Uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na intervalu. Na kateri točki je vrednost izvedenega finančnega instrumenta največja?

Včasih so v nalogah B14 "slabe" funkcije, za katere je težko najti izpeljanko. Prej je bilo to samo na sondah, zdaj pa so te naloge tako pogoste, da jih pri pripravah na ta izpit ni več mogoče prezreti. V tem primeru delujejo drugi triki, eden izmed njih je monotonost. Definicija Funkcija f (x) se imenuje monotono naraščajoča na odseku, če za katero koli točko x 1 in x 2 tega odseka velja: x 1

Opredelitev. Funkcija f (x) se imenuje monotono padajoča na odseku, če za poljubni točki x 1 in x 2 tega odseka velja: x 1 f (x 2). Z drugimi besedami, za naraščajočo funkcijo, večji kot je x, večji je f(x). Za padajočo funkcijo velja nasprotno: večji ko je x, manjši je f(x).

Primeri. Logaritem monotono narašča, če je osnova a > 1, in monotono pada, če je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, in monotono pada, če je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, in monotono pada, če je 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 in monotono pada, če je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Examples Logaritem je monotono narašča, če je baza a > 1, in monotono pada, če je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Primeri. Logaritem monotono narašča, če je osnova a > 1, in monotono pada, če je 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Primeri. Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: narašča za a > 1 in pada za 0 0: 1 in padajoče pri 0 0:"> 1 in padajoče pri 0 0:"> 1 in padajoče pri 0 0:" title="(!LANG:Primeri. Eksponentna funkcija se obnaša kot logaritem: narašča za a > 1 in zmanjša za 0 0:"> title="Primeri. Eksponentna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: raste za a > 1 in pada za 0 0:"> !}

0) ali navzdol (a 0) ali navzdol (a 9 Koordinate vozlišč parabole Najpogosteje argument funkcije nadomestimo s kvadratnim trinomom oblike Njen graf je standardna parabola, pri kateri nas zanimajo veje: Veje parabole lahko gredo navzgor (za a > 0) ali navzdol (a 0) oz. največja (a 0) ali navzdol (a 0) ali navzdol (a 0) ali največja (a 0) ali navzdol (a 0) ali navzdol (a title="(!LANG: Parabola vertex koordinate Najpogosteje je argument funkcije se nadomesti s kvadratnim trinomom oblike Njen graf je standardna parabola, pri kateri nas zanimajo veje: Veje parabole lahko gredo navzgor (za a > 0) ali navzdol (a

V pogoju problema ni segmenta. Zato ni potrebe po izračunavanju f(a) in f(b). Upoštevati je treba le ekstremne točke; Vendar obstaja samo ena taka točka - to je vrh parabole x 0, katere koordinate se izračunajo dobesedno ustno in brez izpeljank.

Tako je rešitev problema močno poenostavljena in skrčena na samo dva koraka: Izpišite enačbo parabole in poiščite njeno oglišče po formuli: Poiščite vrednost prvotne funkcije na tej točki: f (x 0). Če ne bo dodatnih pogojev, bo to odgovor.

0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG:Najdi najmanjša vrednost funkcije: Rešitev: Pod korenino stoji kvadratna funkcija Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" razred ="link_thumb"> 18 Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev: Pod korenom je kvadratna funkcija. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a \u003d 1\u003e 0. Vrh parabole: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG:Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev: Pod korenom je kvadratna funkcija. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a \u003d 1\u003e 0. Vrh parabole: x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev: Pod korenom je kvadratna funkcija. Graf te funkcije je parabola z vejami navzgor, saj je koeficient a \u003d 1\u003e 0. Vrh parabole: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija. a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG:Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija. Graf parabole z vejami navzgor, ker je a \u003d 1\u003e 0. Vertex parabole: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Poiščite najmanjšo vrednost funkcije: Rešitev Pod logaritmom je spet kvadratna funkcija. a = 1 > 0. Vrh parabole: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Najti največja vrednost funkcije: Rešitev: Eksponent vsebuje kvadratno funkcijo. Zapišimo jo v normalni obliki: Očitno je, da je graf te funkcije parabola, veja navzdol (a = 1

Posledice iz domene funkcije Včasih za rešitev problema B14 ni dovolj samo najti vrh parabole. Želena vrednost je lahko na koncu segmenta in sploh ne na ekstremni točki. Če segment v nalogi sploh ni naveden, pogledamo območje dopustnih vrednosti izvorne funkcije. namreč:

