओ ए 1 ए ओ

हम अक्सर प्रकृति, वास्तुकला, प्रौद्योगिकी और रोजमर्रा की जिंदगी में समरूपता का सामना करते हैं। इस प्रकार, कई इमारतें समतल के सापेक्ष सममित हैं, उदाहरण के लिए, मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी की मुख्य इमारत में कुछ प्रकार के हिस्सों में समरूपता की धुरी होती है। प्रकृति में पाए जाने वाले लगभग सभी क्रिस्टलों में एक केंद्र, अक्ष या समरूपता का तल होता है। ज्यामिति में, किसी बहुफलक के केंद्र, अक्षों और समरूपता के तलों को उस बहुफलक के समरूपता तत्व कहा जाता है।

नियमित पॉलीहेड्स

विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स

पाठ का पद्धतिगत औचित्य। विषय पर जानकारी के व्यवस्थितकरण को सारांशित करते समय ज्यामिति पाठ में भौतिकी, खगोल विज्ञान, एमएचसी, जीवविज्ञान से ज्ञान का उपयोग करना: "अंतरिक्ष में समरूपता।" नियम...

सदियों से, समरूपता एक ऐसा विषय रहा है जिसने दार्शनिकों, खगोलविदों, गणितज्ञों, कलाकारों, वास्तुकारों और भौतिकविदों को आकर्षित किया है। प्राचीन यूनानी इसके प्रति पूरी तरह से आसक्त थे - और आज भी हम फर्नीचर व्यवस्था से लेकर बाल कटाने तक हर चीज में समरूपता का सामना करते हैं।

बस यह ध्यान रखें कि एक बार जब आपको इसका एहसास हो जाए, तो संभवतः आप जो कुछ भी देखते हैं उसमें समरूपता देखने की तीव्र इच्छा महसूस करेंगे।

(कुल 10 तस्वीरें)

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1. ब्रोकोली रोमनेस्को

शायद आपने स्टोर में रोमनस्को ब्रोकोली देखी हो और सोचा हो कि यह आनुवंशिक रूप से संशोधित उत्पाद का एक और उदाहरण है। लेकिन वास्तव में, यह प्रकृति की भग्न समरूपता का एक और उदाहरण है। प्रत्येक ब्रोकोली पुष्प में एक लघुगणकीय सर्पिल पैटर्न होता है। रोमनेस्को दिखने में ब्रोकोली के समान है, लेकिन स्वाद और स्थिरता में - फूलगोभी. इसमें कैरोटीनॉयड के साथ-साथ विटामिन सी और के भी प्रचुर मात्रा में होता है, जो इसे न केवल सुंदर बनाता है, बल्कि स्वास्थ्यवर्धक भोजन भी बनाता है।

हज़ारों वर्षों से, लोग छत्ते के उत्तम षटकोणीय आकार को देखकर आश्चर्यचकित हो गए हैं और खुद से पूछा है कि मधुमक्खियाँ सहज रूप से एक ऐसा आकार कैसे बना सकती हैं जिसे मनुष्य केवल एक कम्पास और शासक के साथ ही पुन: उत्पन्न कर सकते हैं। मधुमक्खियों को षटकोण बनाने का शौक कैसे और क्यों होता है? गणितज्ञों का मानना ​​है कि यह एक आदर्श आकार है जो उन्हें न्यूनतम मात्रा में मोम का उपयोग करके अधिकतम मात्रा में शहद संग्रहीत करने की अनुमति देता है। किसी भी तरह, यह सब प्रकृति का उत्पाद है, और यह बहुत प्रभावशाली है।

3. सूरजमुखी

सूरजमुखी रेडियल समरूपता और एक दिलचस्प प्रकार की समरूपता का दावा करता है जिसे फाइबोनैचि अनुक्रम के रूप में जाना जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, आदि। (प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से निर्धारित होती है)। यदि हम अपना समय लें और सूरजमुखी में बीजों की संख्या गिनें, तो हम पाएंगे कि सर्पिलों की संख्या फाइबोनैचि अनुक्रम के सिद्धांतों के अनुसार बढ़ती है। प्रकृति में कई पौधे हैं (रोमनेस्को ब्रोकोली सहित) जिनकी पंखुड़ियाँ, बीज और पत्तियाँ इस क्रम से मेल खाती हैं, यही कारण है कि चार पत्तियों वाला तिपतिया घास ढूंढना इतना मुश्किल है।

लेकिन सूरजमुखी और अन्य पौधे गणितीय नियमों का पालन क्यों करते हैं? छत्ते में षट्कोण की तरह, यह सब दक्षता का मामला है।

