Iskanje kosinusa kota med črtami. Kot med sekajočimi se črtami: definicija, primeri iskanja. Kot med dvema premicama

KOT MED RAVNINAMI

Oglejmo si dve ravnini α 1 in α 2, podani z enačbama:

Spodaj kotiček med dvema ravninama razumemo enega od diedrskih kotov, ki ju tvorita ti ravnini. Očitno je, da je kot med normalnima vektorjema in ravninama α 1 in α 2 enak enemu od navedenih sosednjih diedrskih kotov oz. . Zato . Ker in , potem

.

Primer. Določite kot med ravninama x+2l-3z+4=0 in 2 x+3l+z+8=0.

Pogoj vzporednosti dveh ravnin.

Dve ravnini α 1 in α 2 sta vzporedni, če in samo če sta njuna normalna vektorja in vzporedna, in torej .

Torej sta ravnini med seboj vzporedni, če in samo če sta koeficienta na ustreznih koordinatah sorazmerna:

oz

Pogoj pravokotnosti ravnin.

Jasno je, da sta dve ravnini pravokotni, če in samo če sta njuna normalna vektorja pravokotna in torej ali .

V to smer, .

Primeri.

DIREKTNO V PROSTORU.

VEKTORSKA ENAČBA DIREKTNA.

PARAMETRIČNE ENAČBE DIREKT

Položaj premice v prostoru je popolnoma določen z določitvijo katere koli njene fiksne točke M 1 in vektor, ki je vzporeden s to premico.

Imenuje se vektor, ki je vzporeden z ravno črto vodenje vektor te premice.

Torej naj naravnost l poteka skozi točko M 1 (x 1 , l 1 , z 1), ki leži na ravni črti, vzporedni z vektorjem.

Razmislite o poljubni točki M(x,y,z) na ravni liniji. Iz slike je razvidno, da .

Vektorja in sta kolinearna, zato obstaja takšno število t, kaj , kje je množitelj t lahko sprejme poljubno številčno vrednost, odvisno od položaja točke M na ravni liniji. Faktor t se imenuje parameter. Označevanje radijskih vektorjev točk M 1 in M v tem zaporedju, skozi in , Dobimo . Ta enačba se imenuje vektor enačba ravne črte. Prikazuje, da je vrednost vsakega parametra t ustreza vektorju radija neke točke M ki leži na ravni liniji.

To enačbo zapišemo v koordinatni obliki. Upoštevajte, da, in od tukaj

Nastale enačbe imenujemo parametrični enačbe ravne črte.

Pri spreminjanju parametra t spremembe koordinat x, l in z in pika M premika v ravni črti.

KANONIČNE ENAČBE DIREKT

Pustiti M 1 (x 1 , l 1 , z 1) - točka, ki leži na ravni črti l, in je njegov smerni vektor. Spet vzemite poljubno točko na ravni črti M(x,y,z) in razmislite o vektorju.

Jasno je, da sta vektorja in kolinearna, zato morata biti njuni koordinati proporcionalni

– kanoničen enačbe ravne črte.

Opomba 1. Upoštevajte, da bi lahko kanonične enačbe premice dobili iz parametričnih enačb z izločitvijo parametra t. Dejansko iz parametričnih enačb, ki jih dobimo oz .

Primer. Napišite enačbo premice na parametričen način.

Označimo , torej x = 2 + 3t, l = –1 + 2t, z = 1 –t.

Opomba 2. Naj bo črta pravokotna na eno od koordinatnih osi, na primer na os Ox. Potem je smerni vektor premice pravokoten Ox, Posledično, m=0. Posledično imajo parametrične enačbe premice obliko

Izločitev parametra iz enačb t, dobimo enačbe premice v obliki

Vendar se tudi v tem primeru strinjamo, da kanonične enačbe premice formalno zapišemo v obliki . Torej, če je imenovalec enega od ulomkov enak nič, potem to pomeni, da je premica pravokotna na ustrezno koordinatno os.

Podobno velja za kanonične enačbe ustreza ravni črti, pravokotni na osi Ox in Oj ali vzporedna os Oz.

Primeri.

SPLOŠNE ENAČBE DIREKTNA ČRTA KOT PREMETNICA DVEH RAVNIN

Skozi vsako premico v prostoru poteka neskončno število ravnin. Katera koli dva od njih, ki se sekata, ga določata v prostoru. Zato sta enačbi katerih koli dveh takih ravnin, obravnavani skupaj, enačbi te premice.

Na splošno kateri koli dve nevzporedni ravnini, podani s splošnimi enačbami

določi njihovo presečišče. Te enačbe se imenujejo splošne enačbe naravnost.

Primeri.

Konstruirajte premico, podano z enačbami

Če želite zgraditi premico, je dovolj, da poiščete kateri koli dve njeni točki. Najlažje je izbrati točke presečišča premice s koordinatnimi ravninami. Na primer, točka presečišča z ravnino xOy dobimo iz enačb premice ob predpostavki z= 0:

Ko rešimo ta sistem, najdemo bistvo M 1 (1;2;0).