0 2. Aritmetika Kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič:" title="(!LANG:1. Argument logaritma mora biti pozitiven: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti enak nič:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritma mora biti pozitiven: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti enak nič: 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti enak nič: "> 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ulomek ne sme biti enak nič:"> 0 2. Aritmetika kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti nič:" title="(!LANG:1. Argument logaritma mora biti pozitivno: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetični kvadrat koren obstaja samo iz nenegativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti enak nič:"> title="1. Argument logaritma mora biti pozitiven: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetični kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnih števil: 3. Imenovalec ulomka ne sme biti enak nič:"> !}

Rešitev Kvadratni koren je spet kvadratna funkcija. Njen graf je parabola, vendar so veje obrnjene navzdol, ker je a = 1
Sedaj pa poiščimo oglišče parabole: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Točka x 0 = 1 pripada segmentu ODZ in to je dobro. Zdaj upoštevamo vrednost funkcije v točki x 0, pa tudi na koncih ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Torej, dobili smo številki 2 in 0. Vprašani smo najti največje število 2. Odgovor: 2

Upoštevajte: neenakost je stroga, zato konci ne pripadajo ODZ. Na ta način se logaritem razlikuje od korena, kjer nam konci segmenta precej ustrezajo. Iščemo vrh parabole: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Ker pa nas konci segmenta ne zanimajo, upoštevamo vrednost funkcije samo v točki x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odgovor: -2

Kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu?

Za to sledimo znanemu algoritmu:

1 . Najdemo funkcije ODZ.

2 . Iskanje odvoda funkcije

3 . Izenačite odvod na nič

4 . Poiščemo intervale, v katerih odvod ohrani predznak, in iz njih določimo intervale naraščanja in padanja funkcije:

Če je na intervalu I odvod funkcije 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} v tem intervalu narašča.

Če je na intervalu I odvod funkcije , potem funkcija se v tem intervalu zmanjša.

5 . Najdemo maksimalne in minimalne točke funkcije.

AT maksimalna točka funkcije, odvod spremeni predznak iz "+" v "-".

AT minimalna točka funkcijeizpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+".

6 . Vrednost funkcije najdemo na koncih segmenta,

• nato primerjamo vrednost funkcije na koncih segmenta in na maksimalnih točkah ter izberite največjo izmed njih, če želite najti največjo vrednost funkcije
• ali primerjamo vrednost funkcije na koncih odseka in v točkah minimuma ter izberite najmanjšo izmed njih, če želite najti najmanjšo vrednost funkcije

Vendar pa je glede na to, kako se funkcija obnaša v intervalu, ta algoritem mogoče znatno zmanjšati.

Upoštevajte funkcijo . Graf te funkcije izgleda takole:

Oglejmo si nekaj primerov reševanja problemov iz odprta banka naloge za

ena. Naloga B15 (#26695)

Na rezu.

1. Funkcija je definirana za vse realne vrednosti x

Očitno je, da ta enačba nima rešitev in je derivat pozitiven za vse vrednosti x. Zato funkcija narašča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, to je pri x=0.

Odgovor: 5.

2 . Naloga B15 (št. 26702)

Poiščite največjo vrednost funkcije na segmentu.

1.ODZ funkcija title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Odvod je enak nič pri , vendar v teh točkah ne spremeni predznaka:

Zato je naslov="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} poveča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, pri .

Da bo jasno, zakaj izpeljanka ne spremeni predznaka, transformiramo izraz za izpeljanko na naslednji način:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3. Naloga B15 (#26708)

Poiščite najmanjšo vrednost funkcije na intervalu.

1. Funkcije ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korenine te enačbe na trigonometrični krog.

Interval vsebuje dve števili: in

Postavimo znake. Da bi to naredili, določimo predznak odvoda v točki x=0: . Pri prehodu skozi točke in odvod spremeni predznak.

Upodobimo spremembo predznaka odvoda funkcije na koordinatni premici:

Očitno je točka najmanjša točka (kjer izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+") in da bi našli najmanjšo vrednost funkcije na intervalu, morate primerjati vrednosti funkcije na najmanjši točki in na levem koncu segmenta, .

Dragi prijatelji! Skupina nalog, povezanih z odvodom, vključuje naloge - v pogoju je podan graf funkcije, več točk na tem grafu in vprašanje:

Na kateri točki je vrednost izpeljanke največja (najmanjša)?

