बहुभुज किसे कहते हैं। बहुभुज के प्रकार "तकनीक के भीतर" पढ़ने और लिखने के माध्यम से महत्वपूर्ण सोच का विकास

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विषय: "बहुभुज। बहुभुज के प्रकार"

श्रेणी 9

एसएचएल नंबर 20

शिक्षक: खारितोनोविच टी.आई.पाठ का उद्देश्य: बहुभुज के प्रकारों का अध्ययन।

सीखने का कार्य:बहुभुज के बारे में छात्रों के ज्ञान का अद्यतन, विस्तार और सामान्यीकरण; बहुभुज के "घटक भागों" का एक विचार बनाने के लिए; नियमित बहुभुजों के घटक तत्वों की संख्या का अध्ययन करना (एक त्रिभुज से n - एक gon तक);

विकास कार्य:विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करना, कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करना, मौखिक और लिखित गणितीय भाषण, स्मृति, साथ ही सोच और सीखने की गतिविधियों में स्वतंत्रता, जोड़े और समूहों में काम करने की क्षमता; अनुसंधान और संज्ञानात्मक गतिविधियों का विकास करना;

शैक्षिक कार्य:स्वतंत्रता, गतिविधि, सौंपे गए कार्य के लिए जिम्मेदारी, निर्धारित लक्ष्य को प्राप्त करने में दृढ़ता लाने के लिए।

उपकरण: इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड (प्रस्तुति)

कक्षाओं के दौरान

प्रस्तुति दिखा रहा है: "बहुभुज"

"प्रकृति गणित की भाषा में बोलती है, इस भाषा के अक्षर ... गणितीय आंकड़े।" जी.गैलिली

पाठ की शुरुआत में, कक्षा को कार्य समूहों में विभाजित किया जाता है (हमारे मामले में, 3 समूहों में विभाजन)

1. कॉल स्टेज -

ए) विषय पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना;

बी) अध्ययन के तहत विषय में रुचि जगाना, प्रत्येक छात्र को शैक्षिक गतिविधियों के लिए प्रेरित करना।

तकनीक: खेल "क्या आप मानते हैं कि ...", पाठ के साथ काम का संगठन।

काम के रूप: ललाट, समूह।

"क्या आप मानते हैं कि ...."

1.... शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार में सभी आकृतियों में "कई कोण" हैं?

2.… एक त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो एक समतल पर विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के एक समूह के बीच प्रतिष्ठित है?

3.... एक वर्ग एक नियमित अष्टभुज है (चार भुजाएँ + चार कोने)?

आज का पाठ बहुभुज पर केंद्रित होगा। हम सीखते हैं कि यह आंकड़ा एक बंद पॉलीलाइन से घिरा है, जो बदले में सरल, बंद है। आइए इस तथ्य के बारे में बात करते हैं कि बहुभुज सपाट, नियमित, उत्तल होते हैं। समतल बहुभुजों में से एक त्रिभुज है, जिससे आप लंबे समय से परिचित हैं (आप विद्यार्थियों को बहुभुज की छवियों के साथ पोस्टर प्रदर्शित कर सकते हैं, एक टूटी हुई रेखा, उनके विभिन्न प्रकार दिखा सकते हैं, आप TCO का भी उपयोग कर सकते हैं)।

2. समझ का चरण

उद्देश्य: नई जानकारी प्राप्त करना, उसकी समझ, चयन।

रिसेप्शन: ज़िगज़ैग।

कार्य के रूप: व्यक्तिगत-> जोड़ी-> समूह।

प्रत्येक समूह को पाठ के विषय पर एक पाठ दिया जाता है, और पाठ को इस तरह से बनाया जाता है कि इसमें छात्रों को पहले से ज्ञात जानकारी और पूरी तरह से नई जानकारी दोनों शामिल हों। पाठ के साथ, छात्रों को प्रश्न प्राप्त होते हैं, जिनके उत्तर इस पाठ में पाए जाने चाहिए।

बहुभुज। बहुभुज के प्रकार।

रहस्यमय बरमूडा त्रिभुज के बारे में किसने नहीं सुना है, जिसमें जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन बचपन से हमें परिचित त्रिभुज बहुत ही रोचक और रहस्यमयी है।