Podobno, ob predpostavki l= 0, dobimo presečišče premice z ravnino xOz:

Od splošnih enačb premice lahko nadaljujemo do njenih kanoničnih ali parametričnih enačb. Če želite to narediti, morate najti neko točko M 1 na premici in smerni vektor premice.

Koordinate točk M 1 dobimo iz tega sistema enačb, pri čemer eni od koordinat damo poljubno vrednost. Če želite najti smerni vektor, upoštevajte, da mora biti ta vektor pravokoten na oba normalna vektorja in . Zato za smerni vektor premice l lahko vzamete navzkrižni produkt normalnih vektorjev:

.

Primer. Podajte splošne enačbe premice do kanonične oblike.

Poiščite točko na premici. Za to poljubno izberemo eno od koordinat, npr. l= 0 in reši sistem enačb:

Normalni vektorji ravnin, ki določajo premico, imajo koordinate Zato bo vektor smeri raven

. Posledično l: .

KOT MED PRAVICAMA

kotiček med premicami v prostoru bomo imenovali katerikoli od sosednjih kotov, ki ga tvorita dve premici, narisani skozi poljubno točko vzporedno s podatkom.

Naj sta v prostoru podani dve ravni črti:

Očitno lahko kot φ med premicami vzamemo kot med njihovimi smernimi vektorji in . Ker , potem po formuli za kosinus kota med vektorjema dobimo

Vsakemu študentu, ki se pripravlja na izpit iz matematike, bo koristno ponoviti temo "Iskanje kota med črtami". Kot kažejo statistični podatki, pri opravljanju atestacijskega preizkusa naloge v tem delu stereometrije povzročajo težave velikemu številu študentov. Hkrati so naloge, ki zahtevajo iskanje kota med ravnimi črtami, v USE na osnovni in profilni ravni. To pomeni, da bi jih moral vsak znati rešiti.

Osnovni trenutki

Obstajajo 4 vrste medsebojne razporeditve črt v prostoru. Lahko sovpadajo, sekajo, so vzporedne ali se sekajo. Kot med njima je lahko oster ali raven.

Da bi našli kot med črtami v Enotnem državnem izpitu ali na primer v rešitvi, lahko šolarji v Moskvi in ​​drugih mestih uporabijo več metod za reševanje problemov v tem delu stereometrije. Nalogo lahko dokončate s klasičnimi konstrukcijami. Da bi to naredili, se je vredno naučiti osnovnih aksiomov in izrekov stereometrije. Študent mora biti sposoben logično sklepati in ustvarjati risbe, da nalogo pripelje do planimetričnega problema.

Uporabite lahko tudi metodo vektorskih koordinat z uporabo preprostih formul, pravil in algoritmov. Glavna stvar v tem primeru je pravilno izvesti vse izračune. Izobraževalni projekt Shkolkovo vam bo pomagal izpopolniti svoje sposobnosti pri reševanju problemov v stereometriji in drugih delih šolskega tečaja.

To gradivo je posvečeno konceptu kota med dvema sekajočima se ravnima črtama. V prvem odstavku bomo pojasnili, kaj to je, in to prikazali v ilustracijah. Nato bomo analizirali, kako lahko najdete sinus, kosinus tega kota in sam kot (ločeno bomo obravnavali primere z ravnino in tridimenzionalnim prostorom), dali bomo potrebne formule in s primeri pokazali, kako natančno se uporabljajo v praksi.

Da bi razumeli, kaj je kot, ki nastane v presečišču dveh premic, se moramo spomniti same definicije kota, pravokotnosti in presečišča.

Definicija 1

Dve premici pravimo sekajoči se, če imata eno skupno točko. To točko imenujemo točka presečišča obeh premic.

Vsaka črta je s točko presečišča razdeljena na žarke. V tem primeru obe črti tvorita 4 kote, od katerih sta dva navpična in dva sosednja. Če poznamo mero enega od njih, potem lahko določimo ostale preostale.

Recimo, da vemo, da je eden od kotov enak α. V tem primeru bo tudi kot, ki je navpičen nanj, enak α. Da bi našli preostale kote, moramo izračunati razliko 180 ° - α . Če je α enako 90 stopinj, bodo vsi koti pravi. Črte, ki se sekajo pod pravim kotom, imenujemo pravokotne (konceptu pravokotnosti je posvečen ločen članek).

Oglejte si sliko:

Nadaljujemo z oblikovanjem glavne definicije.

Definicija 2

Kot, ki ga tvorita dve sekajoči se premici, je mera manjšega od 4 kotov, ki tvorita ti dve premici.

Iz definicije je treba potegniti pomemben zaključek: velikost kota bo v tem primeru izražena s poljubnim realnim številom v intervalu (0 , 90 ] . Če so črte pravokotne, bo kot med njima v vsakem primeru enak enako 90 stopinj.

Sposobnost iskanja mere kota med dvema sekajočima se premicama je uporabna za reševanje številnih praktičnih problemov. Metodo rešitve lahko izberete med več možnostmi.