Na kratko ponovimo:

Odvod v točki je enak naklonu tangente, ki poteka skozito točko na grafu.

priglobalni koeficient tangente pa je enak tangensu naklona te tangente.

*To se nanaša na kot med tangento in osjo x.

1. Na intervalih naraščajoče funkcije ima odvod pozitivna vrednost.

2. V intervalih padanja ima izpeljanka negativno vrednost.

Razmislite o naslednji skici:

V točkah 1,2,4 ima odvod funkcije negativno vrednost, saj te točke pripadajo padajočim intervalom.

V točkah 3,5,6 ima odvod funkcije pozitivno vrednost, saj te točke pripadajo intervalom naraščanja.

Kot lahko vidite, je z vrednostjo derivata vse jasno, to pomeni, da ni težko določiti, kakšen znak ima (pozitiven ali negativen) na določeni točki na grafu.

Poleg tega, če miselno zgradimo tangente na teh točkah, bomo videli, da črte, ki potekajo skozi točke 3, 5 in 6, tvorijo kot z osjo oX, ki leži v območju od 0 do 90 °, in črte, ki potekajo skozi točke 1, 2. in 4 tvorita z osjo oX, koti v razponu od 90 o do 180 o.

* Razmerje je jasno: tangente, ki potekajo skozi točke, ki pripadajo intervalom naraščajočih funkcij, tvorijo z osjo oX ostri koti, tangente, ki potekajo skozi točke, ki pripadajo intervalom padajočih funkcij, tvorijo tope kote z osjo oX.

Zdaj pa pomembno vprašanje!

Kako se spreminja vrednost izpeljanke? Konec koncev, tangenta na različnih točkah grafa neprekinjena funkcija tvori različne kote, odvisno od tega, skozi katero točko na grafu poteka.

* Ali, govorjenje navaden jezik, se tangenta nahaja tako rekoč "bolj vodoravno" ali "bolj navpično". poglej:

Ravne črte tvorijo z osjo oX kote od 0 do 90 o

Ravne črte tvorijo z osjo oX kote od 90 o do 180 o

Torej, če obstajajo vprašanja:

- na kateri od danih točk na grafu ima vrednost odvoda najmanjšo vrednost?

- na kateri od danih točk na grafu ima vrednost izpeljanke največjo vrednost?

potem je za odgovor potrebno razumeti, kako se vrednost tangente kota tangente spreminja v območju od 0 do 180 o.

*Kot že omenjeno, je vrednost odvoda funkcije v točki enaka tangensu naklona tangente na os x.

Vrednost tangente se spreminja na naslednji način:

Ko se naklon premice spremeni od 0 o do 90 o, se vrednost tangente in s tem odvod spremeni od 0 do +∞;

Ko se naklon premice spremeni od 90 o do 180 o, se vrednost tangente in s tem odvod ustrezno spremeni –∞ na 0.

To je jasno razvidno iz grafa funkcije tangente:

Preprosto povedano:

Ko je kot naklona tangente od 0 o do 90 o

Bližje kot je 0 o, večja bo vrednost odvoda blizu nič (na pozitivni strani).

Bližje kot je kot 90°, bolj se bo vrednost odvoda povečala proti +∞.

Ko je kot naklona tangente od 90 o do 180 o

Bližje kot je 90 o, bolj se bo vrednost odvoda zmanjšala proti –∞.

Bližje kot je kot 180 o, večja bo vrednost odvoda blizu nič (na negativni strani).

317543. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in označene točke–2, –1, 1, 2. V kateri od teh točk je vrednost odvoda največja? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

Imamo štiri točke: dve pripadata intervalom, na katerih funkcija pada (to sta točki –1 in 1), dve pa intervaloma, na katerih funkcija narašča (to sta točki –2 in 2).

Takoj lahko sklepamo, da ima odvod v točkah -1 in 1 negativno vrednost, v točkah -2 in 2 pa pozitivno vrednost. Zato v ta primer potrebno je analizirati točki -2 in 2 ter ugotoviti, katera bo imela največjo vrednost. Konstruirajmo tangente, ki potekajo skozi navedene točke:

Vrednost tangensa kota med premico a in abscisno osjo bo večjo vrednost tangens kota med premico b in to osjo. To pomeni, da bo vrednost izpeljanke v točki -2 največja.