त्रिभुजों के प्रकारों के अलावा जो हमें पहले से ही ज्ञात हैं, भुजाओं (बहुमुखी, समद्विबाहु, समबाहु) और कोनों (तीव्र-कोण, अधिक कोण, समकोण) के साथ विभाजित, त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो कई के बीच प्रतिष्ठित है। विमान पर विभिन्न ज्यामितीय आकार।

शब्द "बहुभुज" इंगित करता है कि इस परिवार में सभी आकृतियों में "कई कोण" हैं। लेकिन यह आंकड़ा को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

एक टूटी हुई रेखा A1A2… An एक आकृति है जिसमें बिंदु A1, A2,… An और खंड A1A2, A2A3,… उन्हें जोड़ते हैं। बिंदुओं को पॉलीलाइन के कोने कहा जाता है, और खंडों को पॉलीलाइन के लिंक कहा जाता है। (चित्र एक)

एक टूटी हुई रेखा को सरल कहा जाता है यदि इसमें स्व-प्रतिच्छेदन न हो (चित्र 2, 3)।

एक टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है यदि इसके सिरे मेल खाते हैं। एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई का योग है (चित्र 4)

एक साधारण बंद पॉलीलाइन को बहुभुज कहा जाता है यदि इसके आसन्न लिंक एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं (चित्र 5)।

उदाहरण के लिए "कई" भाग के बजाय "बहुभुज" शब्द में एक विशिष्ट संख्या को प्रतिस्थापित करें। आपको एक त्रिभुज प्राप्त होगा। या 5. फिर - एक पंचकोण। ध्यान दें कि जितनी भुजाएँ हैं उतने ही कोण हैं, इसलिए इन आकृतियों को बहुपक्षीय कहा जा सकता है।

पॉलीलाइन के कोने बहुभुज के कोने कहलाते हैं, और पॉलीलाइन के लिंक बहुभुज के किनारे कहलाते हैं।

बहुभुज विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाहरी (चित्र 6)।

एक समतल बहुभुज या बहुभुज क्षेत्र बहुभुज से घिरे हुए समतल का अंतिम भाग होता है।

एक बहुभुज के दो शीर्ष जो एक भुजा के सिरे होते हैं, आसन्न कहलाते हैं। जो शीर्ष एक तरफ के सिरे नहीं हैं, वे आसन्न नहीं हैं।

n शीर्षों वाला बहुभुज, और इसलिए n भुजाओं वाला, n-गॉन कहलाता है।

यद्यपि एक बहुभुज की भुजाओं की सबसे छोटी संख्या 3 होती है। लेकिन त्रिभुज आपस में जुड़कर अन्य आकृतियाँ बना सकते हैं, जो बदले में बहुभुज भी होती हैं।

बहुभुज के गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाली रेखाएँ विकर्ण कहलाती हैं।

एक बहुभुज उत्तल कहलाता है यदि वह अपनी भुजा वाली किसी भी रेखा के संबंध में एक अर्ध-तल में स्थित हो। इस मामले में, सीधी रेखा को ही SEMI-PLANE . से संबंधित माना जाता है

किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का कोण वह कोण होता है जो उसकी भुजाओं द्वारा इस शीर्ष पर अभिसारी होकर बनता है।

आइए हम प्रमेय को सिद्ध करें (उत्तल n - gon के कोणों के योग पर): उत्तल n - gon के कोणों का योग 1800 * (n - 2) होता है।

सबूत। स्थिति n = 3 में, प्रमेय मान्य है। मान लीजिए A1A2 ... और n एक उत्तल बहुभुज है और n> 3 है। इसमें विकर्ण खींचे (एक शीर्ष से)। चूंकि बहुभुज उत्तल है, इसलिए ये विकर्ण इसे n - 2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। एक बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों के योग के बराबर होता है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 1800 है, और इन त्रिभुजों की संख्या n - 2 है। इसलिए, उत्तल n - gon A1A2 ... और n के कोणों का योग 1800 * (n - 2) है। प्रमेय सिद्ध होता है।

किसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का बाहरी कोण इस शीर्ष पर बहुभुज के भीतरी कोने से लगा हुआ कोण होता है।