Za začetek lahko vzamemo geometrijske metode. Če vemo nekaj o dodatnih kotih, jih lahko z lastnostmi enakih ali podobnih oblik povežemo s kotom, ki ga potrebujemo. Na primer, če poznamo stranice trikotnika in moramo izračunati kot med premicami, na katerih se te stranice nahajajo, potem je kosinusni izrek primeren za reševanje. Če imamo v pogoju pravokotni trikotnik, bomo za izračune morali poznati tudi sinus, kosinus in tangens kota.

Tudi koordinatna metoda je zelo priročna za reševanje tovrstnih problemov. Razložimo, kako ga pravilno uporabljati.

Imamo pravokotni (kartezični) koordinatni sistem O x y z dvema premicama. Označimo jih s črkama a in b. V tem primeru lahko ravne črte opišemo s poljubnimi enačbami. Prvotne črte imajo presečišče M . Kako določiti želeni kot (označimo ga z α) med temi premicami?

Začnimo s formulacijo osnovnega principa iskanja kota pod danimi pogoji.

Vemo, da sta koncepta, kot sta usmerjanje in normalni vektor, tesno povezana s pojmom ravne črte. Če imamo enačbo neke premice, lahko iz nje vzamemo koordinate teh vektorjev. To lahko naredimo za dve sekajoči se premici hkrati.

Kot, ki ga tvorita dve sekajoči se premici, lahko najdete z:

• kot med smernimi vektorji;
• kot med normalnimi vektorji;
• kot med normalnim vektorjem ene premice in smernim vektorjem druge.

Zdaj pa si poglejmo vsako metodo posebej.

1. Recimo, da imamo premico a s smernim vektorjem a → = (a x , a y) in premico b s smernim vektorjem b → (b x , b y) . Sedaj odložimo dva vektorja a → in b → iz presečišča. Po tem bomo videli, da se bodo nahajali vsak na svoji liniji. Nato imamo štiri možnosti za njihov relativni položaj. Glej sliko:

Če kot med dvema vektorjema ni top, potem bo to kot, ki ga potrebujemo med sekajočima se premicama a in b. Če je top, bo želeni kot enak kotu, ki meji na kot a → , b → ^ . Tako je α = a → , b → ^, če je a → , b → ^ ≤ 90 ° , in α = 180 ° - a → , b → ^, če je a → , b → ^ > 90 ° .

Na podlagi dejstva, da so kosinusi enakih kotov enaki, lahko nastale enakosti prepišemo takole: cos α = cos a → , b → ^, če je a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ če je a → , b → ^ > 90 ° .

V drugem primeru so bile uporabljene redukcijske formule. V to smer,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Zapišimo zadnjo formulo z besedami:

Definicija 3

Kosinus kota, ki ga tvorita dve sekajoči se črti, bo enak modulu kosinusa kota med njunima smernima vektorjema.

Splošna oblika formule za kosinus kota med dvema vektorjema a → = (a x, a y) in b → = (b x, b y) je videti takole:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz nje lahko izpeljemo formulo za kosinus kota med dvema danima premicama:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Nato lahko sam kot najdete z naslednjo formulo:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tu sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) smerna vektorja danih premic.

Naj navedemo primer rešitve problema.

Primer 1

V pravokotnem koordinatnem sistemu sta na ravnini dani sekajoči se premici a in b. Lahko jih opišemo s parametričnimi enačbami x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R in x 5 = y - 6 - 3 . Izračunajte kot med tema premicama.

rešitev

V pogoju imamo parametrično enačbo, kar pomeni, da lahko za to premico takoj zapišemo koordinate njenega smernega vektorja. Da bi to naredili, moramo vzeti vrednosti koeficientov pri parametru, tj. premica x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bo imela smerni vektor a → = (4 , 1) .

Druga premica je opisana s kanonično enačbo x 5 = y - 6 - 3 . Tukaj lahko vzamemo koordinate iz imenovalcev. Tako ima ta premica smerni vektor b → = (5 , - 3) .

Nato nadaljujemo neposredno z iskanjem kota. Če želite to narediti, preprosto nadomestite razpoložljive koordinate obeh vektorjev v zgornjo formulo α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Dobimo naslednje:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Odgovori: Te črte tvorijo kot 45 stopinj.

Podoben problem lahko rešimo tako, da poiščemo kot med normalnimi vektorji. Če imamo premico a z normalnim vektorjem n a → = (n a x , n a y) in premico b z normalnim vektorjem n b → = (n b x , n b y) , potem bo kot med njima enak kotu med n a → in n b → ali kot, ki meji na n a → , n b → ^ . Ta metoda je prikazana na sliki:

Formule za izračun kosinusa kota med sekajočimi se črtami in tega kota s pomočjo koordinat normalnih vektorjev izgledajo takole:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tukaj n a → in n b → označujeta normalna vektorja dveh danih premic.