Odgovorimo na naslednje vprašanje: v kateri od točk -2, -1, 1 ali 2 je vrednost odvoda največja negativna? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

Odvod bo imel negativno vrednost v točkah, ki pripadajo padajočim intervalom, zato upoštevajte točki -2 in 1. Konstruirajmo tangente, ki potekajo skozi njih:

Vidimo, da je top kot med premico b in osjo oX "bližje" 180 približno , zato bo njegov tangens večji od tangensa kota, ki ga tvorita premica a in os x.

Tako bo v točki x = 1 vrednost odvoda največja negativna.

317544. Slika prikazuje graf funkcije y = f(x) in označene točke–2, –1, 1, 4. Na kateri od teh točk je vrednost odvoda najmanjša? Prosimo, navedite to točko v svojem odgovoru.

Imamo štiri točke: dve pripadata intervalom, na katerih funkcija pada (to sta točki –1 in 4), dve pa intervaloma, na katerih funkcija narašča (to sta točki –2 in 1).

Takoj lahko sklepamo, da ima odvod v točkah -1 in 4 negativno vrednost, v točkah -2 in 1 pa pozitivno vrednost. Zato je treba v tem primeru analizirati točki –1 in 4 in ugotoviti, katera od njih bo imela najmanjšo vrednost. Konstruirajmo tangente, ki potekajo skozi navedene točke:

Vrednost tangensa kota med premico a in abscisno osjo bo večja od vrednosti tangensa kota med premico b in to osjo. To pomeni, da bo vrednost odvoda v točki x = 4 najmanjša.

Odgovor: 4

Upam, da te nisem "preobremenila" s količino napisanega. Pravzaprav je vse zelo preprosto, razumeti je treba le lastnosti derivata, njegove geometrijski pomen in kako se spreminja vrednost tangensa kota od 0 do 180 o.

1. Najprej določite predznake odvoda na teh točkah (+ ali -) in izberite potrebne točke (odvisno od zastavljenega vprašanja).

2. Konstruirajte tangente na teh točkah.

3. S pomočjo risbe tangesoida shematsko označite vogale in prikazAleksander.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi o spletnem mestu povedali v družbenih omrežjih.

OD praktična točka Najbolj zanimiva je uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije. S čim je to povezano? Maksimiziranje dobička, minimiziranje stroškov, določanje optimalne obremenitve opreme ... Z drugimi besedami, na številnih področjih življenja je treba rešiti problem optimizacije nekaterih parametrov. In to je problem iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije.

Upoštevati je treba, da največjo in najmanjšo vrednost funkcije običajno iščemo na nekem intervalu X , ki je bodisi celotna domena funkcije bodisi del domene. Sam interval X je lahko odsek črte, odprt interval , neskončen interval.

V tem članku bomo eksplicitno govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti. dano funkcijo ena spremenljivka y=f(x) .

Navigacija po straneh.

Največja in najmanjša vrednost funkcije – definicije, ilustracije.

Na kratko se osredotočimo na glavne definicije.

Največja vrednost funkcije , ki za kakršno koli neenakost je resnična.

Najmanjša vrednost funkcije y=f(x) na intervalu X imenujemo taka vrednost , ki za kakršno koli neenakost je resnična.

Te definicije so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) vrednost, sprejeta v obravnavanem intervalu z absciso.

Stacionarne točke so vrednosti argumenta, pri katerih odvod funkcije izgine.

Zakaj potrebujemo stacionarne točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti? Odgovor na to vprašanje daje Fermatov izrek. Iz tega izreka sledi, da če ima diferenciabilna funkcija na neki točki ekstrem (lokalni minimum ali lokalni maksimum), potem je ta točka stacionarna. Tako funkcija pogosto zavzame svojo največjo (najmanjšo) vrednost na intervalu X na eni od stacionarnih točk iz tega intervala.

Prav tako lahko funkcija pogosto prevzame največje in najmanjše vrednosti na točkah, kjer prvi derivat te funkcije ne obstaja, sama funkcija pa je definirana.

Takoj odgovorimo na eno najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali je vedno mogoče določiti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije"? Ne ne vedno. Včasih meje intervala X sovpadajo z mejami domene funkcije ali pa je interval X neskončen. In nekatere funkcije v neskončnosti in na mejah domene definicije lahko zavzamejo neskončno velike in neskončno majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče reči ničesar o največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Zaradi jasnosti podajamo grafično ilustracijo. Poglejte slike - in veliko vam bo postalo jasno.