एक उत्तल बहुभुज नियमित कहलाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।

तो एक वर्ग को दूसरे तरीके से कहा जा सकता है - एक नियमित चतुर्भुज। समबाहु त्रिभुज भी नियमित होते हैं। इमारतों को सजाने वाले स्वामी के लिए इस तरह के आंकड़े लंबे समय से रुचि रखते हैं। उन्होंने सुंदर पैटर्न बनाए, उदाहरण के लिए, लकड़ी की छत पर। लेकिन सभी नियमित बहुभुजों को लकड़ी की छत में नहीं जोड़ा जा सकता है। लकड़ी की छत को नियमित अष्टकोण से मोड़ा नहीं जा सकता। तथ्य यह है कि उनमें से प्रत्येक कोण 1350 है, और यदि कोई बिंदु दो ऐसे अष्टकोणों का शीर्ष है, तो 2700 उनके हिस्से में गिरेंगे, और तीसरा अष्टकोण वहां फिट होने के लिए कहीं नहीं है: 3600 - 2700 = 900। लेकिन एक वर्ग के लिए यह पर्याप्त है। इसलिए, नियमित अष्टकोण और वर्गों से लकड़ी की छत को मोड़ना संभव है।

तारे भी सही हैं। हमारा पांच-बिंदु वाला तारा एक नियमित पंचकोणीय तारा है। और यदि आप केंद्र के चारों ओर वर्ग को 450 से घुमाते हैं, तो आपको एक नियमित अष्टकोणीय तारा मिलता है।

खंडित रेखा किसे कहते हैं? समझाइए कि पॉलीलाइन के शीर्ष और कड़ियाँ क्या हैं।

कौन सी पॉलीलाइन सरल कहलाती है?

किस पॉलीलाइन को बंद कहा जाता है?

बहुभुज किसे कहते हैं? बहुभुज के शीर्ष क्या होते हैं? बहुभुज की भुजाएँ क्या हैं?

किस बहुभुज को समतल कहा जाता है? बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

एन-गॉन क्या है?

बताएं कि बहुभुज के कौन से कोने आसन्न हैं और कौन से नहीं हैं।

बहुभुज का विकर्ण क्या होता है?

कौन सा बहुभुज उत्तल कहलाता है?

बताएं कि बहुभुज के कौन से कोने बाहरी हैं और कौन से आंतरिक हैं?

किस बहुभुज को नियमित कहा जाता है? नियमित बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

उत्तल n-gon के कोणों का योग कितना होता है? साबित करो।

छात्र पाठ के साथ काम करते हैं, पूछे गए प्रश्नों के उत्तर की तलाश करते हैं, जिसके बाद विशेषज्ञ समूह बनते हैं, जिसमें काम समान मुद्दों पर होता है: छात्र मुख्य बात पर प्रकाश डालते हैं, एक सहायक सारांश बनाते हैं, ग्राफिक में से एक में जानकारी प्रस्तुत करते हैं रूप। काम के अंत में, छात्र अपने कार्य समूहों में लौट आते हैं।

3. परावर्तन की अवस्था -

क) उनके ज्ञान का आकलन, ज्ञान के अगले चरण के लिए चुनौती;

बी) प्राप्त जानकारी की समझ और विनियोग।

रिसेप्शन: शोध कार्य।

कार्य के रूप: व्यक्तिगत-> जोड़ी-> समूह।

कार्य समूहों में, प्रस्तावित प्रश्नों के प्रत्येक अनुभाग का उत्तर देने में विशेषज्ञ होते हैं।

कार्य समूह में लौटकर, विशेषज्ञ समूह के अन्य सदस्यों को अपने प्रश्नों के उत्तर के साथ पेश करता है। समूह में, कार्य समूह के सभी सदस्यों के बीच सूचनाओं का आदान-प्रदान होता है। इस प्रकार, प्रत्येक कार्य समूह में, विशेषज्ञों के काम के लिए धन्यवाद, अध्ययन के तहत विषय का एक सामान्य विचार बनता है।

छात्रों का शोध कार्य- तालिका में भरना।

नियमित बहुभुज आरेखण भुजाओं की संख्या शीर्षों की संख्या सभी आंतरिक कोणों का योग डिग्री आंतरिक मापें कोण बाह्य कोण की डिग्री माप विकर्णों की संख्या

एक त्रिकोण

बी) चतुर्भुज

बी) फाइवयूगोलनिक

डी) षट्भुज

ई) एन-गोन

पाठ के विषय पर दिलचस्प समस्याओं को हल करना।

1) एक नियमित बहुभुज में कितनी भुजाएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक का भीतरी कोना 1350 है?