Primer 2

Dve ravni črti sta podani v pravokotnem koordinatnem sistemu z enačbama 3 x + 5 y - 30 = 0 in x + 4 y - 17 = 0 . Poiščite sinus, kosinus kota med njima in velikost tega kota.

rešitev

Izvirne premice so podane z enačbami normalnih premic v obliki A x + B y + C = 0 . Označimo normalni vektor n → = (A , B) . Poiščimo koordinate prvega normalnega vektorja za eno premico in jih zapišimo: n a → = (3 , 5) . Za drugo premico x + 4 y - 17 = 0 bo normalni vektor imel koordinate n b → = (1 , 4) . Zdaj dodajte dobljene vrednosti v formulo in izračunajte skupno:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Če poznamo kosinus kota, potem lahko izračunamo njegov sinus z uporabo osnovne trigonometrične identitete. Ker kot α, ki ga tvorijo ravne črte, ni top, potem je sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

V tem primeru je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Odgovor: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo zadnji primer - iskanje kota med premicami, če poznamo koordinate usmerjevalnega vektorja ene premice in normalnega vektorja druge.

Predpostavimo, da ima premica a smerni vektor a → = (a x , a y) , premica b pa normalni vektor n b → = (n b x , n b y) . Te vektorje moramo odložiti od presečišča in upoštevati vse možnosti za njihov relativni položaj. Glej sliko:

Če kot med danima vektorjema ni večji od 90 stopinj, se izkaže, da bo dopolnil kot med a in b do pravega kota.

a →, n b → ^ = 90° - α, če je a →, n b → ^ ≤ 90°.

Če je manj kot 90 stopinj, dobimo naslednje:

a → , n b → ^ > 90 ° , potem a → , n b → ^ = 90 ° + α

S pravilom enakosti kosinusov enakih kotov zapišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .

V to smer,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Oblikujmo zaključek.

Definicija 4

Če želite najti sinus kota med dvema premicama, ki se sekata v ravnini, morate izračunati modul kosinusa kota med smernim vektorjem prve črte in normalnim vektorjem druge.

Zapišimo potrebne formule. Iskanje sinusa kota:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Iskanje samega kotička:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tu je a → smerni vektor prve črte, n b → normalni vektor druge.

Primer 3

Dve sekajoči se premici sta podani z enačbama x - 5 = y - 6 3 in x + 4 y - 17 = 0 . Poiščite kot presečišča.

rešitev

Iz podanih enačb vzamemo koordinate smernega in normalnega vektorja. Izkazalo se je a → = (- 5 , 3) ​​​​in n → b = (1 , 4) . Vzamemo formulo α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 in upoštevamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Upoštevajte, da smo vzeli enačbe iz prejšnjega problema in dobili popolnoma enak rezultat, vendar na drugačen način.

odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Tukaj je še en način za iskanje želenega kota z uporabo koeficientov naklona danih črt.

Imamo premico a, ki je definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu z enačbo y = k 1 · x + b 1, in premico b, definirano kot y = k 2 · x + b 2. To so enačbe premic z naklonom. Če želite najti kot presečišča, uporabite formulo:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kjer sta k 1 in k 2 naklona danih premic. Za pridobitev tega zapisa so bile uporabljene formule za določanje kota skozi koordinate normalnih vektorjev.

Primer 4

V ravnini se sekata dve premici, podani z enačbama y = - 3 5 x + 6 in y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte presečni kot.

rešitev

Nakloni naših premic so enaki k 1 = - 3 5 in k 2 = - 1 4 . Prištejmo jih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 in izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

odgovor:α = a r c cos 23 2 34

V sklepih tega odstavka je treba opozoriti, da se tukaj podanih formul za iskanje kota ni treba naučiti na pamet. Če želite to narediti, je dovolj poznati koordinate vodil in/ali normalnih vektorjev danih črt in jih znati določiti z različnimi vrstami enačb. Toda formule za izračun kosinusa kota je bolje zapomniti ali zapisati.

Kako izračunati kot med sekajočimi se črtami v prostoru

Izračun takšnega kota se lahko zmanjša na izračun koordinat smernih vektorjev in določitev velikosti kota, ki ga tvorijo ti vektorji. Za takšne primere uporabljamo isto sklepanje, kot smo ga podali prej.

Recimo, da imamo pravokotni koordinatni sistem v 3D prostoru. Vsebuje dve premici a in b s presečiščem M . Za izračun koordinat smernih vektorjev moramo poznati enačbe teh premic. Označimo smerne vektorje a → = (a x , a y , a z) in b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kota med njima uporabimo formulo:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Za iskanje samega kota potrebujemo to formulo:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primer 5

Imamo ravno črto, definirano v 3D prostoru z enačbo x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Znano je, da seka z osjo O z. Izračunajte presečni kot in kosinus tega kota.

rešitev

Kot, ki ga izračunamo, označimo s črko α. Zapišimo koordinate vektorja smeri za prvo premico - a → = (1 , - 3 , - 2) . Za aplicirano os lahko kot vodilo vzamemo koordinatni vektor k → = (0 , 0 , 1). Prejeli smo potrebne podatke in jih lahko dodamo želeni formuli:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kot rezultat smo dobili, da bo kot, ki ga potrebujemo, enak a r c cos 1 2 = 45 °.

odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Kotiček φ splošne enačbe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 in A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, se izračuna po formuli:

Kotiček φ med dvema ravnima črtama kanonične enačbe(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 in (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, se izračuna po formuli:

Razdalja od točke do črte

Vsako ravnino v prostoru lahko predstavimo kot linearno enačbo, imenovano splošna enačba letalo

Posebni primeri.

o Če je v enačbi (8), potem ravnina poteka skozi izhodišče.

o Z (,) je ravnina vzporedna z osjo (os, os).

o Ko (,) je ravnina vzporedna z ravnino (ravnina, ravnina).