Na segmentu

Na prvi sliki funkcija zavzame največje (max y ) in najmanjše (min y ) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj segmenta [-6;6] .

Razmislite o primeru, prikazanem na drugi sliki. Spremenite segment v . V tem primeru je najmanjša vrednost funkcije dosežena v stacionarni točki, največja pa v točki z absciso, ki ustreza desni meji intervala.

Na sliki št. 3 so mejne točke segmenta [-3; 2] abscise točk, ki ustrezajo največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Na odprtem območju

Na četrti sliki funkcija zavzame največje (max y ) in najmanjše (min y ) vrednosti na stacionarnih točkah znotraj odprtega intervala (-6;6).

Na intervalu ni mogoče sklepati o največji vrednosti.

V neskončnost

V primeru, prikazanem na sedmi sliki, funkcija zavzame največjo vrednost (max y ) na stacionarni točki z x=1 absciso, najmanjšo vrednost (min y ) pa doseže na desni meji intervala. Pri minus neskončnosti se vrednosti funkcije asimptotično približajo y=3.

Na intervalu funkcija ne doseže niti najmanjše niti največje vrednosti. Ko x=2 teži v desno, se vrednosti funkcije nagibajo k minus neskončnosti (ravna črta x=2 je navpična asimptota), in ko abscisa teži k plus neskončnosti, se vrednosti funkcije asimptotično približujejo y=3 . Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na segmentu.

Napišemo algoritem, ki nam omogoča, da poiščemo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.

1. Poiščemo domeno funkcije in preverimo, ali vsebuje celoten segment.
2. Poiščemo vse točke, v katerih prvi odvod ne obstaja in so vsebovane v segmentu (običajno se takšne točke pojavljajo v funkcijah z argumentom pod znakom modula in v močnostne funkcije z ulomljenim racionalnim eksponentom). Če teh točk ni, pojdite na naslednjo točko.
3. Določimo vse stacionarne točke, ki spadajo v segment. Da bi to naredili, ga izenačimo z nič, rešimo nastalo enačbo in izberemo ustrezne korene. Če ni stacionarnih točk ali nobena od njih ne spada v segment, pojdite na naslednji korak.
4. Vrednosti funkcije izračunamo na izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer prvi odvod ne obstaja (če obstaja) in tudi na x=a in x=b.
5. Iz dobljenih vrednosti funkcije izberemo največjo in najmanjšo - to bo želena največja oziroma najmanjša vrednost funkcije.

Analizirajmo algoritem pri reševanju primera iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

• na segmentu;
• na intervalu [-4;-1] .

Rešitev.

Domena funkcije je celotna množica realnih števil, razen ničle, to je . Oba segmenta spadata v domeno definicije.

Poiščemo odvod funkcije glede na:

Očitno je, da odvod funkcije obstaja na vseh točkah odsekov in [-4;-1] .

Stacionarne točke so določene iz enačbe . Edini pravi koren je x=2. Ta stacionarna točka spada v prvi segment.

V prvem primeru izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je za x=1 , x=2 in x=4 :

Zato je največja vrednost funkcije dosežena pri x=1 in najmanjša vrednost – pri x=2 .

V drugem primeru izračunamo vrednosti funkcije samo na koncih segmenta [-4;-1] (ker ne vsebuje niti ene stacionarne točke):

V lekciji na temo "Uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na intervalu" bomo obravnavali relativno preproste probleme iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije na danem intervalu z uporabo izpeljanke.

Tema: Izpeljanka

Lekcija: Uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti zvezne funkcije na intervalu

V tej lekciji si bomo ogledali več preprosta naloga, in sicer bo podan interval, podana bo zvezna funkcija na tem intervalu. Ugotovite največjo in najmanjšo vrednost danega funkcije na danem interval.

Št. 32.1 (b). Podano: , . Narišimo graf funkcije (glej sliko 1).

riž. 1. Graf funkcije.

Znano je, da ta funkcija narašča na intervalu , kar pomeni, da narašča tudi na intervalu . Torej, če najdete vrednost funkcije v točkah in , bodo znane meje spremembe te funkcije, njena največja in najmanjša vrednost.

Ko se argument poveča z na 8, se funkcija poveča z na .

odgovor: ; .