2) किसी बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। क्या इस बहुभुज के अंतः कोणों का योग 3600,3800 हो सकता है?

3) क्या 100,103,110,110,116 डिग्री के कोणों के साथ एक पंचकोण बनाना संभव है?

पाठ को सारांशित करना।

गृहकार्य रिकॉर्ड: पृष्ठ 66-72 # 15,17 और समस्या: टेट्रागॉन में, इसे सीधे करें ताकि उसने इसे तीन त्रिभुजों में विभाजित किया।

परीक्षण के रूप में प्रतिबिंब (एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर)

एक बंद पॉलीलाइन से बंधे विमान के हिस्से को बहुभुज कहा जाता है।

इस पॉलीलाइन के खंडों को कहा जाता है दलोंबहुभुज। AB, BC, CD, DE, EA (चित्र 1) - बहुभुज ABCDE की भुजाएँ। किसी बहुभुज की सभी भुजाओं के योग को कहते हैं परिमाप.

बहुभुज कहलाता है उत्तल, यदि यह अपने किसी भी पक्ष के एक तरफ स्थित है, तो दोनों शीर्षों से परे अनिश्चित काल तक बढ़ाया गया है।

बहुभुज MNPKO (चित्र 1) उत्तल नहीं होगा, क्योंकि यह सीधी रेखा KP के एक तरफ स्थित नहीं है।

हम केवल उत्तल बहुभुजों पर विचार करेंगे।

किसी बहुभुज की दो आसन्न भुजाओं से बने कोणों को इसके कोण कहते हैं अंदर काकोने, और उनके शीर्ष - बहुभुज के शीर्ष.

एक बहुभुज के दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाला एक सरल रेखा खंड बहुभुज का विकर्ण कहलाता है।

AC, AD - बहुभुज के विकर्ण (चित्र 2)।

बहुभुज के भीतरी कोनों से सटे कोने बहुभुज के बाहरी कोने कहलाते हैं (चित्र 3)।

कोणों (भुजाओं) की संख्या के आधार पर बहुभुज को त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज आदि कहते हैं।

दो बहुभुजों को समान कहा जाता है यदि उन्हें अतिव्याप्त किया जा सकता है।

उत्कीर्ण और परिचालित बहुभुज

यदि किसी बहुभुज के सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित हों, तो बहुभुज कहलाता है अंकित कियाएक वृत्त में, और एक वृत्त में - वर्णितबहुभुज के पास (अंजीर)।

यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हों, तो बहुभुज कहलाता है वर्णितएक वृत्त के बारे में, और वृत्त को कहा जाता है अंकित कियाएक बहुभुज (अंजीर) में।

बहुभुजों की समानता

एक ही नाम के दो बहुभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनमें से एक के कोण क्रमशः दूसरे के कोणों के बराबर हों, और बहुभुज की समान भुजाएँ समानुपाती हों।

समान नाम वाले बहुभुजों को बहुभुज कहा जाता है जिनकी भुजाओं (कोणों) की संख्या समान होती है।

समान कोणों के शीर्षों को जोड़ने वाले समरूप बहुभुजों की भुजाएँ समरूप (चित्र) कहलाती हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, बहुभुज ABCDE के बहुभुज A'B'C'D'E' के समान होने के लिए, यह आवश्यक है कि: A = A' ∠B = ∠B '∠С = ∠С' D = ∠D '∠ E = E' और, इसके अतिरिक्त, AB/A'B' = BC/B'C'= CD/C'D' = DE/D'E '= EA/E'A' .