Rešitev: uporabite (7)

Odgovor: splošna enačba ravnine.

Primer.

Ravnino v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz podaja splošna enačba ravnine . Zapišite koordinate vseh normalnih vektorjev v tej ravnini.

Vemo, da so koeficienti spremenljivk x, y in z v splošni enačbi ravnine ustrezne koordinate normalnega vektorja te ravnine. Zato je vektor normale dane ravnine ima koordinate. Množico vseh normalnih vektorjev lahko podamo kot.

Zapišite enačbo ravnine, če v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxyz v prostoru poteka skozi točko , a je normalni vektor te ravnine.

Predstavljamo dve rešitvi tega problema.

Iz stanja, ki ga imamo. Te podatke zamenjamo v splošno enačbo ravnine, ki poteka skozi točko:

Zapišite splošno enačbo za ravnino, ki je vzporedna s koordinatno ravnino Oyz in poteka skozi točko .

Ravnino, ki je vzporedna s koordinatno ravnino Oyz, lahko podamo s splošno nepopolno enačbo ravnine oblike . Od točke pripada ravnini po pogoju, potem morajo koordinate te točke zadoščati enačbi ravnine, to pomeni, da mora veljati enakost. Od tu najdemo. Tako ima želena enačba obliko.

rešitev. Vektorski produkt je po definiciji 10.26 pravokoten na vektorja p in q. Zato je pravokoten na želeno ravnino in vektor lahko vzamemo za njegov normalni vektor. Poiščite koordinate vektorja n:

to je . Z uporabo formule (11.1) dobimo

Če v tej enačbi odpremo oklepaje, pridemo do končnega odgovora.

odgovor: .

Prepišimo normalni vektor v obliki in poiščimo njegovo dolžino:

Glede na zgoraj navedeno:

Odgovori:

Vzporedni ravnini imata enak normalni vektor. 1) Iz enačbe najdemo normalni vektor ravnine:.

2) Sestavimo enačbo ravnine glede na točko in normalni vektor:

Odgovori:

Vektorska enačba ravnine v prostoru

Parametrična enačba ravnine v prostoru

Enačba ravnine, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dani vektor

Naj bo v tridimenzionalnem prostoru podan pravokotni kartezični koordinatni sistem. Oblikujmo naslednji problem:

Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi dano točko M(x 0, l 0, z 0) pravokotno na dani vektor n = ( A, B, C} .

rešitev. Pustiti p(x, l, z) je poljubna točka v prostoru. Pika p pripada ravnini, če in samo če vektor MP = {x − x 0, l − l 0, z − z 0) pravokoten na vektor n = {A, B, C) (slika 1).

Ko smo zapisali pogoj ortogonalnosti za te vektorje (n, MP) = 0 v koordinatni obliki, dobimo:

A(x − x 0) + B(l − l 0) + C(z − z 0) = 0

Enačba ravnine s tremi točkami

V vektorski obliki

V koordinatah

Medsebojna razporeditev ravnin v prostoru

so splošne enačbe dveh ravnin. Nato:

1) če , potem ravnini sovpadata;

2) če , potem sta ravnini vzporedni;

3) če ali , potem se ravnine sekata in sistem enačb

(6)

so enačbe presečišča danih ravnin.

rešitev: Kanonične enačbe premice sestavimo po formuli: Odgovori:

Vzamemo dobljene enačbe in miselno "pripnemo", na primer levi kos: . Zdaj izenačimo ta del na poljubno številko(ne pozabite, da je že bila ničla), na primer na eno: . Ker , potem morata biti tudi druga dva "kosa" enaka ena. V bistvu morate rešiti sistem:

Napišite parametrične enačbe za naslednje vrstice:

rešitev: Premice so podane s kanoničnimi enačbami in na prvi stopnji je treba najti neko točko, ki pripada premici in njen smerni vektor.

a) Iz enačb odstranimo točko in smerni vektor: . Izberete lahko drugo točko (kako to storiti je opisano zgoraj), vendar je bolje vzeti najbolj očitno. Mimogrede, da se izognete napakam, vedno zamenjajte njegove koordinate v enačbe.

Sestavimo parametrične enačbe te premice:

Priročnost parametričnih enačb je, da je z njihovo pomočjo zelo enostavno najti druge točke črte. Na primer, poiščimo točko, katere koordinate, recimo, ustrezajo vrednosti parametra:

Tako: b) Upoštevajte kanonične enačbe . Izbira točke je tukaj preprosta, a zahrbtna: (pazite, da ne pomešate koordinat!!!). Kako izvleči vodilni vektor? Lahko trdite, s čim je ta ravna črta vzporedna, ali pa uporabite preprost formalni trik: razmerje je "y" in "z", zato zapišemo smerni vektor , v preostali prostor pa postavimo ničlo: .