№ 32.2 (a) Podano: Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem intervalu.

Zgradimo graf te funkcije (glej sliko 2).

Če se argument spremeni na intervalu , potem funkcija naraste od -2 na 2. Če argument naraste od , potem se funkcija zmanjša od 2 na 0.

riž. 2. Graf funkcije.

Poiščimo izpeljanko.

, . Če , potem tudi ta vrednost pripada danemu segmentu . Če, potem . Preprosto je preveriti, ali ima druge vrednosti, ustrezne stacionarne točke presegajo dani segment. Primerjajmo vrednosti funkcije na koncih segmenta in na izbranih točkah, kjer je odvod enak nič. Najdimo

;

odgovor: ;.

Torej, odgovor je prejet. Izpeljanko v tem primeru lahko uporabite, ne morete je uporabiti, uporabite lastnosti funkcije, ki smo jo preučevali prej. To ni vedno tako, včasih je uporaba derivata edina metoda, ki vam omogoča reševanje takšnih težav.

Podano: , . Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.

Če je bilo v prejšnjem primeru mogoče brez izpeljanke - vedeli smo, kako se funkcija obnaša, potem je v tem primeru funkcija precej zapletena. Zato je v celoti uporabna metodologija, ki smo jo omenili v prejšnji nalogi.

1. Poiščite izpeljanko. Najdimo kritične točke, torej so kritične točke. Med njimi izberemo tiste, ki spadajo v ta segment: . Primerjajmo vrednost funkcije v točkah , , . Za to najdemo

Rezultat prikazujemo na sliki (glej sliko 3).

riž. 3. Meje spreminjanja funkcijskih vrednosti

Vidimo, da če se argument spremeni od 0 do 2, se funkcija spremeni od -3 do 4. Funkcija se ne spreminja monotono: bodisi narašča ali pada.

odgovor: ;.

Tako je bila s pomočjo treh primerov prikazana splošna tehnika iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije na intervalu, v tem primeru na segmentu.

Algoritem za rešitev problema iskanja največje in najmanjše vrednosti funkcije:

1. Poiščite odvod funkcije.

2. Poiščite kritične točke funkcije in izberite tiste točke, ki so na danem segmentu.

3. Poiščite vrednosti funkcije na koncih segmenta in na izbranih točkah.

4. Primerjajte te vrednosti in izberite največjo in najmanjšo.

Poglejmo še en primer.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije , .

Prej je bil obravnavan graf te funkcije (glej sliko 4).

riž. 4. Graf funkcije.

Na intervalu, območje te funkcije . Točka je največja točka. Ko - funkcija narašča, ko - funkcija pada. Iz risbe je razvidno, da , - ne obstaja.

Torej, v lekciji smo obravnavali problem največje in najmanjše vrednosti funkcije, ko danem intervalu je segment; oblikovali algoritem za reševanje tovrstnih problemov.

1. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Vadnica za izobraževalne ustanove (ravni profila) izd. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Naloga za izobraževalne ustanove (stopnja profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra in matematična analiza za 10 razred ( vadnica za učence šol in razredov s poglobljenim študijem matematike).-M .: Izobraževanje, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Poglobljen študij algebre in matematične analize.-M .: Izobraževanje, 1997.

5. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na tehničnih univerzah (pod urednikovanjem M.I.Skanavija).-M .: Višja šola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrski trener.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavič L.I., Shlyapochnik L.Ya., Činkina algebra in začetki analize. Razredi 8-11: Priročnik za šole in razrede s poglobljenim študijem matematike (didaktična gradiva). - M .: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Naloge v algebri in začetki analize (priročnik za učence 10-11 razredov splošnih izobraževalnih ustanov).-M .: Izobraževanje, 2003.

9. Karp A.P. Zbirka nalog iz algebre in začetki analize: učbenik. dodatek za 10-11 celic. z globokim študija matematika.-M .: Izobraževanje, 2006.

10. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli. Razredi 9-10 (vodnik za učitelje).-M .: Razsvetljenje, 1983

Dodatni spletni viri

2. Portal naravoslovja ().

narediti doma

Št. 46.16, 46.17 (c) (Algebra in začetki analize, 10. razred (v dveh delih). Zbirka nalog za izobraževalne ustanove (raven profila), ki jo je uredil A. G. Mordkovich. - M .: Mnemozina, 2007.)