समरूप बहुभुजों के परिमापों का अनुपात

सबसे पहले, समान संबंधों की एक श्रृंखला की संपत्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, हमारे पास अनुपात हैं: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 = 2।

आइए इन संबंधों के पिछले सदस्यों का योग ज्ञात करें, फिर - उनके बाद के सदस्यों का योग और प्राप्त राशियों का अनुपात ज्ञात करें, हमें मिलता है:

$$ \ फ़्रेक (2 + 4 + 6 + 8) (1 + 2 + 3 + 4) = \ फ़्रेक (20) (10) = 2 $$

यदि हम कुछ अन्य संबंध लेते हैं, उदाहरण के लिए: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 हमें वही मिलता है इन संबंधों और बाद के लोगों का योग, और फिर हम इन राशियों का अनुपात पाते हैं, हमें मिलता है:

$$ \ फ़्रेक (2 + 4 + 5 + 8 + 10) (3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \ फ़्रेक (30) (45) = \ फ़्रेक (2) (3) $$

किसी भी मामले में, समान संबंधों की एक श्रृंखला के पिछले सदस्यों का योग उसी श्रृंखला के बाद के सदस्यों के योग को संदर्भित करता है, क्योंकि इनमें से किसी भी संबंध का पिछला सदस्य इसके बाद वाले को संदर्भित करता है।

हमने कई संख्यात्मक उदाहरणों को देखकर यह गुण निकाला है। इसे कड़ाई से और सामान्य शब्दों में काटा जा सकता है।

आइए अब ऐसे बहुभुजों के परिमापों के अनुपात पर विचार करें।

मान लीजिए कि बहुभुज ABCDE बहुभुज A'B'C'D'E '(अंजीर) के समान है।

इन बहुभुजों की समानता से यह इस प्रकार है कि

एबी / ए'बी '= बीसी / बी'सी' = सीडी / सी'डी '= डीई / डी'ई' = ईए / ई'ए'

कई समान संबंधों के लिए हमने जो संपत्ति प्राप्त की है, उसके आधार पर हम लिख सकते हैं:

हमारे द्वारा लिए गए संबंधों के पिछले सदस्यों का योग पहले बहुभुज (P) की परिधि है, और इन संबंधों के बाद के सदस्यों का योग दूसरे बहुभुज (P ') की परिधि है, जिसका अर्थ है कि P / पी' = एबी / ए'बी'।

अत, ऐसे बहुभुजों के परिमापों को समरूप भुजाएँ कहते हैं।

समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात

मान लीजिए ABCDE और A'B'C'D'E 'समान बहुभुज हैं (अंजीर)।

यह ज्ञात है कि ABC ~ ΔA'B'C 'ΔACD ~ A'C'D' तथा ADE ~ A'D'E'।

के अतिरिक्त,

;

चूँकि इन अनुपातों के दूसरे अनुपात समान हैं, जो बहुभुजों की समानता का अनुसरण करते हैं, तब

कई समान संबंधों की संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

या

जहाँ S और S 'इन समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफल हैं।

अत, समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफल समान भुजाओं वाले वर्ग कहलाते हैं।

परिणामी सूत्र को इस रूप में परिवर्तित किया जा सकता है: एस / एस '= (एबी / ए'बी') 2

मुक्त बहुभुज क्षेत्र

मान लीजिए कि एक मनमाना चतुर्भुज ABDC (चित्र) के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है।

आइए इसमें एक विकर्ण बनाएं, उदाहरण के लिए AD। हमें दो त्रिभुज ABD और ACD मिलते हैं, जिनके क्षेत्रफल की गणना करना हम जानते हैं। तब हम इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करते हैं। परिणामी योग इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल को व्यक्त करेगा।

यदि आपको एक पंचकोण के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है, तो हम वही करते हैं: किसी एक कोने से विकर्ण बनाएं। हमें तीन त्रिभुज मिलते हैं, जिनका क्षेत्रफल हम परिकलित कर सकते हैं। इसका अर्थ है कि हम इस पंचभुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कर सकते हैं। हम किसी भी बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना करते समय ऐसा ही करते हैं।

बहुभुज प्रक्षेपण क्षेत्र

याद रखें कि एक सीधी रेखा और एक तल के बीच का कोण किसी दी गई सीधी रेखा और उसके समतल पर प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है (चित्र।)

प्रमेय। विमान पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र बहुभुज के विमान और प्रक्षेपण के विमान द्वारा गठित कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए अनुमानित बहुभुज के क्षेत्र के बराबर है।

प्रत्येक बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जिनके क्षेत्रफलों का योग बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसलिए, एक त्रिभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करना पर्याप्त है।

मान लीजिए ABS को समतल पर प्रक्षेपित किया जाए आर... दो मामलों पर विचार करें:

a) ABS की एक भुजा समतल के समानांतर है आर;

b) ABS की कोई भी भुजा समानांतर नहीं है आर.