Sestavimo parametrične enačbe premice:

c) Zapišimo enačbe v obliki , to pomeni, da je »Z« lahko karkoli. In če sploh, potem naj, na primer,. Točka torej pripada tej premici. Za iskanje smernega vektorja uporabimo naslednjo formalno tehniko: v začetnih enačbah sta "x" in "y" in v smerni vektor na teh mestih zapišemo ničle: . Na preostalo mesto postavimo enota: . Namesto ena bo zadostovala katera koli številka, razen nič.

Zapišemo parametrične enačbe premice:

Oh-oh-oh-oh-oh ... no, malenkost je, kot da bi si prebral stavek =) Vendar bo potem sprostitev pomagala, sploh ker sem danes kupila primerne dodatke. Zato pojdimo na prvi del, upam, da bom do konca članka ohranil veselo razpoloženje.

Medsebojna razporeditev dveh ravnih črt

Primer, ko dvorana poje v zboru. Dve vrstici lahko:

1) ujemanje;

2) biti vzporedna: ;

3) ali sekajo v eni točki: .

Pomoč za telebane : zapomnite si matematični znak križišča, pojavljal se bo zelo pogosto. Vnos pomeni, da se premica seka s premico v točki.

Kako določiti relativni položaj dveh črt?

Začnimo s prvim primerom:

Dve premici sovpadata, če in samo če sta njuna koeficienta sorazmerna, to pomeni, da obstaja takšno število "lambda", da so enakosti

Oglejmo si premice in iz pripadajočih koeficientov sestavimo tri enačbe: . Iz vsake enačbe sledi, da torej te premice sovpadajo.

Dejansko, če so vsi koeficienti enačbe pomnožite z -1 (zamenjajte predznake) in zmanjšajte vse koeficiente enačbe za 2, dobite enako enačbo: .

Drugi primer, ko sta črti vzporedni:

Dve premici sta vzporedni, če in samo če sta njuna koeficienta pri spremenljivkah sorazmerna: , ampak.

Kot primer razmislite o dveh ravnih črtah. Preverimo sorazmernost ustreznih koeficientov za spremenljivke:

Vendar pa je jasno, da.

In tretji primer, ko se črte sekajo:

Dve premici se sekata, če in samo če njuni koeficienti spremenljivk NISO sorazmerni, to pomeni, da NI takšne vrednosti "lambda", da bi bile enakosti izpolnjene

Torej, za ravne črte bomo sestavili sistem:

Iz prve enačbe sledi , iz druge enačbe pa: , torej sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako koeficienti pri spremenljivkah niso sorazmerni.

Zaključek: črte se sekajo

V praktičnih problemih je mogoče uporabiti pravkar obravnavano shemo rešitev. Mimogrede, zelo je podoben algoritmu za preverjanje vektorjev za kolinearnost, ki smo ga obravnavali v lekciji. Koncept linearne (ne)odvisnosti vektorjev. Vektorska osnova. Vendar obstaja bolj civiliziran paket:

Primer 1

Ugotovite relativni položaj črt:

rešitev na podlagi preučevanja usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:

a) Iz enačb poiščemo smerne vektorje premic: .

, torej vektorji niso kolinearni in se premice sekajo.

Za vsak slučaj bom na razpotje postavil kamen s kazalci:

Ostali skočijo čez kamen in sledijo naprej, naravnost do Kaščeja Nesmrtnega =)

b) Poiščite smerne vektorje premic:

Premici imata enak smerni vektor, kar pomeni, da sta vzporedni ali enaki. Tu determinanta ni potrebna.

Očitno je, da so koeficienti neznank sorazmerni, medtem ko .

Ugotovimo, ali enakost velja:

V to smer,

c) Poiščite smerne vektorje premic:

Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev:
, zato so smerni vektorji kolinearni. Črte so vzporedne ali pa sovpadajo.

Faktor sorazmernosti "lambda" je enostavno videti neposredno iz razmerja vektorjev kolinearne smeri. Lahko pa ga najdemo tudi preko koeficientov samih enačb: .

Zdaj pa ugotovimo, ali enakost drži. Oba brezplačna izraza sta nič, torej:

Dobljena vrednost ustreza tej enačbi (na splošno jo izpolnjuje katero koli število).

Tako črte sovpadajo.

Odgovori:

Kmalu se boste naučili (ali ste se že naučili) rešiti obravnavani problem ustno dobesedno v nekaj sekundah. V zvezi s tem ne vidim razloga, da bi ponudil nekaj za neodvisno rešitev, bolje je postaviti še eno pomembno opeko v geometrijski temelj:

Kako narisati premico, ki je vzporedna z dano?

Zaradi nepoznavanja te najpreprostejše naloge Slavec Ropar strogo kaznuje.