4. नॉटिलस शैल

पौधों के अलावा, कुछ जानवर, जैसे नॉटिलस, फाइबोनैचि अनुक्रम का पालन करते हैं। नॉटिलस का खोल फाइबोनैचि सर्पिल में बदल जाता है। खोल उसी आनुपातिक आकार को बनाए रखने की कोशिश करता है, जो इसे जीवन भर बनाए रखने की अनुमति देता है (मनुष्यों के विपरीत, जो पूरे जीवन में अनुपात बदलते हैं)। सभी नॉटिलस में फाइबोनैचि शेल नहीं होता है, लेकिन वे सभी एक लघुगणकीय सर्पिल का पालन करते हैं।

इससे पहले कि आप गणित के क्लैम्स से ईर्ष्या करें, याद रखें कि वे ऐसा जानबूझकर नहीं करते हैं, बात बस इतनी है कि यह रूप उनके लिए सबसे तर्कसंगत है।

5. पशु

अधिकांश जानवरों में द्विपक्षीय समरूपता होती है, जिसका अर्थ है कि उन्हें दो समान हिस्सों में विभाजित किया जा सकता है। यहां तक ​​कि मनुष्यों में भी द्विपक्षीय समरूपता होती है, और कुछ वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि किसी व्यक्ति की समरूपता सबसे महत्वपूर्ण कारक है जो हमारी सुंदरता की धारणा को प्रभावित करती है। दूसरे शब्दों में, यदि आपका चेहरा एकतरफ़ा है, तो आप केवल यह आशा कर सकते हैं कि इसकी भरपाई अन्य अच्छे गुणों से हो।

कुछ लोग मोर जैसे साथी को आकर्षित करने के प्रयास में पूर्ण समरूपता अपनाते हैं। डार्विन निश्चित रूप से पक्षी से नाराज़ थे, और उन्होंने एक पत्र में लिखा था कि "जब भी मैं मोर को देखता हूँ, उसकी पूँछ के पंखों को देखकर मेरा मन बीमार हो जाता है!" डार्विन को, पूंछ बोझिल लगती थी और इसका कोई विकासवादी अर्थ नहीं था, क्योंकि यह "योग्यतम की उत्तरजीविता" के उनके सिद्धांत के साथ फिट नहीं बैठती थी। वह यौन चयन के सिद्धांत के सामने आने तक क्रोधित थे, जिसमें कहा गया था कि जानवरों में संभोग की संभावना बढ़ाने के लिए कुछ विशेषताएं विकसित होती हैं। इसलिए, साथी को आकर्षित करने के लिए मोर के पास विभिन्न अनुकूलन होते हैं।

लगभग 5,000 प्रकार की मकड़ियाँ हैं, और वे सभी लगभग समान दूरी पर रेडियल सहायक धागों और शिकार को पकड़ने के लिए सर्पिल जालों के साथ लगभग पूर्ण गोलाकार जाल बनाती हैं। वैज्ञानिक निश्चित नहीं हैं कि मकड़ियों को ज्यामिति इतनी पसंद क्यों है, क्योंकि परीक्षणों से पता चला है कि एक गोल कपड़ा एक कैनवास से बेहतर भोजन को आकर्षित नहीं कर सकता है। अनियमित आकार. वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि जब शिकार जाल में फंस जाता है तो रेडियल समरूपता प्रभाव बल को समान रूप से वितरित करती है, जिसके परिणामस्वरूप कम टूटना होता है।

कुछ चालबाजों को एक बोर्ड, घास काटने की मशीन और अंधेरे से सुरक्षा दें, और आप देखेंगे कि लोग सममित आकार भी बनाते हैं। डिज़ाइन की जटिलता और क्रॉप सर्कल की अविश्वसनीय समरूपता के कारण, सर्कल के रचनाकारों द्वारा कबूल किए जाने और अपने कौशल का प्रदर्शन करने के बाद भी, कई लोग अभी भी मानते हैं कि वे अंतरिक्ष एलियंस द्वारा बनाए गए थे।

जैसे-जैसे वृत्त अधिक जटिल होते जाते हैं, उनकी कृत्रिम उत्पत्ति अधिक स्पष्ट होती जाती है। यह मान लेना अतार्किक है कि एलियंस अपने संदेशों को और अधिक कठिन बना देंगे जबकि हम पहले संदेशों को समझ भी नहीं सके।

चाहे वे कैसे भी बने हों, क्रॉप सर्कल देखने में आनंददायक हैं, मुख्यतः क्योंकि उनकी ज्यामिति प्रभावशाली है।