विचार करना पहला मामला: चलो [एबी] || आर.

आइए (AB) से होकर एक तल बनाएं आर 1 || आरऔर ऑर्थोगोनली ABS ऑन . डिज़ाइन करें आर 1 और आगे आर(चावल।); हमें ABS 1 और A'B'S मिलता है।

प्रक्षेपण की संपत्ति से, हमारे पास ΔАВС 1 (cong) 'В'С ', और इसलिए

एस एबीसी1 = एस ए'बी'सी '

और खंड D 1 C 1 ड्रा करें। तब ⊥, a \ (\ overbrace (CD_1C_1) \) = समतल ABS और तल के बीच के कोण का मान है आर 1. इसीलिए

एस एबीसी1 = 1/2 | एबी | | सी 1 डी 1 | = 1/2 | एबी | | सीडी 1 | cos = S Δ ABC cos

और इसलिए S A'B'C '= S ABC cos ।

आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ें दूसरा मामला... आइए एक विमान बनाएं आर 1 || आरउस शीर्ष ABS से होकर, जहाँ से तल तक की दूरी आरसबसे छोटा (इसे शीर्ष A होने दें)।

हम ABS को प्लेन में डिजाइन करेंगे आर 1 और आर(चावल।); इसके अनुमान क्रमशः ΔАВ 1 С 1 और ΔА'В'С 'होते हैं।

चलो (ВС) पी 1 = डी. तब

S A'B'C '= S AB1 C1 = S ΔADC1 - S ADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos = S ABC cos

अन्य सामग्री

बहुभुज के प्रकार:

चतुर्भुजों

चतुर्भुजों, क्रमशः, 4 भुजाओं और कोनों से मिलकर बनता है।

एक दूसरे के विपरीत भुजाओं और कोनों को कहा जाता है विलोम.

विकर्ण उत्तल चतुर्भुजों को त्रिभुजों में विभाजित करते हैं (चित्र देखें)।

एक उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है (सूत्र के अनुसार: (4-2) * 180°)।

समानांतर चतुर्भुज

चतुर्भुजविपरीत समानांतर भुजाओं वाला एक उत्तल चतुर्भुज है (संख्या 1 के नीचे की आकृति में)।

समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और कोण हमेशा बराबर होते हैं।

और चौराहे पर विकर्ण आधा कर दिया जाता है।

ट्रापेज़

चतुर्भुजएक चतुर्भुज भी है, और in समलम्बकेवल दो भुजाएँ समान्तर हैं, जो कहलाती हैं मैदान... अन्य पार्टियां हैं पार्श्व पक्ष.

आकृति में समलम्ब चतुर्भुज संख्या 2 और 7 है।

त्रिकोण के रूप में:

यदि भुजाएँ समान हैं, तो समलम्ब चतुर्भुज है समद्विबाहु;

यदि कोनों में से एक सीधा है, तो समलम्ब चतुर्भुज है आयताकार।

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा आधारों के आधे योग के बराबर होती है और उनके समानांतर होती है।

विषमकोण

विषमकोणएक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं।

समांतर चतुर्भुज के गुणों के अतिरिक्त समचतुर्भुज का अपना विशेष गुण होता है - समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत हैंएक दूसरे को और समचतुर्भुज के कोनों को समद्विभाजित करें.

आकृति में, समचतुर्भुज संख्या 5.

आयत

आयतएक समांतर चतुर्भुज है, जिसका प्रत्येक कोना एक सीधी रेखा है (देखिए आकृति 8)।

समांतर चतुर्भुज के गुणों के अतिरिक्त आयतों का अपना विशेष गुण होता है - आयत के विकर्ण हैं.