Primer 2

Ravna črta je podana z enačbo . Napišite enačbo za vzporedno premico, ki poteka skozi točko.

rešitev: Neznano vrstico označimo s črko . Kaj o tem pravi stanje? Premica poteka skozi točko. In če sta premici vzporedni, potem je očitno, da je usmerjevalni vektor premice "ce" primeren tudi za konstrukcijo premice "te".

Iz enačbe vzamemo smerni vektor:

Odgovori:

Geometrija primera je videti preprosta:

Analitično preverjanje je sestavljeno iz naslednjih korakov:

1) Preverimo, ali imata premici enak smerni vektor (če enačba premice ni pravilno poenostavljena, bosta vektorja kolinearna).

2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi.

Analitično preverjanje je v večini primerov preprosto ustno. Poglejte obe enačbi in mnogi boste hitro ugotovili, kako sta črti vzporedni brez risbe.

Primeri za samostojno reševanje danes bodo ustvarjalni. Ker še vedno moraš tekmovati z Babo Yago, in ona, veste, je ljubiteljica vseh vrst ugank.

Primer 3

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko, ki je vzporedna s premico

Obstaja racionalen in ne zelo racionalen način reševanja. Najkrajša pot je na koncu lekcije.

Z vzporednimi premicami smo malo delali in se bomo k njim vrnili kasneje. Primer sovpadajočih črt ni zanimiv, zato razmislimo o problemu, ki vam je dobro znan iz šolskega kurikuluma:

Kako najti presečišče dveh črt?

Če naravnost sekajo v točki , potem so njegove koordinate rešitev sistemi linearnih enačb

Kako najti presečišče črt? Reši sistem.

Tukaj je za vas geometrijski pomen sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama sta dve (najpogosteje) sekajoči se premici na ravnini.

Primer 4

Poiščite presečišče črt

rešitev: Obstajata dva načina reševanja - grafični in analitični.

Grafični način je, da preprosto narišete dane črte in ugotovite presečišče neposredno iz risbe:

Tukaj je naša poanta: . Če želite preveriti, morate njene koordinate nadomestiti z vsako enačbo ravne črte, prilegati bi se morali tam in tam. Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema . Pravzaprav smo razmišljali o grafičnem načinu reševanja sistemi linearnih enačb z dvema enačbama, dvema neznankama.

Grafična metoda seveda ni slaba, vendar obstajajo opazne pomanjkljivosti. Ne, ne gre za to, da se sedmošolci tako odločijo, gre za to, da bo potreben čas, da se naredi pravilna in NATANČNA risba. Poleg tega nekaterih črt ni tako enostavno sestaviti, presečišče pa je lahko nekje v tridesetem kraljestvu zunaj lista zvezka.

Zato je presečišče smotrneje iskati z analitično metodo. Rešimo sistem:

Za rešitev sistema je bila uporabljena metoda počlenskega seštevanja enačb. Če želite razviti ustrezne veščine, obiščite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?

Odgovori:

Preverjanje je trivialno - koordinate presečišča morajo zadostiti vsaki enačbi sistema.

Primer 5

Poiščite presečišče premic, če se sekajo.

To je primer "naredi sam". Težavo je priročno razdeliti na več stopenj. Analiza stanja kaže, da je potrebno:
1) Zapišite enačbo premice.
2) Zapišite enačbo premice.
3) Ugotovite relativni položaj črt.
4) Če se črti sekata, poiščite točko presečišča.

Razvoj akcijskega algoritma je značilen za številne geometrijske probleme in na to se bom večkrat osredotočil.

Celotna rešitev in odgovor na koncu vadnice:

Par čevljev še ni bil obrabljen, saj smo prišli do drugega dela lekcije:

Pravokotne črte. Razdalja od točke do črte.
Kot med črtami

Začnimo s tipično in zelo pomembno nalogo. V prvem delu smo se naučili zgraditi ravno črto, vzporedno z dano, zdaj pa se bo koča na piščančjih nogah obrnila za 90 stopinj:

Kako narisati črto pravokotno na dano?

Primer 6

Ravna črta je podana z enačbo . Napišite enačbo za pravokotno premico, ki poteka skozi točko.

rešitev: Po predpostavki je znano, da . Lepo bi bilo najti smerni vektor premice. Ker so črte pravokotne, je trik preprost:

Iz enačbe »odstranimo« normalni vektor: , ki bo usmerjevalni vektor premice.

Enačbo premice sestavimo s točko in usmerjevalnim vektorjem:

Odgovori:

Razgrnimo geometrijsko skico:

Hmmm ... Oranžno nebo, oranžno morje, oranžna kamela.

Analitično preverjanje rešitve:

1) Iz enačb izvlecite smerne vektorje in s pomočjo pikčasti produkt vektorjev sklepamo, da sta premici res pravokotni: .

Mimogrede, lahko uporabite običajne vektorje, še lažje je.

2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi .

Preverjanje je ponovno enostavno izvesti ustno.

Primer 7

Poiščite presečišče pravokotnih črt, če je enačba znana in pika.