यहां तक ​​कि बर्फ के टुकड़े जैसी छोटी संरचनाएं भी समरूपता के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं, क्योंकि अधिकांश बर्फ के टुकड़ों में हेक्सागोनल समरूपता होती है। ऐसा आंशिक रूप से पानी के अणुओं के जमने (क्रिस्टलीकृत) होने पर पंक्तिबद्ध होने के कारण होता है। पानी के अणु कमजोर हाइड्रोजन बांड बनाकर ठोस हो जाते हैं, वे एक व्यवस्थित व्यवस्था में संरेखित होते हैं जो आकर्षण और प्रतिकर्षण की शक्तियों को संतुलित करते हैं, जिससे बर्फ के टुकड़े का षट्कोणीय आकार बनता है। लेकिन एक ही समय में, प्रत्येक बर्फ का टुकड़ा सममित होता है, लेकिन एक भी बर्फ का टुकड़ा दूसरे के समान नहीं होता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि जब प्रत्येक बर्फ का टुकड़ा आसमान से गिरता है, तो यह अद्वितीय वायुमंडलीय परिस्थितियों का अनुभव करता है जिसके कारण इसके क्रिस्टल एक निश्चित तरीके से व्यवस्थित हो जाते हैं।

9. आकाशगंगा

जैसा कि हम पहले ही देख चुके हैं, समरूपता और गणितीय मॉडललगभग हर जगह मौजूद हैं, लेकिन क्या प्रकृति के ये नियम हमारे ग्रह तक ही सीमित हैं? स्पष्टः नहीं। हाल ही में Galaxy's Edge पर एक नया अनुभाग खोला गया है आकाशगंगा, और खगोलविदों का मानना ​​है कि आकाशगंगा स्वयं की लगभग पूर्ण दर्पण छवि है।

10. सूर्य-चन्द्र समरूपता

यह देखते हुए कि सूर्य का व्यास 14 लाख किमी है और चंद्रमा का व्यास 3,474 किमी है, यह लगभग असंभव लगता है कि चंद्रमा सूर्य के प्रकाश को रोक सकता है और हमें हर दो साल में लगभग पांच सूर्य ग्रहण प्रदान कर सकता है। कैसे यह काम करता है? संयोगवश, जबकि सूर्य चंद्रमा से लगभग 400 गुना चौड़ा है, सूर्य 400 गुना दूर भी है। समरूपता यह सुनिश्चित करती है कि पृथ्वी से देखने पर सूर्य और चंद्रमा एक ही आकार के हों, इसलिए चंद्रमा सूर्य को अस्पष्ट कर सकता है। बेशक, पृथ्वी से सूर्य की दूरी बढ़ सकती है, यही कारण है कि हम कभी-कभी वलयाकार और आंशिक ग्रहण देखते हैं। लेकिन हर एक या दो साल में एक अच्छा संरेखण होता है और हम एक शानदार घटना देखते हैं जिसे पूर्ण कहा जाता है सूर्यग्रहण. खगोलविदों को यह नहीं पता कि यह समरूपता अन्य ग्रहों में कितनी सामान्य है, लेकिन उनका मानना ​​है कि यह काफी दुर्लभ है। हालाँकि, हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि हम विशेष हैं, क्योंकि यह सब संयोग की बात है। उदाहरण के लिए, हर साल चंद्रमा पृथ्वी से लगभग 4 सेमी दूर चला जाता है, जिसका अर्थ है कि अरबों साल पहले हर सूर्य ग्रहण पूर्ण ग्रहण होता था। यदि चीजें इसी तरह जारी रहीं, तो अंततः पूर्ण ग्रहण गायब हो जाएंगे, और इसके साथ ही वलयाकार ग्रहण भी गायब हो जाएगा। यह पता चला है कि हम बस अंदर हैं सही जगह परइस घटना को देखने के लिए सही समय पर।

अंतरिक्ष में समरूपता भागों या तत्वों का एक सुंदर, सामंजस्यपूर्ण और संतुलित आनुपातिक संबंध है विभिन्न रूपवस्तुएं, जीव या वस्तुएं। अपने आस-पास के अंतरिक्ष में हम सममित आकार की बहुत सी निर्जीव वस्तुओं को देख सकते हैं। सरल और अत्यधिक जटिल दोनों तरह के जीवित जीवों की संरचना में समरूपता के तत्व भी होते हैं।

उत्कृष्टता के लिए प्रयासरत

एक सममित आकार की पहचान पूर्णता और सामंजस्य से की जा सकती है। यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि "समरूपता" और "पूर्णता" जैसे शब्द कई लोगों की भाषाओं में पर्यायवाची हैं।

अंतरिक्ष में समरूपता हर जगह पाई जाती है। पौधों और जीवित जीवों के रूपों की विविधता उनकी आनुपातिकता, स्थिरता और एर्गोनोमिक रूप से आश्चर्यचकित करती है। यहां हर चीज़ को सबसे छोटे विवरण के साथ सोचा गया है: अद्भुत सुंदरता, अनुपात की सुंदरता और कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं। जीवन की सर्वोत्तम कार्यक्षमता के लिए सब कुछ प्रदान किया जाता है।