वर्गों

वर्गएक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं (# 4)।

एक आयत और एक समचतुर्भुज के गुण हैं (क्योंकि सभी भुजाएँ समान हैं)।

इस पाठ में हम एक नया विषय शुरू करेंगे और हमारे लिए "बहुभुज" की एक नई अवधारणा पेश करेंगे। हम बहुभुज से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को कवर करेंगे: भुजाएँ, कोने, कोने, उत्तलता और गैर-उत्तलता। फिर हम सबसे महत्वपूर्ण तथ्यों को सिद्ध करते हैं, जैसे बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग पर प्रमेय, बहुभुज के बाहरी कोणों के योग पर प्रमेय। नतीजतन, हम बहुभुज के विशेष मामलों का अध्ययन करने के करीब आएंगे, जिन पर आगे के पाठों में विचार किया जाएगा।

थीम: चतुर्भुज

पाठ: बहुभुज

ज्यामिति पाठ्यक्रम में, हम ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का अध्ययन करते हैं और उनमें से सबसे सरल पर विचार कर चुके हैं: त्रिकोण और वृत्त। साथ ही, हमने इन आकृतियों के विशिष्ट विशेष मामलों पर भी चर्चा की, जैसे आयताकार, समद्विबाहु और नियमित त्रिभुज। अब अधिक सामान्य और जटिल आकृतियों के बारे में बात करने का समय आ गया है - बहुभुज.

एक विशेष मामले के साथ बहुभुजहम पहले से ही परिचित हैं - यह एक त्रिभुज है (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. त्रिभुज

नाम ही पहले से ही इस बात पर जोर देता है कि यह तीन कोनों वाली एक आकृति है। इसलिए, में बहुभुजउनमें से कई हो सकते हैं, अर्थात्। तीन से अधिक। उदाहरण के लिए, आइए एक पेंटागन बनाएं (चित्र 2 देखें), यानी। पाँच कोनों वाली एक आकृति।

चावल। 2. पेंटागन। उत्तल बहुभुज

परिभाषा।बहुभुज- एक आंकड़ा जिसमें कई बिंदु (दो से अधिक) होते हैं और संबंधित खंडों की संख्या होती है जो उन्हें श्रृंखला में जोड़ते हैं। इन बिंदुओं को कहा जाता है चोटियोंबहुभुज, और रेखा खंड - दलों... इसके अलावा, कोई भी दो आसन्न भुजाएँ एक सीधी रेखा पर नहीं होती हैं और कोई भी दो गैर-आसन्न भुजाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

परिभाषा।नियमित बहुभुजएक उत्तल बहुभुज है जिसकी सभी भुजाएँ और कोण समान हैं।

कोई भी बहुभुजविमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाहरी। आंतरिक क्षेत्र को के रूप में भी जाना जाता है बहुभुज.

दूसरे शब्दों में, उदाहरण के लिए, जब वे एक पंचभुज के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब उसके पूरे आंतरिक क्षेत्र और उसकी सीमा दोनों से होता है। और बहुभुज के अंदर स्थित सभी बिंदु भी आंतरिक क्षेत्र से संबंधित हैं, अर्थात। बिंदु भी पंचभुज का है (चित्र 2 देखें)।

बहुभुज को कभी-कभी n-gons भी कहा जाता है ताकि इस बात पर जोर दिया जा सके कि कुछ अज्ञात संख्या में कोणों (n टुकड़े) की उपस्थिति का सामान्य मामला माना जाता है।

परिभाषा। बहुभुज परिधि- बहुभुज की भुजाओं की लंबाई का योग।

अब हमें बहुभुजों के प्रकारों से परिचित होने की आवश्यकता है। वे में विभाजित हैं उत्तलतथा गैर उत्तल... उदाहरण के लिए, अंजीर में दिखाया गया बहुभुज। 2 उत्तल है, और अंजीर में। 3 गैर-उत्तल।

चावल। 3. गैर-उत्तल बहुभुज

परिभाषा 1. बहुभुजबुलाया उत्तलयदि, इसकी किसी भुजा से एक सीधी रेखा खींचते समय, संपूर्ण बहुभुजइस सीधी रेखा के केवल एक तरफ स्थित है। गैर-उत्तलबाकी सब हैं बहुभुज.