To je primer "naredi sam". V nalogi je več dejanj, zato je priročno urediti rešitev po točkah.

Naše razburljivo potovanje se nadaljuje:

Razdalja od točke do črte

Pred nami je raven pas reke in naša naloga je, da ga dosežemo po najkrajši poti. Ni ovir, najbolj optimalna pot pa bo gibanje vzdolž pravokotnice. To pomeni, da je razdalja od točke do črte dolžina pravokotnega segmenta.

Razdalja v geometriji se tradicionalno označuje z grško črko "ro", na primer: - razdalja od točke "em" do premice "de".

Razdalja od točke do črte je izražena s formulo

Primer 8

Poiščite razdaljo od točke do črte

rešitev: vse, kar morate, je, da natančno vstavite številke v formulo in naredite izračune:

Odgovori:

Izvedimo risbo:

Najdena razdalja od točke do črte je natanko dolžina rdečega segmenta. Če naredite risbo na karirastem papirju v merilu 1 enote. \u003d 1 cm (2 celici), potem lahko razdaljo izmerimo z navadnim ravnilom.

Razmislite o drugi nalogi po isti risbi:

Naloga je najti koordinate točke , ki je simetrična točki glede na premico . Predlagam, da dejanja izvedete sami, vendar bom orisal algoritem rešitve z vmesnimi rezultati:

1) Poišči premico, ki je pravokotna na premico.

2) Poiščite presečišče črt: .

Oba dejanja sta podrobno obravnavana v tej lekciji.

3) Točka je razpolovna točka odseka. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Avtor: formule za koordinate sredine segmenta najti .

Ne bo odveč preveriti, ali je tudi razdalja enaka 2,2 enoti.

Tukaj se lahko pojavijo težave pri izračunih, vendar v stolpu veliko pomaga mikrokalkulator, ki vam omogoča štetje navadnih ulomkov. Večkrat sem svetoval in bom ponovno priporočil.

Kako najti razdaljo med dvema vzporednima črtama?

Primer 9

Poišči razdaljo med dvema vzporednima premicama

To je še en primer neodvisne rešitve. Majhen namig: načinov za rešitev je neskončno veliko. Povzetek na koncu lekcije, vendar raje poskusite uganiti sami, mislim, da vam je uspelo dobro razpršiti svojo iznajdljivost.

Kot med dvema premicama

Kar vogal, pa podboj:


Kot med dvema premicama se v geometriji šteje za MANJŠI kot, iz česar samodejno sledi, da ne more biti top. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje za kot med sekajočima se črtama. In njen “zeleni” sosed oz nasprotno usmerjeniškrlatni kotiček.

Če sta premici pravokotni, lahko za kot med njima vzamemo katerega koli od 4 kotov.

Kako se koti razlikujejo? Orientacija. Prvič, smer "drsenja" vogala je bistveno pomembna. Drugič, negativno usmerjen kot je zapisan z znakom minus, na primer, če .

Zakaj sem to rekel? Zdi se, da lahko preživite z običajnim konceptom kota. Dejstvo je, da lahko v formulah, s katerimi bomo iskali kote, zlahka dobimo negativen rezultat, kar vas ne bi smelo presenetiti. Kot z znakom minus ni nič slabši in ima zelo specifičen geometrijski pomen. Na risbi za negativni kot je obvezno s puščico označiti njegovo usmeritev (v smeri urinega kazalca).

Kako najti kot med dvema premicama? Obstajata dve delovni formuli:

Primer 10

Poiščite kot med črtami

rešitev in Prva metoda

Razmislite o dveh ravnih črtah, podanih z enačbami v splošni obliki:

Če naravnost ne pravokotno, potem usmerjeno kot med njima lahko izračunamo po formuli:

Bodimo pozorni na imenovalec – točno to je skalarni produkt smerni vektorji ravnih črt:

Če , potem imenovalec formule izgine in vektorji bodo pravokotni, premice pa pravokotne. Zato je bil v formulaciji narejen pridržek glede nepravokotnosti črt.

Na podlagi zgoraj navedenega je rešitev priročno formalizirana v dveh korakih:

1) Izračunajte skalarni produkt usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:
torej črte niso pravokotne.

2) Kot med črtami najdemo po formuli:

Z inverzno funkcijo je enostavno najti sam kot. V tem primeru uporabimo neparnost arc tangente (glej sl. Grafi in lastnosti elementarnih funkcij):

Odgovori:

V odgovoru navedemo točno vrednost in tudi približno vrednost (po možnosti tako v stopinjah kot v radianih), izračunano s kalkulatorjem.

No, minus, torej minus, ni kaj. Tukaj je geometrijska ilustracija:

Ni presenetljivo, da se je izkazalo, da je kot negativne usmeritve, saj je v pogoju problema prva številka ravna črta in "zvijanje" kota se je začelo prav od nje.

Če res želite dobiti pozitiven kot, morate ravne črte zamenjati, to je vzeti koeficiente iz druge enačbe in vzemite koeficiente iz prve enačbe. Skratka, začeti morate z neposrednim .