केंद्रीय समरूपता

हमारे चारों ओर की दुनिया के अंतरिक्ष में निर्जीव प्रकृतिक्रिस्टल की संरचना में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। इस प्रकार की समरूपता बर्फ के टुकड़ों की संरचना में स्पष्ट रूप से दिखाई देती है, जो बर्फ के क्रिस्टल हैं। उनके रूप आश्चर्यजनक रूप से विविध हैं। लेकिन वे सभी केंद्रीय रूप से सममित हैं।

केंद्रीय या रेडियल समरूपता का एक उदाहरण पौधे के फूल हैं: सूरजमुखी, कैमोमाइल, आईरिस, एस्टर। इस प्रकार की सममिति को घूर्णी भी कहा जाता है। यदि किसी फूल की पंखुड़ियाँ या बर्फ के टुकड़े की किरणें केंद्र के सापेक्ष घूमें, तो वे एक-दूसरे को ओवरलैप कर देंगी।

दर्पण समरूपता

हमारे चारों ओर प्राकृतिक दुनिया के स्थान में दर्पण समरूपता पौधों और जानवरों में देखी जाती है। ओक या फर्न, बीटल या तितली, मकड़ी या कैटरपिलर, चूहा या खरगोश - ये केवल कुछ उदाहरण हैं जहां आप जीवित जीवों में द्विपक्षीय या दर्पण समरूपता देख सकते हैं। व्यक्ति, साथ ही शरीर के अंग: हाथ, पैर, सममित हैं। इन रूपों में हम वस्तु के एक आधे भाग का दूसरे आधे भाग से एक प्रकार का दर्पण प्रतिबिंब देखते हैं। यदि आप किसी वस्तु को समतल पर रखते हैं, तो उसकी छवि मानसिक रूप से बीच में झुक सकती है, और एक आधा दूसरे पर ओवरलैप हो जाएगा।

समरूपता के उद्भव की परिकल्पना

में वैज्ञानिक दुनियाऐसी कई परिकल्पनाएँ हैं जो यह समझाने की कोशिश करती हैं कि हमारी दुनिया के अंतरिक्ष में समरूपता कैसे उत्पन्न हुई। उनमें से एक के अनुसार, जो कुछ भी ऊपर या नीचे बढ़ता है वह कानून के अधीन है, और जो कुछ भी पृथ्वी की सतह के समानांतर बनता है या उसकी ओर झुका होता है वह दर्पण-सममित आकार लेता है। वे इन गुणों को ग्रह के केंद्र से गुरुत्वाकर्षण और वस्तुओं की रोशनी की अलग-अलग डिग्री द्वारा समझाने की कोशिश करते हैं सूरज की रोशनीउनके स्थान के आधार पर.

विज्ञान और कला में समरूपता

प्राचीन काल में कलाकारों, मूर्तिकारों और वास्तुकारों द्वारा अंतरिक्ष में समरूपता की सराहना की गई थी। हम प्राचीन शैल चित्रों, प्राचीन वस्तुओं और हथियारों की सजावटी सजावट में समरूपता के तत्व देखते हैं। मिस्र के पिरामिडऔर माया पिरामिड, स्लाव कैथेड्रल के गुंबद, ग्रीक मंदिर और महल, प्राचीन मेहराब और एम्फीथिएटर, व्हाइट हाउस और मॉस्को क्रेमलिन का मुखौटा - ये उत्कृष्ट सुंदरता और सच्ची पूर्णता की इच्छा के कुछ उदाहरण हैं।

समरूपता की अवधारणाओं को गणितज्ञों द्वारा गंभीरता से विकसित किया गया था। किए गए गणितीय अध्ययनों से समतल और अंतरिक्ष में समरूपता के मुख्य पैटर्न की पहचान करना संभव हो गया। भौतिकी और रसायन विज्ञान ने भी इस दिलचस्प प्राकृतिक पैटर्न को नजरअंदाज नहीं किया। शिक्षाविद वी.आई. वर्नाडस्की का मानना ​​था कि "समरूपता... उन सभी क्षेत्रों के गुणों को शामिल करती है जिनसे एक भौतिक विज्ञानी और एक रसायनज्ञ संबंधित होता है।" परमाणुओं की सममित संरचना के कारण अणु विभिन्न प्रतिक्रियाओं में प्रवेश करते हैं और निर्धारित करते हैं भौतिक गुणक्रिस्टल गठन. भले ही भौतिकी के नियम स्थापित हो रहे हों भौतिक मात्राएँ, विभिन्न परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तित रहेगा, तो हम कह सकते हैं कि इन कानूनों में इन परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीयता या समरूपता है।