यह कल्पना करना आसान है कि अंजीर में पेंटागन के दोनों ओर विस्तार करते समय। 2 यह सब इस सीधी रेखा के एक तरफ होगा, यानी। यह उत्तल है। लेकिन अंजीर में एक चतुर्भुज में एक सीधी रेखा खींचते समय। 3 हम पहले ही देख चुके हैं कि वह इसे दो भागों में विभाजित करती है, अर्थात्। यह गैर-उत्तल है।

लेकिन बहुभुज के उत्तलता की एक और परिभाषा है।

परिभाषा 2. बहुभुजबुलाया उत्तलयदि, इसके किन्हीं दो आंतरिक बिंदुओं को चुनते समय और उन्हें एक खंड से जोड़ते समय, खंड के सभी बिंदु भी बहुभुज के आंतरिक बिंदु होते हैं।

इस परिभाषा के उपयोग का एक प्रदर्शन अंजीर में खंडों के निर्माण के उदाहरण पर देखा जा सकता है। 2 और 3

परिभाषा। विकर्णबहुभुज कोई भी रेखा खंड है जो दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ता है।

बहुभुजों के गुणों का वर्णन करने के लिए, उनके कोणों के बारे में दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं: उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग पर प्रमेयतथा उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों के योग पर प्रमेय... आइए उन पर विचार करें।

प्रमेय। उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग पर (एन-गॉन)।

इसके कोनों (भुजाओं) की संख्या कहाँ है।

सबूत 1. हम अंजीर में दर्शाते हैं। 4 उत्तल एन-गॉन।

चावल। 4. उत्तल n-gon

शीर्ष से सभी संभव विकर्ण खींचे। वे n-gon को त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, क्योंकि शीर्ष से सटी भुजाओं को छोड़कर बहुभुज की प्रत्येक भुजा एक त्रिभुज बनाती है। आकृति से यह देखना आसान है कि इन सभी त्रिभुजों के कोणों का योग n-gon के आंतरिक कोणों के योग के बराबर होगा। चूँकि किसी त्रिभुज के कोणों का योग होता है, तो n-gon के अंतः कोणों का योग होता है:

क्यू.ई.डी.

उपपत्ति 2. इस प्रमेय का एक अन्य प्रमाण भी संभव है। आइए अंजीर में एक समान n-gon बनाते हैं। 5 और इसके किसी भी आंतरिक बिंदु को सभी शीर्षों से जोड़ें।

चावल। 5.

हमें एक n-गॉन का विभाजन n त्रिभुजों में मिला है (जितनी भुजाएँ त्रिभुज हैं)। उनके सभी कोणों का योग बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग और आंतरिक बिंदु पर कोणों के योग के बराबर होता है, और यह कोण है। हमारे पास है:

क्यू.ई.डी.

सिद्ध किया हुआ।

सिद्ध प्रमेय से यह देखा जा सकता है कि n-gon के कोणों का योग उसकी भुजाओं की संख्या (n पर) पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज में, और कोणों का योग। एक चतुर्भुज में, और कोणों का योग है, आदि।

प्रमेय। उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों के योग पर (एन-गॉन)।

इसके कोनों (भुजाओं) की संख्या कहाँ है, और,…, बाहरी कोने हैं।

सबूत। आइए अंजीर में एक उत्तल n-gon बनाते हैं। 6 और उसके भीतरी और बाहरी कोनों को निर्दिष्ट करें।

चावल। 6. उत्तल एन-गॉन चिह्नित बाहरी कोनों के साथ

चूंकि बाहरी कोने आंतरिक कोने से आसन्न के रूप में संबंधित है, तो और इसी तरह बाकी बाहरी कोनों के लिए। फिर:

परिवर्तनों के दौरान, हमने एक n-गॉन के आंतरिक कोणों के योग पर पहले से सिद्ध प्रमेय का उपयोग किया।

सिद्ध किया हुआ।

सिद्ध प्रमेय से एक दिलचस्प तथ्य यह निकलता है कि उत्तल n-gon के बाहरी कोणों का योग बराबर होता है इसके कोनों (भुजाओं) की संख्या से। वैसे, आंतरिक कोणों के योग के विपरीत।

ग्रन्थसूची

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